2018-2019学年安徽师范大学附属中学高二上学期期末考查数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽师范大学附属中学高二上学期期末考查数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽师范大学附属中学高二上学期期末考查数学（文）试题 一、单选题 ‎1．圆的半径为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，圆，可化为，所以，故选B．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎2．已知椭圆，则下列结论正确的是（ ）‎ A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 ‎【答案】D ‎【解析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程化为标准方程可得 ‎ 所以 ‎ 长轴为 ，焦距，短轴，离心率 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。‎ ‎3．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（ ）‎ A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线 ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，正好为定值，所以轨迹为以F1（-3，0）、F2（3，0）为端点的两条射线。‎ ‎【考点】本题考查双曲线的定义。‎ 点评：熟练掌握到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为定值时，轨迹的三种不同情况是解答本题的关键，本题易忽略判断|F1F2|的值，而直接根据双曲线的定义，而错选C．‎ ‎4．双曲线的虚轴长为　　‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线方程可得焦点在y轴上，求得，虚轴长可求．‎ ‎【详解】‎ 双曲线的焦点在y轴上，‎ 且，，‎ 则虚轴长，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是虚轴长的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎5．命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为 A．若不是偶数，则，都不是偶数 B．若不是偶数，则，不都是偶数 C．若是偶数，则，不都是偶数 D．若是偶数，则，都不是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】根据已知命题的否命题的形式可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题为：“若不是偶数，则，不都是偶数”．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键有两个：一是熟记命题的四种形式；二是注意一些常见词语的否定的形式，如本题题中的“都是”的否定为“不都是”等．‎ ‎6．下列命题中，真命题是（ ）‎ A．，有 B． ‎ C．函数有两个零点 D．， 是的充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】x=0时lnx=0,A错误；当sinx=-1时， ，B错误； 有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C错误；当， 时，一定有，但当， 时， 也成立，故D正确,选D.‎ ‎7．抛物线的焦点坐标是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把抛物线化为， ，的焦点坐标是.选D.‎ ‎8．直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出m的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为，圆心为，半径，‎ 若直线与圆有两个不同的交点，‎ 则圆心到直线的距离，‎ 即，得，得，‎ 则的一个必要不充分条件是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出m的取值范围是解决本题的关键．‎ ‎9．双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为双曲线渐近线为所以 ‎【考点】双曲线渐近线 ‎10．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A．或 B．‎ C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】椭圆的焦点在x轴上 ‎∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0‎ 解得m＞2或m＜﹣1‎ 又∵2+m＞0‎ ‎∴m＞﹣2‎ ‎∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1‎ 故答案为：D。‎ ‎11．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点点A在第一象限，过点A作准线l的垂线，垂足为M，则的面积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定过点F作倾斜角为的直线方程为 ‎，代入抛物线方程，求得交点A的坐标，再求的面积．‎ ‎【详解】‎ 由已知条件的，抛物线准线为，焦点，‎ 直线倾斜角为，得斜率，‎ 设过点F作倾斜角为的直线方程为，‎ 代入抛物线方程可得，‎ ‎，‎ ‎，或，‎ 在第一象限，‎ 点坐标，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，考查三角形的面积，确定直线方程与抛物线方程联立是解题的关键．‎ ‎12．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k倍，其中O为坐标原点，且，则椭圆C的离心率e的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得AB所在直线方程，得到D的坐标，由斜率关系即可求得椭圆离心率，再由k的范围得答案．‎ ‎【详解】‎ 直线AB的方程为，将代入得点，‎ 则直线OD的斜率为，可得，‎ 则，‎ ‎，，‎ 则 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若点P到点的距离比它到直线的距离少1，则动点P的轨迹方程是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，由点P到点的距离比它到直线的距离少1，列方程能求出动点P的轨迹方程．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 点P到点的距离比它到直线的距离少1，‎ ‎，‎ 整理，得：，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 动点P的轨迹方程是．‎ 故答案为：．‎ 设，由点P到点的距离比它到直线的距离少1，列方程能求出动点P的轨迹方程．