【数学】2019届一轮复习人教B版　数列的概念与简单表示法学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　数列的概念与简单表示法学案

第五章　数　列 第28讲　数列的概念与简单表示法 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，17‎ ‎2016·浙江卷，13‎ ‎2015·江苏卷，11‎ ‎2015·四川卷，16‎ 数列的概念和简单表示法在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an，或者利用递推关系构造等差或等比数列求通项an.‎ 分值：5分 ‎1．数列的有关概念 ‎(1)数列的定义 按照__一定顺序__排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的__项__.‎ ‎(2)数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数__有限__‎ 无穷数列 项数__无限__‎ 按项与项间的大 小关系分类 递增数列 an＋1__>__an 其中n∈N*‎ 递减数列 an＋1__<__an 常数列 an＋1＝an 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎(3)数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是__列表法__、__图象法__和__通项公式法__.‎ ‎2．数列的通项公式 ‎(1)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与__序号n__之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}表达的意义相同．(　×　)‎ ‎(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　√　)‎ ‎(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)‎ ‎(4)在数列{an}中，如果对于任意正整数m，n，都有am＋n＝amn＋1，则当a1＝1时，a2＝2.(　√　)‎ ‎(5)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1则可以写出数列{an}的任何一项．(　√　)‎ 解析 (1)错误．数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数，为a1，a2，a3，…，an，而集合{a1，a2，a3，…，an}只表明该集合中有n个元素，数列中的项有顺序，集合中的元素没有顺序．‎ ‎(2)正确．根据数列的前几项归纳出数列的通项公式不一定唯一，可以有多个，有的数列没有通项公式．‎ ‎(3)正确．根据数列的前n项和的定义可知．‎ ‎(4)正确．在am＋n＝amn＋1中，令m＝n＝1得a2＝a1＋1＝1＋1＝2.‎ ‎(5)正确．在已知递推公式中，令n＝1得a2＝，而a2＝1，解得a1＝1，同理可得an＝1.‎ ‎2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　D　)‎ A．不是数列中的项 B．只是数列中的第2项 C．只是数列中的第6项 D．是数列中的第2项或第6项 解析 令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项，故选D．‎ ‎3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n∈N*，都有a‎1a‎2a3…an＝n2，则a3＋a5＝(　D　)‎ A．　　 B．　　　　‎ C．　　 D． 解析 ∵a‎1a‎2a3·…·an＝n2，∴a‎1a‎2a3·…·an－1＝(n－1)2，‎ ‎∴an＝＝(n≥2)，∴a3＝，a5＝，‎ ‎∴a3＋a5＝＋＝＋＝.‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝____.‎ 解析 由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列的通项公式是__an＝__.‎ 解析 当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.‎ 故an＝ 一　由数列的前几项求数列的通项公式 求数列的通项公式应关注四个特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号的特征．再依据这些特征进行归纳、化归、联想求出通项公式．‎ ‎【例1】 (1)已知n∈N*，给出4个表达式：‎ ‎①an＝②an＝，③an＝，‎ ‎④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(　A　)‎ A．①②③　　 B．①②④‎ C．②③④　　 D．①③④‎ ‎(2)写出下面各数列的一个通项公式．‎ ‎①3,5,7,9，…；‎ ‎②，，，，，…；‎ ‎③－1，，－，，－，，…；‎ ‎④3,33,333,3 333，….‎ 解析 (1)检验知①②③都是所给数列的通项公式．‎ ‎(2)①各项式减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.‎ ‎②每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.‎ ‎③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,5，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.‎ 也可写为an＝ ‎④将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．‎ 二　由递推公式求通项公式 由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．‎ ‎(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．‎ ‎(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．‎ ‎【例2】 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；‎ ‎(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；‎ ‎(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.‎ 解析 (1)∵an＝an－1(n≥2)，‎ ‎∴an－1＝an－2，an－2＝，…，a2＝a1.以上(n－1)个式子相乘，得an＝···…···a1＝＝.‎ ‎(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋(3·2－1)＋(3·1－1)＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，‎ ‎∴an＝n2＋.‎ ‎(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3.‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，首项为a1＋1＝2，‎ ‎∴an＋1＝2×3n－1.∴an＝2×3n－1－1.‎ 三　an与Sn的关系及其应用 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ 画龙点睛：若S0＝0，则an不用分段函数的形式表示；若S0≠0，则an一定是用分段函数的形式表示．‎ ‎【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．‎ ‎(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.‎ 解析 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，‎ 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.‎ ‎(2)a1＝S1＝3＋b，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.‎ 当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．‎ ‎∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；‎ 当b≠－1时，an＝ ‎【例4】 (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解析 (1)由题意得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎1．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝(　C　)‎ A．3(3n－2n)　　 B．3n＋2‎ C．3n　　 D．3·2n－1‎ 解析 解得代入选项逐一检验，只有C符合．‎ ‎2．在数列1,2，，，，…中，2 是这个数列的第________项(　C　)‎ A．16　　 B．‎24　‎　‎ C．26　　 D．28‎ 解析 设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C．‎ ‎3．(2016·浙江卷)设数列的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__1__，S5＝__121__.‎ 解析 ∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝‎2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝‎2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S5＝121.‎ ‎4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值．‎ 解析 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝‎2a1，a3＝‎2a2＝‎4a1.‎ 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．‎ 所以a1＋‎4a1＝2(‎2a1＋1)，解得a1＝2.‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.‎ ‎(2)由(1)得＝，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.‎ 由|Tn－1|<，得<，即2n>1 000.‎ 因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.‎ 于是，使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.‎ 易错点　忽略数列是特殊的函数 错因分析：忽视了数列的通项an及前n项和Sn都可看作是定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题．‎ ‎【例1】 已知数列中，an＝n2＋λn，且为递增数列，求实数λ的取值范围．‎ 解析 方法一　函数f(n)＝n2＋λn的图象开口向上，过点(0,0)．‎ ‎∵an＝n2＋λn，∴只要a2＞a1即成立，‎ ‎∴4＋2λ＞1＋λ，解得λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．‎ 方法二　∵an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋λ＋1，∴由2n＋λ＋1＞0，得λ＞－2n－1对一切n∈N*恒成立．‎ ‎∵n＝1时，－2n－1最大为－3，∴λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．‎ 方法三　函数f(n)＝n2＋λn图象的对称轴是n＝－，如图，只需－＜，则λ＞－3，即λ∈(－3，＋∞)．‎ ‎【跟踪训练1】 已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解析 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 得1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，‎ 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 知5<<6，即－10

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