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文档介绍
黑龙江省双鸭山市尖山区第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题
2019-2020学年度双鸭山市第一中学高二上学期数学(理)期中考卷 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题) 一、单选题 1.“m=﹣2”是“直线2x+(m﹣2)y+3=0与直线(6﹣m)x+(2﹣m)y﹣5=0垂直”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析】 求出直线垂直的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若直线2x+(m﹣2)y+3=0与直线(6﹣m)x+(2﹣m)y﹣5=0垂直, 则2(6﹣m)+(m﹣2)(2﹣m)=0, 得12﹣2m﹣m2+4m﹣4=0, 即m2﹣2m﹣8=0, 得(m+2)(m﹣4)=0, 得m=4或m=﹣2, 则m=﹣2是“直线2x+(m﹣2)y+3=0与直线(6﹣m)x+(2﹣m)y﹣5=0垂直”的充分不必要条件, 故选:A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线垂线的等价条件求出m的范围是解决本题的关键. 2.已知命题:,,命题:若,则,则以下命题正确的为( ) A. 的否定为“,”,的否命题为“若,则” B. 的否定为“,”,的否命题为“若,则” C. 的否定为“,”,的否命题为“若,则” D. 的否定为“,”,的否命题为“若,则” 【答案】B 【解析】 【分析】 根据命题的否定:全称变特称,只否结论;否命题:条件结论都要否。即可选出答案。 【详解】的否定为“,”,的否命题为“若,则” 故选:B 【点睛】本题考查命题的否定与否命题,注意区分命题的否定:全称变特称,只否结论;否命题:条件结论都要否。属于基础题。 3.设点,,直线过且与线段相交,则的斜率的取值范围是() A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过且与线段相交,则可转化为点在直线异侧或在直线上, 从而可得,再由二次不等式的解法即可得解. 【详解】解:由题意可设直线方程为,即, 由直线与线段相交,则点在直线的异侧或在直线上, 由点与直线的位置关系可得即, 解得或, 故选A. 【点睛】本题考查了点与直线的位置关系及二次不等式的解法,重点考查了运算能力,属基础题. 4.设满足约束条件,则目标函数的最小值为( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式组画出可行域,将目标函数化为斜截式,通过平移得到过点C(2,0)时取得最小值. 【详解】 目标函数可化简为:y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点C(2,0)时取得最小值,代入得到. 故答案为:C. 【点睛】点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(型)、 斜率型(型)和距离型(型). (3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形. 5.抛物线的焦点坐标是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将抛物线方程化为标准方程,进而可得出焦点坐标. 【详解】因为可化为, 所以,且焦点在轴负半轴, 因此焦点坐标为 故选C 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题,熟记抛物线的标准方程即可,属于基础题型. 6.若椭圆的离心率为,则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】椭圆的离心率, 即,, 所以双曲线的渐近线为.故选A. 考点:椭圆与双曲线的几何性质. 7.如果椭圆的弦被点平分,那么这条弦所在的直线的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意,出现平分,即弦上中点,使用点差法,求出弦所在直线的斜率,再利用点斜式方程求出直线方程,最后整理为一般方程的形式。 【详解】设该弦与椭圆的两个交点分别为, ,点为中点, ,利用点差法可得,,即 由中点公式可得,,,即 为,即,故选B 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中弦的直线方程,题目中被点平分是解题关键,遇到弦中点要考虑点差法求解。 8. 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一点,若 ,则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4, ∴xP=3,yP==2, 因此S△POF=×2×=2.故选C. 9.已知双曲线的左右焦点分别为,,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,若,则双曲线的离心率是( ) A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由,可知是直角三角形,且,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,所以,在中,利用同角的三角函数之间的关系,求出的值,然后求出的值,利用双曲线的定义,可求出曲线的离心率。 【详解】因为,所以是直角三角形,且,由意可知,所以有, ,由双曲线定义可知: ,故本题B。 【点睛】本题考查了双曲线定义以及离心率。 10.已知双曲线的两条渐近线分别为直线,,经过右焦点且垂直于的直线分别交,于两点,且,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题得由题得,解方程即得解. 