四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

四川省乐山市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

乐山市2018-2019学年高二下学期期末教学质量检测 数学（文科）试卷 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷．草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．‎ ‎2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)‎ A. 100 B. 150‎ C. 200 D. 250‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知可得：，故选择A 考点：分层抽样 ‎2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若复数为纯虚数，则必有解得：，所以答案为C．‎ 考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．‎ ‎3.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x等于（）‎ A. 21 B. 22 C. 23 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x的方程，解方程即可．‎ ‎【详解】由条件可知数字的个数为偶数，‎ ‎∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，‎ ‎∴中位数22，‎ ‎∴x＝21‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．‎ ‎4.下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为(　　)‎ A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 区间[22,30)内的数据共有4个，总的数据共有10个，所以频率为0．4,故选B．‎ ‎5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出所有的基本事件数N与所求事件包含的基本事件数n，再由公式求出概率得到答案.‎ ‎【详解】抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6＝36‎ 事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种，‎ 故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了古典概率模型问题，考查了列举法计算基本事件的个数，属于基础题．‎ ‎6.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. 和 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，令，故或，经检验可得点的坐标.‎ ‎【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．‎ ‎7.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，当输入的数为，则输出的数为，令可得输入的数为.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查直到型循环，要注意程序框图中循环体执行的次数，否则易选成错误答案.‎ ‎8.设集合，分别从集合A和B中随机抽取数x和y，确定平面上的一个点，记“点满足条件”为事件C，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出从集合A和B中随机各取一个数x，y的基本事件总数，和满足点P（x，y）满足条件x2+y2≤16的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．‎ ‎【详解】∵集合A＝B＝{1，2，3，4，5，6}，‎ 分别从集合A和B中随机各取一个数x，y，确定平面上的一个点P（x，y），‎ 共有6×6＝36种不同情况，‎ 其中P（x，y）满足条件x2+y2≤16的有：‎ ‎（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），‎ ‎（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8个，‎ ‎∴C的概率P（C），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，考查了列举法计算基本事件的个数，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．‎ ‎9.在区间上任取两个实数a，b，则函数无零点的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在区间上任取两个实数a，b，其对应的数对构成的区域为正方形，所求事件构成的区域为梯形区域，利用面积比求得概率.‎ ‎【详解】因为函数无零点，所以，‎ 因为，所以，‎ 则事件函数无零点构成的区域为梯形，‎ 在区间上任取两个实数a，b所对应的点构成的区域为正方形，‎ 所以函数无零点的概率.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型计算概率，考查利用面积比求概率，注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.‎ ‎10.根据如下样本数据得到的回归方程为，则 ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ ‎ ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由表格数据变化情况可知回归直线斜率为负数，中心点为，代入回归方程可知 考点：回归方程 ‎11.若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在区间上单调递减，得到不等式在恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数在区间上单调递减，‎ 所以在恒成立，‎ 所以即解得：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.‎ ‎12.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )‎ A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，‎ 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，‎ 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）‎ 当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，‎ 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．‎ 则实数a的取值范围是（0，）．‎ 故选B．‎ 第二部分（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题；毎小题5分，共20分 ‎13.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总体含100个个体，从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.‎ ‎【详解】因总体含100个个体，‎ 所以从中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样的概念，即若总体有个个体，从中抽取个个体做为样本，则每个个体被抽到的概率均为.‎ ‎14.