数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江西省南昌三中高二下学期期中考试（2017-04）

南昌三中 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学（理）试卷 命题：张金生 审题：徐晓东 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A.三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2．设 f(n)＝1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 3n－1(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. 1 3n＋2 　　 B. 1 3n ＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 D. 1 3n ＋ 1 3n＋1 ＋ 1 3n＋2 3．已知点 M 的极坐标为 ，下列所给出的四个坐标中,也能表示点 M 的极坐标的 是(　　) A. 　　　 B. C. D. 4． 和 是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面 和 平行的是（ ）。 A. 和 都垂直于同一个平面 B. 内不共线的三点到 的距离相等 C. 是 平面内的直线且 D. 是两条异面直线且 5． 的值是（ ） A． B． C． D． 6．方程 表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——— 商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（立方寸），则 图中的 为（ ） A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 8．过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（ ） ∫ −1 0 21 dxx 8 π 4 π 2 π π 5 3 π    ， 5 3 π −  ， 45 3 π    ， 25 3 π −  ， 55 3 π −  ， α β α β α β α β ml, α ββ //,// ml ml, ββαα //,//,//,// lmml 2 2 2 2 t t t t x t y − −  = − = + （ 为参数） π x A. 18 对 B. 24 对 C. 30 对 D. 36 对 9．已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．某班要从 6 名同学中选出 4 人参加校运动会的 4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名 运 动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有 （ ） A．24 种 B．72 种 C．144 种 D．360 种 11．如右上图，正方体 的棱线长为 1，线段 上有两个动点 E，F， 且 ，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．三棱锥 的体积为定值 D．异面直线 所成的角为定值 12.已知函数 ， ，正实数 满足 对 任意的 恒成立，则 的最大值是( ) A．A. B. C. D. 二.填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分,共 20 分) [来源:学科网 ZXXK] 13． n 为正奇数时，求证：xn＋yn 被 x＋y 整除，当第二步假设 n＝2k－1 命题为真时， 进而需证 n＝________，命题为真． 14．动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 . 15． 4 个平面最多可将空间分割成 个部分。 16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥， 用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1），即可求得球的体积公式．请研究和理解 球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此 椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2），其体积等于______． 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 2 2EF = AC BE⊥ / /EF ABCD平面 A BEF− ,AE BF )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 52 02 =+ yx 14 2 2 =− yx 14 2 2 =− yx 15 3 20 3 22 =− yx 120 3 5 3 22 =− yx ( ) e x xf x e = ( ) ln 1g x x x x= − + ,m n 1 2( ) ( ) 1mf x ng x− ≤ 1 2, [1, ]x x e∈ m n+ 1 1e + 1e + 2 1e + 1 2e + 2 2 14 25 x y+ = A 1A 1B 1C C B P Q 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤。 17.（本小题满分 10 分）4 个男生,3 个女生站成一排. （1）3 个女生必须排在一起,有多少种不同的排法? （2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法? （3）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法? （必须写出解析式再算出结果才能给分） 18．