【详解】由题得 由题得, 所以, 所以, 所以. 故选:A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法,考查直线和双曲线的简单几何性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11.已知椭圆:,左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为5,则的值是( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆,利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|,再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短,可知当AB垂直于x轴时|AB|最小,把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可. 【详解】由0<b<2可知,焦点在x轴上, ∵过F1的直线l交椭圆于A,B两点, 则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8 ∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|. 当AB垂直x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大, 此时|AB|=b2,则5=8﹣b2, 解得b, 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查了椭圆的定义,考查椭圆的通径公式,考查计算能力,属于中档题. 12.已知某椭圆的方程为,上顶点为,左顶点为,设是椭圆上的任意一点,且面积的最大值为,若已知,,点为椭圆上的任意一点,则的最小值为( ) A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 试题分析:设,因此面积为,从而,, 当且仅当时取等号,选B. 考点:椭圆方程,椭圆定义,基本不等式求最值 【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合,画出合理草图. 第II卷(非选择题) 二、填空题 13.过两圆与的交点和点的圆的方程是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 设过两圆交点的圆系方程,代入即可求得结果. 【详解】设所求圆的方程为: 将代入得: 所求圆的方程为: 本题正确结果: 【点睛】本题考查过两圆交点的圆系方程的求解问题,属于基础题. 14.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为___________ 【答案】 【解析】 分析:由题意求得抛物线的焦点为(2,0),再求得双曲线的渐近线为,根据点到直线的距离公式可得所求. 详解:由抛物线可得其焦点为(2,0), 又双曲线的渐近线方程为, ∴所求距离为. 点睛:本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离,主要考查学生的运算能力,属容易题. 15.给出下列结论: ①若为真命题,则、均为真命题; ②命题“若,则”的逆否命题是“若,则”; ③若命题,,则,; ④“”是“”的充分不必要条件.其中正确的结论有____. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 根据复合命题的真假判定方法,可得①错误;根据四种命题的概念,可得②正确;根据全称命题与存在性命题的关系,可得③正确;根据充分条件和必要条件的判定,可得④正确。 【详解】对于①中,命题若为真命题,则至少有一个是真命题,所以不正确; 对于②中,根据逆否命题的概念,可得命题“若,则”的逆否命题是“若,则”是正确的; 对③中,根据全称命题和存在性命题的关系,可得命题“,”的否定为“,”是正确的; 对于④中,不等式的解集为或,所以“”是“”的充分不必要条件是正确的, 故正确的结论有②③④。 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用,其中解答中熟记复合命题的真假判定方法,四种命题的概念,全称命题与存在性命题的关系,以及充要条件的判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题。 16.已知,分别为椭圆的左、右焦点,若直线上存在点,使为等腰三角形,则椭圆离心率的范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 首次按判断出为等腰三角形只可能,再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中,即可解出椭圆离心率的范围 【详解】为等腰三角形,只可能 即, 又因点在直线上,即 又因为椭圆 所以 故填 【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围,找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中,是解本题的关键,属于中档题。 三、解答题 17.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1)求与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线的方程. (2)求顶点在原点,准线方程为的抛物线的方程. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)根据题意双曲线方程可设为,可得关于的方程组,进而求出双曲线的方程. (2)根据抛物线的顶点在原点,准线方程为,可设抛物线方程为,从而可求得抛物线的方程. 