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹方程的求法，考查两点间距离公式、点到直线的距离公式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎14．双曲线的焦点到其渐近线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，故距离为.‎ ‎15．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆心到直线的距离为 所以，即 则 解得，‎ ‎16．设是椭圆的左右焦点，是椭圆上的点，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】利用椭圆的几何性质求得，利用椭圆的定义将转化为的形式，再利用二次函数的图像与性质求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程可知，根据椭圆的定义，有，故 ‎，由于注意到二次函数的对称轴为，故当时，都是函数的最小值，即最小值为.故填16.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆的几何性质，考查利用二次函数的几何性质求表达式的最小值的方法.属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．(1)已知命题p：；命题q：，若“”为真命题，求x的取值范围．‎ ‎(2)设命题p：；命题q：，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】根据复合命题的真值表知：p真q假；‎ 非q是非p的充分不必要条件，等价于p是q的充分不必要条件，等价于p是q的真子集．‎ ‎【详解】‎ 命题p：，即；‎ 命题，即；‎ 由于“”为真命题，则p真q假，‎ 从而由q假得，，‎ 所以x的取值范围是．‎ 命题p：，即 命题q：，即 由于是的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．‎ 即有，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题及其真假属基础题．‎ ‎18．求两圆和的公共弦所在直线的方程及公共弦长．‎ ‎【答案】直线方程为：；公共弦长为.‎ ‎【解析】两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；‎ 求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用勾股定理求公共弦的长．‎ ‎【详解】‎ 两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；‎ 由，得，‎ 其圆心坐标为，半径为，‎ 圆心到公共弦所在直线的距离，‎ 公共弦的长．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎19．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点．‎ 求该椭圆的标准方程；‎ 设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【答案】解：(1)由已知得椭圆的长半轴a=2,‎ 半焦距c=,则短半轴b=1.‎ 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为…………… 6分 ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，‎ 由，得 由,点P在椭圆上,得,‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是…………… 12分 ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．‎ 解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是 ‎∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，‎ ‎∴a=2，，可得b==1‎ 因此，椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），‎ 由根据中点坐标公式，可得，整理得，‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆上，‎ ‎∴可得，化简整理得，‎ 由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．‎ ‎【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．‎ ‎20．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点．‎ Ⅰ如果直线l过抛物线的焦点，求的值；‎ Ⅱ如果，证明直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点，证明过程详见解析.‎ ‎【解析】Ⅰ根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．‎ Ⅱ设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ由题意：抛物线焦点为 设l：代入抛物线消去x得，‎ ‎，设，‎ 则，‎ ‎．‎ Ⅱ设l：代入抛物线，消去x得 设，‎ 则，‎ 令，．‎ 直线l过定点．‎ ‎【点睛】‎ 从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．‎ ‎21．过抛物线的焦点F，引两条互相垂直的弦AC和BD，求四边形ABCD面积的最小值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线AC的方程为，联立方程组，得，由弦长公式得，，由此能求出四边形ACBD的面积的最小值．‎ ‎【详解】‎ 设直线AC的斜率为，则直线BD的斜率为．‎ 则直线AC的方程为，‎ 联立，消去y得，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ 以替换k得，‎ 故所求面积为当时取等号，‎ 四边形ABCD面积的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．‎ ‎22．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．‎ Ⅰ求椭圆C的方程；‎ Ⅱ过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线l相切的圆的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】Ⅰ根据题意求出，，即可得出方程．‎ Ⅱ由消去x得：，运用韦达定理得出，，求解即可．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 点在该椭圆上．‎ ‎，，，‎ 椭圆C的方程：，‎ Ⅱ设直线l的方程为：，‎ 由消去x得：，‎ 恒成立，‎ 设，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 圆的半径为，的周长为：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故：为圆心的圆的方程：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的方程，运算量较大，属于难题．‎