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点， ,求 l 的斜率. 19. （本小题 12 分）如图， 是底面边长为 2，高为 的正三棱柱， 经过 的截面与上底面相交于 ， 设 . （1 ）证 明 ： ； （ 2 ） 当 时 ， 在 图 中 作 出 点 C 在 平 面 内的正投影 （说明作法及理由），并求四棱锥 表 面积 20.(本小题满分 12 分)《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几 何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形， 顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍 中， 已知平面 平面 ， ，且四边形 为等腰梯形， ， ， . (Ⅰ)试判断四面体 是否为鳖臑，并说明理由；(Ⅱ)若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 2 2( + 6) + = 25x y cos sin x t α, y t α, ì =ïïíï =ïî 10AB = 111 CBAABC − 2 3 AB PQ ）（ 10PC 111 <<= λλ AC 11// BAPQ 2 1=λ ABQP F CABPQ ABCDFE ADFE ⊥ ABCD EF AD// ADFE 5AE = 3EF = 5AD = A BDE− 2AB = BDE CDF A B C D FE O x y 21.(本小题满分 12 分）达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆 构成， 上的栓子 可沿滑槽上下往复滑动，栓子 可沿滑槽左右往复滑动， 处的笔尖随 、 的滑动画出的图形即为椭圆 .已知 ， ，以十字形滑 槽的交点为原点 ，建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求椭圆 的方程；(Ⅱ)已知过椭圆 的 右焦点的直线 交椭圆 于 、 两点，过原点的直线 交椭圆 于 、 两点，且 ，试问 是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由. 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ， . （Ⅰ）若 和 在 有相同的单调区间，求 的取值范围； （Ⅱ）令 （ ），若 在定义域内有两个不同的极值 点． （i）求 的取值范围；（ii）设两个极值点分别为 ， ，证明： ． 南昌三中 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学（理）答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1、下列图形中不一定是平面图形的是（B ） A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2．设 f(n)＝1＋1 2＋1 3＋…＋ 1 3n－1(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于(　D　) A. 1 3n＋2　　 B. 1 3n＋ 1 3n＋1 C. 1 3n＋1＋ 1 3n＋2 D. 1 3n＋ 1 3n＋1＋ 1 3n＋2 3．已知点 M 的极坐标为 ，下列所给出的四个坐标中,也能表示点 M 的极坐标的是 (　　) A. 　　　 B. C. D. 【答案】D AP AP A B P A B C 2AP = 1AB = O C C 1l C M N 2l C P Q 1 2l l⊥ 1 1 MN OP OQ + ⋅ ( ) lnf x x x x= − 2( ) ( )2 ag x x ax a R= − ∈ ( )f x ( )g x (0, )+∞ a ( ) ( ) ( )h x f x g x ax= − − a R∈ ( )h x a 1x 2x 2 1 2x x e⋅ > 5 3 π    ， 5 3 π −  ， 45 3 π    ， 25 3 π −  ， 55 3 π −  ， 4． 和 是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面 和 平行的是（ D ）。 A. 和 都垂直于同一平面 B. 内不共线的三点到 的距离相等 C. 是 平面内的直线且 、 D. 是两条异面直线且 5． 的值是（ B ） A． B． C． D． 6．方程 表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 【答案】B. 【解析】两个等式两边分别平方，再相减，得 即有 ，又 ，可见与以上参数方程等价的普通方程为 .显然它表示焦点在 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B. 7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器———商鞅 铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其体积为 12.6（立方寸），则图中的 为（ ） A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 解：B. 8．过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（ ） A. 18 对 B. 24 对 C. 30 对 D. 36 对 解析：大家知道一个三棱锥可以确定 3 对异面直线，一个三棱柱可以组成 （个）三棱锥，则共有 36 对异面直线。故选 D。 9．已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 10．