【详解】(1)解:依题意,双曲线的焦点坐标是 故双曲线的方程可设为 又∵双曲线的离心率 ∴ 解得 ∴双曲线的方程为 (2)解:∵抛物线的顶点在原点,准线方程为 ∴可设抛物线方程为 ∵ ∴ ∴抛物线方程为 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合,主要考查椭圆、双曲线、抛物线的相关性质,是基础题.解题时需要认真审题. 18.已知,命题方程表示焦点在轴上的椭圆,命题方程 表示双曲线. (1)若命题是真命题,求实数的范围; (2)若命题“或”为真命题,“且”是假命题,求实数的范围. 【答案】(1); (2). 【解析】 【分析】 由方程表示焦点在y轴上的椭圆,根据椭圆的几何性质可得,,求解不等式可得答案;由双曲线的几何性质求出为真命题的的范围,结合,由为真命题,为假命题,可得一真一假,分两种情况讨论,对于真假以及假真分别列不等式组,分别解不等式组,然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】若命题p是真命题,则,解得; 若命题q为真命题,则,即. 命题“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则p,q一真一假. 当p真q假时,,得; 当p假q真时,,解得或. 实数m的取值范围时. 【点睛】本题考查复合命题的真假判断,考查椭圆与双曲线的性质,是中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时,应注意:(1)原命题与其非命题真假相反;(2)或命题“一真则真”;(3)且命题“一假则假”. 19.已知圆外有一点,过点作直线. (1)当直线与圆相切时,求直线的方程; (2)当直线倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或(2). 【解析】 【分析】 (1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果; (2)先求出直线方程,然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案. 【详解】解: (1)由题意可得,直线与圆相切 当斜率不存在时,直线的方程为,满足题意 当斜率存在时,设直线的方程为,即 ∴,解得 ∴直线的方程为 ∴直线的方程为或 (2)当直线的倾斜角为时,直线的方程为 圆心到直线的距离为 ∴弦长为 【点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式,培养了学生分析问题与解决问题的能力. 20.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为,且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)若点P在椭圆上,∠F2PF1=60°,求△PF1F2的面积. 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 (1)由题意求得a,设出椭圆方程,代入已知的坐标求得b,则椭圆方程可求; (2)由(1)求得c及2a,在△F2PF1中,由余弦定理可得,然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积. 【详解】(1) 因为的焦点在轴上且长轴为, 故可设椭圆的方程为(), 因为点在椭圆上,所以, 解得, 所以,椭圆的方程为. (2)由(1)知, 在△F2PF1中,由余弦定理可得: 即 ,则 【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用,是中档题. 21.已知双曲线C:的焦距为4,且过点. (1)求双曲线方程和其渐近线方程; (2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点,求实数的取值范围. 【答案】(1) 双曲线方程为,其渐近线方程为;(2)或 【解析】 【分析】 (1) 由题意得 ,解方程组即得双曲线的方程,再写出其渐近线方程.(2) 由 ,得(3-k2)x2-4kx-7=0得 ,解之即得实数的值,再利用数形结合分析得到实数k的取值范围. 【详解】(1)由题意得 ,解得 ∴双曲线方程为,其渐近线方程为. (2)由 ,得(3-k2)x2-4kx-7=0. 由题意得 , ∴k2=7,∴k= . 当3-k2=0时,直线l与双曲线C的渐近线平行,即时,直线l与双曲线C只有一个公共点,∴或. 【点睛】(1)本题主要考查双曲线方程的求法,考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是得到(3-k2)x2-4kx-7=0后,要对3-k2分类讨论,否则漏解. 22.已知动点M到定点F1(-2,0)和F2(2,0)的距离之和为. (1)求动点M轨迹C方程; (2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交椭圆C于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是的求出这个值. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的定义确定轨迹方程即可; (2)当直线斜率存在时,联立直线方程和椭圆方程,结合韦达定理和斜率公式可得k1+k2的值,当斜率不存在时,直接计算k1+k2的值,从而可以考查k1+k2是否为定值. 【详解】(1)由椭圆定义,可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点,以为长轴长的椭圆. 由,得b=2. 故曲线C的方程为. (2)当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1), 由, 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),,. 从而. 当直线l的斜率不存在时,得, 得k1+k2=4. 综上,恒有k1+k2=4. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 查看更多