2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第6节 双曲线
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多维层次练50
[A级 基础巩固]
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1，故选A.
答案：A
2．(多选题)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．2x2－y2＝0 D．4x2－y2＝0
解析：由条件e＝＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即2x2－y2＝0.
答案：BC
3．(2020·济南市期末)方程＋＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是( )
A．－3
0，b>0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，B1(0，b)，B2(0，－b)，若B1F⊥B2A，则该双曲线的离心率为( )
A．1＋ B.
C. D.－1
解析：根据题意，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，点A、F分别为其右顶点和右焦点，
设A(a，0)，F(c，0)，则＝(c，－b)，＝(a，b)，
若B1F⊥B2A，则有·＝ac－b2＝0，
又由c2＝a2＋b2，则有c2－a2－ac＝0，
变形可得：e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)，故e＝.
答案：C
12．(2020·泰州市期中)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N.若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意可知，MN⊥x轴，|NF2|＝，|F1F2|＝2c，
所以|NF1|2＝＋4c2＝|MN|2＝.
所以4a2c2＝3b4＝3(c2－a2)2＝3a4－6a2c2＋3c4，
整理得3e4－10e2＋3＝0，
解得e2＝3或e2＝(舍去)，
所以e＝或e＝－(舍去)．
答案：
13．(2020·昆明外国语学校月考)双曲线C以坐标轴为对称轴，渐近线方程为y＝±x，且经过点P(2，3)．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)是否存在直线l过点M(2，2)交双曲线C于A、B两点，且点M是线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ≠0)，
点P(2，3)代入，得λ＝3，
所以双曲线的方程是3x2－y2＝3，即x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B都在双曲线上，
所以
于是(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以1－··＝0，
若点M(2，2)是线段AB的中点，则
所以··kAB＝1，得kAB＝3，
于是直线l的方程为y－2＝3(x－2)，
即3x－y－4＝0，
联立整理得6x2－24x＋19＝0，
此时Δ＝120>0，
所以方程有两个实数根，即l与双曲线有两个交点，符合题意．
[C级 素养升华]
14．(多选题)平面内与两定点A1(0，－a)，A2(0，a)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，以下四个结论中正确的为( )
A．当m＝－1时，曲线C是一个圆
B．当m＝－2时，曲线C的离心率为
C．当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．当m∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，曲线C的焦点坐标分别为和
解析：设动点为M(x，y)，当x≠0时，由条件可得
kMA1·kMA2＝·＝m，
即y2－mx2＝a2(x≠0)，
又A1(0，－a)，A2(0，a)的坐标满足y2－mx2＝a2.所以当m＝－1时，曲线C的方程为y2＋x2＝a2，C是圆心在原点的圆，故A正确．
当m＝－2时，曲线C的方程为＋＝1，C是焦点在y轴上的椭圆，c＝＝a，离心率为，故B正确．
当m＝2时，曲线C的方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝±x＝±x，故C错误．
当m∈(－∞，－1)时，曲线C的方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为和
；当m∈(0，＋∞)时，C是焦点在y轴上的双曲线，方程为－＝1，由c＝＝a，可知焦点坐标分别为和，故D正确．
答案：ABD