某班要从 6 名同学中选出 4 人参加校运动会的 4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名运 动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有 ∫ −1 0 21 dxx 8 π 4 π 2 π π α β α β α β α β ml, α ββ //,// ml ml, ββαα //,//,//,// lmml 2 2 2 2 t t t t x t y − −  = − = + （ 为参数） ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 4t t t tx y − −− = − − + = − ， 2 2 4y x− = 2 0 2 2 2 2 2 2 2t t t t t y− −> + ≥ ⋅ = ≥， ，即 2 2 4 2y x y− = ≥（ ） y π x )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 52 02 =+ yx 14 2 2 =− yx 14 2 2 =− yx 15 3 20 3 22 =− yx 120 3 5 3 22 =− yx A．24 种 B．72 种 C．144 种 D．360 种 11．如右上图，正方体 的棱线长为 1，线段 上有 两个动点 E，F，且 ，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C．三棱锥 的体积为定值 D．异面直线 所成的角为定值 12.已知函数 ， ，正实数 满足 对任 意的 恒成立，则 的最大值是(D) B．A. B. C. D. 解 : ， 当 时 ， ， ， 在 上单调递增， ， ， 依 题 意 得 ， 即 ， ，故选 D. 二.填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分,共 20 分) [来源:学科网 ZXXK] 13． n 为正奇数时，求证：xn＋yn 被 x＋y 整除，当第二步假设 n＝2k－1 命题为真时，进而 需证 n＝________，命题为真． 答案　2k＋1 14．动圆 M 过点 F(0，2)且与直线 y=-2 相切，则圆心 M 的轨迹方程是 x2=8y . 15． 4 个平面最多可将平面分割成 15 个部分。 16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半 径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为 底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1），即可求得球的体 积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的 标准方程为 ，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2），其体积等于______． 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D 2 2EF = AC BE⊥ / /EF ABCD平面 A BEF− ,AE BF ( ) e x xf x e = ( ) ln 1g x x x x= − + ,m n 1 2( ) ( ) 1mf x ng x− ≤ 1 2, [1, ]x x e∈ m n+ 1 1e + 1e + 2 1e + 1 2e + 1( )( ) e x x e xf x e − −′ = ( ) lng x x′ = [1, ]x e∈ ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0g x′ ≥ ( ), ( )f x g x∴ [1, ]e 1( ) [ ,1]f x e ∴ ∈ ( ) [0,1]g x ∈ 1 2 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1mf x ng x ng x mf x ng x− ≤ ⇔ − ≤ ≤ + max min min max ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 mf x ng x mf x ng x ≤ +  ≥ − 1 1 m m ne ≤ ≥ − 1m en m e ≤∴ − ≤ 1 1 1( ) (1 ) 2m n en m me e e ∴ + = − + + ≤ + 2 2 14 25 x y+ = 解：椭圆的长半轴为 5，短半轴为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆 柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球 的体积 V=2（V 圆柱﹣V 圆锥）=2（π×22×5﹣ ）= ． 故答案为： ． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 75 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）4 个男生,3 个女生站成一排. （1）3 个女生必须排在一起,有多少种不同的排法? （2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法? （3）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法? （必须写出解析式再算出结果才能给分） 17.解：⑴ 先排 3 个女生作为一个元素与其余的 4 个元素做全排列有， (种)； （2）甲、乙先排好后，再从其余的 5 人中选出 3 人排在甲、乙之间，把排好的 5 个元素与 最好的 2 个元素全排列，分步有， (种)；（3） 先甲、乙相邻，再把 甲 乙 这 个 整 体 与 丙 分 别 插 入 其 余 4 个 元 素 全 排 列 构 成 的 5 个 空 位 中 ， 分 步 有 ， (种). 18．（本小题满分 10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方 程；（Ⅱ）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），l 与 C 交于 A，B 两点， ,求 l 的斜率. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】（I）由 可得 的极坐标方程 （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得 2 2( + 6) + = 25x y cos sin x t α, y t α, ì =ïïíï =ïî 10AB = 7205 5 3 3 =AA 2 3 3 2 5 3 720A A A = 9602 5 4 4 2 2 =AAA 2 12 cos 11 0ρ ρ θ+ + = 15 3 ± cos , sinx yρ θ ρ θ= = C 2 12 cos 11 0.