【数学】浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题

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【数学】浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题

浙江省东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试试题 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则的元素个数是 ( )‎ ‎ .个 .个 .个 .个 ‎2.直线的斜率是 ( )‎ ‎ . . . .‎ ‎3.“且”是“直线过点”的 ( )‎ ‎.充分而不必要条件 .必要而不充分条件 ‎ ‎.充要条件 .既不充分又不必要条件 ‎4.函数的最小正周期为 ( )‎ ‎ . . . .‎ ‎5. 已知向量,且,则实数的值是 ( )‎ ‎. . . . ‎ ‎6. 已知等比数列中,,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前项和的值为 ( )‎  . . . . ‎ ‎7. 中,角所对的边分别为,若,则 ( ). . . . ‎ ‎8.设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为. 若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于,则曲线的标准方程为 ( )‎ ‎. . . .‎ ‎9.设满足约束条件若目标函数的最大值是,则的最小值为 ( )‎ ‎. .   . .‎ ‎10. 定义域为的偶函数满足对任意的实数,有,且当 时,,若函数在上至少有 三个零点,则的取值范围是 ( )‎ ‎. . . . ‎ 二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分。‎ ‎11. 已知,则 , .‎ ‎12. 若函数是偶函数,则 ,值域为 .‎ ‎13. 在等差数列中,若,则 , . ‎ ‎14.一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),‎ 则该几何体的表面积为 ,‎ 该该几何体的体积为 .‎ ‎15.过点的直线与抛物线交于两点,且则此直线的 方程为_________.‎ ‎16.若函数在区间内是增函数,则实数的取值范围是______ .‎ ‎17.若对任意且,不等式恒成立, 则实数的取值范围是___________.‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.已知向量,且分别是锐角三角形三边所对的角.‎ ‎(Ⅰ)求的大小; ‎ ‎(Ⅱ)若成等比数列,且,求的值.‎ ‎19.设数列是公差大于零的等差数列,已知. ‎ ‎(1) 求数列的通项公式;‎ ‎(2) 设数列是以为首项,以为公比的等比数列,求数列的前项和.‎ 20. 在四棱锥中,平面,,,‎ ‎,‎ ‎(Ⅰ) 证明:平面;‎ ‎(Ⅱ) 若二面角的大小为,求的值.‎ ‎(第20题图)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为, 若,求直线的倾斜角.‎ ‎22.设函数.‎ ‎(1) 求函数的最小值;‎ ‎(2) 设,讨论函数的单调性;‎ ‎(3) 斜率为的直线与曲线交于,两点,求证:.‎ 参考答案 ‎1-5、CAABB 6-10、DCABB ‎11. 12. 13. 14. ‎ ‎15. 16. 17.‎ ‎18.解:(1) 即 ‎ 所以 又因为是锐角三角形内角,所以 ‎ ‎(2)因为 又 所以 ‎ 所以 即 所以 .‎ ‎19.解:(1) (2) ‎ ‎20.(2)‎ ‎21.(Ⅰ)解:由e=,得.再由,解得a=2b.‎ 由题意可知,即ab=2.‎ 解方程组得a=2,b=1. ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知点A的坐标是(-2,0).设点B的坐标为,直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k(x+2).‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得 ‎.‎ 由,得.从而.‎ 所以.‎ 由,得.‎ 整理得,即,解得k=.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎22.(1) 解:,令,得. …………2分 ‎∵当时,;当时,, …………3分 ‎∴当时,. …………4分 ‎(2) ,. …………5分 ‎ ① 当时,恒有,在上是增函 …………6分 ‎ ② 当时,‎ 令,得,解得; …………7分 令,得,解得. …………8分 ‎ 综上,当时,在上是增函数;‎ ‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减. …………9分 ‎(3) 证:.‎ ‎ 要证,即证,等价于证,令,‎ 则只要证,由知,故等价于证 (*).‎ ‎ ① 设,则,故在上是增函数,‎ ‎ ∴ 当时,,即.‎ ‎ ② 设,则,故在上是增函数,‎ ‎ ∴ 当时,,即.‎ 由①②知(*)成立,得证. …………15分
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