2020九年级数学下册 第三章 圆

2020九年级数学下册 第三章 圆

课时作业(二十九)‎ ‎[第三章　9　弧长及扇形的面积]‎ 一、选择题 ‎1．2017·武汉期末如图K－29－1，等边三角形ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是(　　)‎ 图K－29－1‎ A．π B．2π C．4π D．6π ‎2.2018·福州二模如图K－29－2，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若＝＝，则图中阴影部分的面积是(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－29－2‎ A．6π B．12π C．18π D．24π 二、填空题 ‎3．2017·长春如图K－29－3，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为________．(结果保留π)‎ 9‎ 图K－29－3‎ ‎4．如图K－29－4，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)‎ 图K－29－4‎ ‎5．如图K－29－5，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．‎ 图K－29－5‎ ‎6．如图K－29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．‎ 图K－29－6‎ 三、解答题 ‎7．如图K－29－7，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在扇形上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．‎ 图K－29－7‎ 9‎ ‎8．2018·椒江区模拟如图K－29－8，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD.‎ ‎(1)求证：∠CAD＝∠BAD；‎ ‎(2)若⊙O的半径为1，∠B＝50°，求的长．‎ 图K－29－8‎ ‎9．2017·如东县一模如图K－29－9，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.‎ ‎(1)求BD的长；‎ ‎(2)求阴影部分的面积．‎ 9‎ 图K－29－9‎ ‎10．2017·贵阳如图K－29－10，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.‎ ‎(1)求∠AFE的度数；‎ ‎(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).‎ 图K－29－10‎ ‎11．如图K－29－11，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向将△ABC在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点A″的位置时，‎ ‎(1)求点A所经过的路线长；‎ ‎(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少？‎ 图K－29－11‎ 9‎ 研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝lR.接着老师让同学们解决两个问题：‎ 问题 Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．‎ 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图K－29－12中的阴影部分，已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．‎ ‎(1)请你解答问题Ⅰ.‎ ‎(2)在解完问题 Ⅱ 后的全班交流中，有名同学发现扇形面积公式S扇形＝lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝(l1＋l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．‎ 图K－29－12‎ 9‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] B　依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π.故选B.‎ ‎2．[解析] A　∵＝＝，‎ ‎∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，‎ ‎∴阴影部分的面积＝＝6π.故选A.‎ ‎3．[答案] ‎[解析] ∵在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C＝(180°－100°)＝40°.‎ ‎∵AB＝4，∴的长为＝.‎ ‎4．[答案] 2π ‎5．[答案] 4π ‎[解析] 的长是＝，‎ 的长是＝，的长是＝2π，‎ 则曲线CDEF的长是＋＋2π＝4π.‎ 故答案为4π.‎ ‎6．[答案] 2 － ‎[解析] 依题意，有AD＝BD.又∠ACB＝90°，所以CB＝CD＝BD，即△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°.由AC＝2 ，求得BC＝2，AB＝4，‎ S弓形BD＝S扇形BCD－S△BCD＝－＝π－，故阴影部分的面积为S△ACD－S弓形AD＝－(－)＝2 －.‎ ‎7．解：如图，连接OD.‎ 根据折叠的性质，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，‎ 9‎ ‎∴OB＝OD＝BD，‎ 即△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝∠DBO＝30°.‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴OC＝OB·tan∠CBO＝6×＝2 ，‎ ‎∴S△BDC＝S△OBC＝·OB·OC＝×6×2 ＝6 .‎ ‎∵S扇形OAB＝π×62＝9π，l＝π×6＝3π，‎ ‎∴整个阴影部分的周长为AC＋CD＋BD＋l＝AC＋OC＋OB＋l＝OA＋OB＋l＝6＋6＋3π＝12＋3π，‎ 整个阴影部分的面积为S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－6 －6 ＝9π－12 .‎ ‎8．解：(1)证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，‎ ‎∴＝，∴∠CAD＝∠BAD.‎ ‎(2)连接CO，‎ ‎∵∠B＝50°，OB＝OC，‎ ‎∴∠OCB＝∠B＝50°，‎ ‎∴∠AOC＝100°，‎ ‎∴的长为＝.‎ ‎9．解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H.‎ 在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.‎ 在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，‎ ‎∴CH＝BC＝2，BH＝CH＝2 .‎ ‎∵CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝4 .‎ ‎(2)连接CD.‎ ‎∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°，‎ ‎∴∠BCD＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形CBD的面积－△CBD的面积＝－‎ 9‎ ×4 ×2＝π－4 .‎ ‎10．解：(1)连接OD，OC，‎ ‎∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，‎ ‎∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.‎ ‎∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，‎ ‎∴∠AFE＝90°－30°＝60°.‎ ‎(2)由(1)知∠AOD＝60°.‎ 又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．‎ ‎∵AB＝4，∴OA＝AD＝2.‎ ‎∵DE⊥AO，∴DE＝，‎ ‎∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2×＝π－.‎ ‎11．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，‎ ‎∴AB＝2，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，‎ 则∠ABA′＝120°，∠A′C″A″＝90°，‎ ‎∴l＝＝，l＝＝π，‎ ‎∴点A所经过的路线长为＋π.‎ ‎(2)S扇形BAA′＝l·AB＝××2＝，‎ S扇形C″A′A″＝l·C″A′＝××＝π，‎ S△A′B′C′＝×1×＝，‎ ‎∴点A所经过的路线与l围成的图形的面积是π＋π＋＝π＋.‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] 根据扇形面积公式、弧长公式之间的关系，结合已知条件推出结果．‎ 解：(1)根据弧长公式l＝，弧长为4π，圆心角为120°，可得R＝6，∴S扇形＝lR＝×4π×6＝12π.‎ ‎(2)他的猜想正确．‎ 设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角的度数为n°，则由l＝，得R＝‎ 9‎ eq f(180l1,nπ)，r＝，‎ ‎∴花坛的面积为 l1R－l2r ‎＝·l1·－·l2· ‎＝ ‎＝(l1＋l2)(l1－l2)‎ ‎＝·(l1＋l2)(R－r)‎ ‎＝(l1＋l2)(R－r)＝(l1＋l2)d.‎ 故他的猜想正确．‎ 9‎