ρ ρ θ+ + = l ( )Rθ α ρ= ∈ ,A B 1 2, ,ρ ρ l C A 1A 1B 1C C B P Q A 1A 1B 1C C B P Q 于是 由 得 ，所以 的斜率为 或 . 19. （本小题 12 分）如图， 是底面边长为 2，高为 的正三棱柱，经过 的截面与上底面相交于 ， 设 .（1）证明： ； （2） 当 时，在图中作出点 C 在平面 内的正投影 （说明作法及理由），并求四棱 锥 表面积 19. 【解析】：（I）∵平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ，，又 ． (5 分) （Ⅱ） 点是 中点，理由如下： 当 时， 分别是 的中点，连接 和 , 因为 是正三棱柱，所以 , (6 分) 取 中点 ，连接 在等腰梯形 中， ， 连接 中， , 平面 ABF，即 , (9 分) 所以 点是 在平面 内的正投影。 (12 分) 111 CBAABC − 2 3 2 12 cos 11 0.ρ ρ α+ + = 1 2 1 212cos , 11,ρ ρ α ρ ρ+ = − = 2 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 144cos 44,AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ α= − = + − = − | | 10AB = 2 3 15cos ,tan8 3 α α= = ± l 15 3 15 3 − AB PQ ）（ 10PC 111 <<= λλ AC 11// BAPQ 2 1=λ ABQP F CABPQ //ABC 111 CBA ABC ABABQP = ABQP QPCBA =111 PQAB //∴ 1111 //,// BAPQBAAB ∴ F PQ 2 1=λ QP, 1111 , BACA CQ CP 111 CBAABC − QPCFCPCQ ⊥∴= , AB H 3,, =CHCHFH ABQP 2 6=FH CF 2 6=CF 222 CHFHCF =+∴ FHCF ⊥∴ ⊥∴=∩ CFHFHQP , ABQPCF 平面⊥ F C ABQP 632 +=++++= ∆∆∆∆ ABCPQBACQBCPACPQ SSSSSS 20.(本小题满分 12 分)《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体， 鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条 平行于底面矩形的一边且小于此边的线段. 在如图所示的刍甍 中，已知平面 平面 ， ，且四边形 为等腰梯形， ， ， . (Ⅰ)试判断四面体 是否为鳖臑，并说明理由；(Ⅱ)若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 解：(Ⅰ)该四面体 为鳖臑…………1 分 证明过程如下：过 作 ，垂足为 ， 四边形 为等腰梯形， ， ， . ， ， ， …………2 分 四边形 为矩形， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， 又 平面 ， …………4 分 又 平面 ， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ， …………5 分， ， ， 和 都为直角三角形， 四面体 为鳖臑…6 分 (Ⅱ)以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系,由已知可得 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ,则 ， 又 ， ， ， 令 ，解得 ， …………8 分，设平面 的一个法 向 量 为 ， 则 ， 又 ， ， ABCDFE ADFE ⊥ ABCD EF AD// ADFE 5AE = 3EF = 5AD = A BDE− 2AB = BDE CDF A BDE− E EH AD⊥ H  ADFE 5AE = 3EF = 5AD = 2 2= 2EH AE AH∴ − = 2 2= + 2 5DE EH DH = 2 2 2AD AE DE∴ = + DE AE∴ ⊥  ABCD AB AD∴ ⊥ ADFE ⊥ ABCD ADFE  ABCD AD= AB  ABCD AB∴ ⊥ ADFE AE  ADFE AB AE∴ ⊥ DE  ADFE AB DE∴ ⊥ AB AE A= ,AB AE  ABE DE∴ ⊥ ABE BE  ABE DE BE∴ ⊥ BDE∴ ∆ ADE∆ BAE∆ BAD∆ ∴ A BDE− A (2, 0, 0)B (0,5,0)D (0,1, 2)E (0, 4, 2)F (2,5, 0)C BDE 1 1 1( , , )m x y z= m DE m DB  ⊥ ⊥     (0, 4,2)DE = − (2, 5,0)DB = − 1 1 1 1 4 2 0 2 5 0 y z x y − + =∴ − = 1 5x = 1 12, 4y z= = (5,2,4)m∴ = CDF 2 2 2( , , )n x y z= n DC n DF  ⊥ ⊥     (2,0,0)DC = (0, 1,2)DF = − A B C D FE H z y x A B C D FE O x y ， 令 得 …………10 分 ， 平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 …………12 分 21.(本小题满分 12 分） 达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆 构成， 上的栓子 可沿滑槽上下往复滑动，栓子 可沿滑槽左右往复滑动， 处的笔尖随 、 的滑动画出 的图形即为椭圆 .已知 ， ，以十字形滑槽的交点为原点 ，建立平面直角 坐标系.(Ⅰ)求椭圆 的方程；(Ⅱ)已知过椭圆 的右焦点的直线 交椭圆 于 、 两 点，过原点的直线 交椭圆 于 、 两点，且 ，试问 是否为定 值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由. 