专题38+椭圆（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题38+椭圆（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝(　　)‎ A．30° B．60°‎ C．120° D．150°‎ ‎【答案】C ‎2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，如果线段PF2的中点在y轴上，那么|PF2|是|PF1|的(　　)‎ A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 ‎【答案】A ‎【解析】设线段PF2的中点为D，‎ 则|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x轴，‎ ‎∴PF1⊥x轴。‎ ‎∴|PF1|＝＝＝。‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝4，‎ ‎∴|PF2|＝4－＝。‎ ‎∴|PF2|是|PF1|的7倍。‎ ‎3．在同一平面直角坐标系中，方程ax2＋by2＝ab与方程ax＋by＋ab＝0表示的曲线可能是(　　)‎ A B C D ‎【答案】A ‎【解析】直线方程变形为y＝－x－a，在选项B和C中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，‎ 故B和C都是错误的；‎ 在选项A中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲线是椭圆；‎ 在选项D中， 解得所以ax2＋by2＝ab不可能表示双曲线，故选项D错误。 ‎ ‎4．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】C ‎5．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】从椭圆上长轴端点向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小。‎ 若椭圆C1上存在点P′。令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°，‎ ‎∴sinα＝≤sin45°＝。‎ 又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，‎ ‎∴e2≥，即e≥。‎ 又∵0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈。‎ ‎6．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2‎ 与椭圆交于M、N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】B M(0，－c)，N，所以|MN|＝c＝16，所以c＝5，‎ 所以椭圆方程为＋＝1。‎ ‎7．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|＋|‎ ‎＝2，则∠F1PF2等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】因为＋＝2，O为坐标原点，|＋|＝2，所以|PO|＝，又|OF1|＝|OF2|＝，‎ 所以P，F1，F2在以点O为圆心的圆上，且F1F2为直径，所以∠F1PF2＝.‎ ‎8．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值为(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．15‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆方程＋＝1，可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，‎ 而＝－，所以||＝|－|，‎ 两边同时平方，得||2＝||2－2·＋||2，‎ 所以||2＋||2＝||2＋2·＝16＋18＝34，‎ 根据椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝64，‎ 所以34＋2|PF1|·|PF2|＝64，‎ 所以|PF1|·|PF2|＝15.故选D. ‎ ‎9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎10．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的∠AP′B最小．‎ 若椭圆C1上存在点P，‎ 所作圆C2的两条切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，‎ 即α＝∠AP′O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝.‎ 又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2≥，即e≥.‎ 又0b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎13．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，∴＋＝1>＋＝e2＋，即e4－3e2＋1>0，e2<＝2，∴0b>0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，－b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－，则点P到直线QM 的距离为___________________________________．‎ ‎【答案】b 离为 d＝＝＝b.‎ ‎15．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____________．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，‎ 所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，‎ 所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，‎ 所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.‎ ‎16．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则·的取值范围是______．‎ ‎【答案】[3,15]‎ ‎17．过椭圆＋＝1(a>b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y 1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E和F，‎ 所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，‎ 因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，‎ 所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，‎ 当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，‎ 故△EOF面积的最小值为.‎ ‎18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以＝＝＝3.‎ ‎19．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)相交于A，B，C，D四点，若椭圆C1‎ 的一个焦点F(－，0)，且四边形ABCD的面积为，则椭圆C1的离心率e为________．‎ ‎【答案】 ‎20．设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为 d＝ ＝ ‎＝ ，‎ ‎∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离为dmax＋＝. ‎ ‎21．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B。因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB ‎|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·KF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)。‎ ‎22．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________。‎ ‎【答案】 ‎23．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________。‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。 ‎ ‎24．已知椭圆C：x2＋2y2＝4。‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点。若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。‎ ‎【解析】(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。‎ ‎ ‎