已知复数z满足，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数，代入模的计算公式得.‎ 详解】由，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题.‎ ‎15.如图，正方体中，E为线段的中点，则AE与所成角的余弦值为____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值．‎ ‎【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，‎ 则A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），‎ ‎（0，2，1），（0，﹣2，2），‎ 设AE与CD1所成角为θ，‎ 则cosθ，‎ ‎∴AE与CD1所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎16.若曲线与曲线在上存在公共点，则的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：‎ 设则 由得：‎ 当时，，函数在区间上是减函数，‎ 当时，，函数在区间上是增函数，‎ 所以当时，函数在上有最小值 所以．‎ 考点：求参数的取值范围．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 ‎17.已知函数 ‎（1）若函数的导函数为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若曲线存在两条垂直于轴的切线，求的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，由于二次函数为偶函数，所以一次项系数为，进而求得a的值；‎ ‎（2）由题意得存在两个不同的根，转化成二次函数的判别式大于.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ 由题因为为偶函数，∴，即 ‎（2）∵曲线存在两条垂直于轴的切线，‎ ‎∴关于的方程有两个不相等的实数根，‎ ‎∴，即，∴.‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查三次函数的导数、二次函数的奇偶性、二次函数根的分布问题，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要懂得把曲线存在两条垂直于轴的切线转化成方程有两根.‎ ‎18.某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）‎ ‎ ‎ 参加书法社团 ‎ 未参加书法社团 ‎ 参加演讲社团 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 未参加演讲社团 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 ‎（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎，共个.‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.‎ 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.‎ 因此被选中且未被选中的概率为.‎ 考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离 试题解析：(I）设BD交AC于点O，连结EO。 ‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB ‎ 又EO平面AEC，PB平面AEC 所以PB∥平面AEC。 ‎ ‎（II）‎ 由，可得.‎ 作交于。‎ 由题设易知，所以 故，‎ 又所以到平面的距离为 法2：等体积法 由，可得.‎ 由题设易知,得BC 假设到平面的距离为d，‎ 又因为PB=‎ 所以 又因为(或)，‎ ‎，‎ 所以 考点：线面平行的判定及点到面的距离 ‎20.已知函数，‎ ‎（1）求在区间上的极小值和极大值；‎ ‎（2）求在（为自然对数的底数）上的最大值．‎ ‎【答案】（1）极小值为，极大值为.（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对三次函数进行求导，解导数不等式，画出表格，从而得到极值；‎ ‎（2）由（1）知函数的性质，再对进行分类讨论，求在 的性质，比较两段的最大值，进而得到函数的最大值.‎ ‎【详解】（1）当时，，令，解得或.当x变化时，，的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 递减 极小值 递增 极大值 递减 故当时，函数取得极小值为，‎ 当时，函数取值极大值为.‎ ‎（2）①当时，由（1）知，‎ 函数在和上单调递减，在上单调递增.‎ 因为，，，‎ 所以在上的值大值为2.‎ ‎②当时，，‎ 当时，；‎ 当时，在上单调递增，则在上的最大值为.‎ 故当时，在上最大值为；‎ 当时，在上的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题三次函数、对数函数为背景，考查利用导数求三次函数的极值，考查分类讨论思想的应用.‎ ‎21.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：‎ 超过1小时 不超过1小时 男 ‎20‎ ‎8‎ 女 ‎12‎ m ‎（1）求m，n；‎ ‎（2）能否有95多的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？‎ ‎（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数．‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；‎ ‎（2）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；‎ ‎（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可．‎ ‎【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，‎ ‎∴n＝48；‎ ‎∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；‎ ‎（2）根据题意完善2×2列联表，如下； ‎ 超过1小时 不超过1小时 合计 男生 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 女生 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ 计算K20.6857＜3.841，‎ 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；‎ ‎（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，‎ 用频率估计概率，从该校学生中随机调査6名学生，‎ 估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为64（人）．‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题及用频率估计概率的应用问题，考查了运算能力，属于中档题．‎ ‎22.设函数，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若对所有，都有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）令，‎ 由 ∴在递减，在递增，‎ ‎∴ ∴ 即成立． ‎ ‎（Ⅱ） 记， ∴ 在恒成立，‎ ‎， ∵ ， ‎ ‎∴ 在递增， 又， ‎ ‎∴ ① 当 时，成立， 即在递增，‎ 则，即 成立； ‎ ‎② 当时，∵在递增，且，‎ ‎∴ 必存在使得．则时，，‎ 即 时，与在恒成立矛盾，故舍去．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为 .‎ ‎ ‎