解：(Ⅰ)设 ， ， ，则由已知可得： 为 的中点， ，即 ……2 分 又 ， ， ，即椭圆 的方程为 ………5 分 (Ⅱ)①当直线 的斜率为 0 时， ， ， …6 分 ②当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ， 设 ， ， ， 联 立 方 程 ， 消 去 得 ， 则 ， ， 2 2 2 2 0 2 0 x y z =∴− + = 1z = (0,2,1)n = cos = m nm n m n ⋅∴ < > ⋅     ， 4+4 8= 155 25 4+16 = × + ∴ BDE CDF 8 15 AP AP A B P A B C 2AP = 1AB = O C C 1l C M N 2l C P Q 1 2l l⊥ 1 1 MN OP OQ + ⋅ 0(0, )A y 0( ,0)B x ( , )P x y B AP 0 0 0 2 0 x x y y + =∴ + = 0 0 2 xx y y  =  = − 1AB = 2 2 0 0 1x y∴ + = 2 2( ) 12 x y∴ + = C 2 2 14 x y+ = 1l 4MN = 1OP OQ⋅ = 1 1 5 4MN OP OQ ∴ + =⋅ 1l 1l 3x ty= + 2l y tx= − 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 3 3( , )P x y 4 4( , )Q x y 2 2 3 14 x ty x y  = + + = x 2 2( 4) 2 3 1 0t y ty+ + − = 1 2 2 2 3 4 ty y t + = − + 1 2 2 1 4y y t = − + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 4(1 )1 1 ( ) 4 1 ( )4 4 4 t tMN t y y t y y y y t t t t +∴ = + ⋅ − = + ⋅ + − = + ⋅ − + =+ + + …8 分 联立 ，消去 得 ， ， 由椭圆的对称性可得 ………10 分 综上所述 为定值 ………12 分 22．（本小题满分 12 分）已知函数 ， . （Ⅰ）若 和 在 有相同的单调区间，求 的取值范围； （Ⅱ）令 （ ），若 在定义域内有两个不同的极值点． （i）求 的取值范围；（ii）设两个极值点分别为 ， ，证明： ． 解：（Ⅰ） 函数 的定义域为 ， 当 时， ；当 时， . 所以， 在 上单调递减；在 上单调递增. ………………2 分 若在 上单调递减；在 上单调递增， 则 ………………4 分 (Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数 的定义域为 ， 所以方程 在 有两个不同根. 即，方程 在 有两个不同根. ………………5 分 转化为，函数 与函数 的图像在 上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ， 只须 . ………………6 分 令切点 ，所以 ，又 ， 所以 ，解得， ，于是 ，所以 . ………………8 分 （ⅱ）由（i）可知 分别是方程 的两个根， 即 ， ，不妨设 ，作差得， ，即 . ( )f x (0, )+∞ (0, )+∞ (0, )+∞ ln 0x ax− = (0, )+∞ lny x= (0, )+∞ lny x= k 0 a k< < 0 0A( ,ln )x x 0 0 1|x xk y x=′= = 0 0 ln xk x = 0 0 0 ln1 x x x = 0x e= 1k e = 10 a e < < 1 2,x x ln 0x ax− = 1 1ln x ax= 2 2ln x ax= 1 1 2 2 ln ( )x a x xx = − 1 2 1 2 ln x xa x x = − 2 2 14 y tx x y = − + = y 2 2(1 4 ) 4t x+ = 2 3 2 4 1 4x t = + 2 2 3 2 4 1 4 ty t = + 2 2 2 3 3 2 4(1 ) 1 4 tOP OQ x y t +⋅ = + = + 2 2 2 2 1 1 4 1 4 5 4(1 ) 4(1 ) 4 t t MN OP OQ t t + +∴ + = + =⋅ + + 1 1 MN OP OQ + ⋅ 5 4 ( ) lnf x x x x= − 2( ) ( )2 ag x x ax a R= − ∈ ( )f x ( )g x (0, )+∞ a ( ) ( ) ( )h x f x g x ax= − − a R∈ ( )h x a 1x 2x 2 1 2x x e⋅ > ( ) ln .f x x x x= − ( ) ln ,f x x′ = 1x > ( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1) (1, )+∞ 2 2( ) ( 2 )( )2 2 a ag x x a x x a R= − = − ∈ (0,1) (1, )+∞ 0.a > ( )h x ( ) ln ,h x x ax′ = − ( ) 0h x′ = ,y ax= 1 2x x> x y o 1 y=lnx y=ax A 原不等式 等价于 令 ，则 ， ……10 分 设 ， ， ∴函 数 在 上 单 调 递 增 ， ∴ ，即 不 等 式 成 立 ， 故 所 证 不 等 式 成 立 ．……12 分 2 1 2x x e⋅ > ( ) ( )1 21 1 2 1 2 2 1 2 2ln ln 2 2 ln x xxx x a x x x x x −+ > ⇔ + > ⇔ > + 1 2 x tx = 1t > ( ) ( )1 21 2 1 2 2 2 1ln ln 1 x x tx tx x x t − −> ⇔ >+ + ( ) ( )2 1ln , 11 tF t t tt −= − >+ ( ) ( ) ( ) 2 2 1' 0 1 tF t t t −= > + ( )F t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0F t F> = ( )2 1ln 1 tt t −> + 2 1 2x x e⋅ >