甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次学段考试数学试题

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高一下学期第一次学段考试数学试题

天水一中2019级2019-2020学年度第二学期寒假作业检测 数学试题 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解对数不等式求出集合的取值范围，然后由集合的基本运算得到答案．‎ 详解】由得且，所以，‎ 所以，则 ‎【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算，属于简单题．‎ ‎2.函数的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.‎ ‎【详解】函数 当时, ,所以排除C、D选项;‎ 当时, ,所以排除A选项;‎ 所以B图像正确 故选:B ‎【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.‎ ‎3.已知函数，则的解析式为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.‎ ‎【详解】令,则，所以 即 .‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.‎ ‎4.不论为何值，直线恒过定点 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m的值．‎ ‎【详解】恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键．‎ ‎5.设圆关于直线对称的圆为，则圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出直线恒过圆心，推知旋转体为球，求出球的半径，可求球的体积.‎ ‎【详解】解：圆的标准方程为，‎ 则圆心为，半径为，‎ 设圆的圆心为，‎ 则解得，‎ 则圆为，其关于对称，‎ 圆的圆面围绕直线旋转一周所围成的几何体为球，半径为，‎ 所以该球的体积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查旋转体的知识，直线与圆的位置关系，考查计算能力，空间想象能力.‎ ‎6.平面过正方体的顶点A，平面，平面 ‎，则直线m与直线BC所成角的正弦值为　　‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出几何体，找到直线，由图像可得即等于直线m与直线BC所成的角，进而可求出结果.‎ ‎【详解】如图：因为平面，平面，连结，则易得平面平面；所以平面；又平面平面，平面，由面面平行的性质可知：，‎ 是直线m与直线BC所成角或所成角的补角，，，，‎ ‎．直线m与直线BC所成角的正弦值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可求解，属于常考题型.‎ ‎7.奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性单调性和特殊值分别求出和的解集，再分类讨论即可求解.‎ ‎【详解】由题奇函数在区间上单调递减，且，‎ 所以由得，则的解集为，‎ 由得，则的解集为，‎ 由题：即：或，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，解抽象函数相关不等式，关键在于等价转化分类讨论求解.‎ ‎8.若为奇函数，且是函数的一个零点，在下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，是的一个零点，则有 ‎，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证是不是其零点，即可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，是一个零点，则有， 依次分析选项： 对于A、，将代入可得：，不符合题意； 对于B、，将代入可得：，不符合题意； 对于C、，将代入可得：，不符合题意； 对于D、，将代入可得：，即一定是其零点，符合题意； 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点的定义，涉及函数奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性性质.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎9.已知直线，若，则的值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由两直线与平行，可得，由此列式求解值.‎ ‎【详解】解：‎ ‎， 若，则，解得. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，是基础题.‎ ‎10.若圆与圆的公共弦长为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．‎ ‎11.已知对数函数的图象过点，则不等式的解集______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用点求得值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.‎ ‎【详解】设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎12.正三棱柱中，，直线与平面所成角的正弦值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取BC的中点E，连接，AE，证明AE⊥面，推出就是与平面所成的角，解直角三角形即可.‎ ‎【详解】解：取BC的中点E，连接，AE，‎ ‎ 则AE⊥BC， 正三棱柱中， ∴面ABC⊥面， 面面＝BC， ∴AE⊥面， ∴就是与平面所成的角， 在中，∵AB＝， ‎ ‎. 故答案为：.‎ ‎【点睛】考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题.‎ 三、解答题（共2小题，共40分，）‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，动圆过点和点．记两个圆的交点为、．‎ ‎（1）如果直线的方程为，求圆的方程；‎ ‎（2）当动圆的面积最小时，求两个圆心距离的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立AB的方程和圆求得A和B的坐标，求出以点（−3，0）和（1，0）为端点的弦的中垂线，弦AB的中垂线方程为，联立解得的圆心坐标为（−1，4），由此写出的方程； （2）当点（−3，0）和点（1，0）为圆直径的两个端点时动圆的面积最小，求出的坐标，利用两点间的距离公式求得两个圆心距离的大小.‎ ‎【详解】解：（1）联立，‎ 解得A和B的坐标分别为（1，0）和（3，2）. ∵圆心在以（−3，0）和（1，0）为端点的弦的中垂线上， 以点（−3，0）和（1，0）为端点的弦的中垂线为， 弦AB的中垂线方程为， ‎ 联立解得的圆心坐标为（−1，4），半径为，‎ 由此写出方程为；‎ ‎（2）动圆的面积最小，则圆的圆心为点（−3，0）和点（1，0）连线的中点. 由中点坐标公式得（−1，0），又（2，1）， .‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎14.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的定义域；‎ ‎（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数在区间上是减函数，证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入得到的解析式，根据解析式要有意义，列出不等式，求解即可得到的定义域； （2）利用函数单调性的定义，令，先判断出，再根据对数的单调性，判断出，从而证明结结论； （3）将在上恒取正值，等价为在上恒成立，转化为，利用的单调性即可求出的最小值，从而列出不等式，求解即可得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，， ‎ ‎，即， ，即， ∴函数的定义域为； （2）函数在区间上是减函数. 证明：任取，且， ，‎ 令，‎ ‎ ， ，， ，即， ， ， ∴， ∴在上是减函数； （3）由（2）可知，在上是减函数， ∴在上是单调递减函数， ∴在上的最小值为， ∵在上恒取正值，即在上恒成立， ， ，即， ， ， ‎ ‎， 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求解，函数单调性的判断及其证明，函数恒成立问题的求解.对于求函数的定义域即求使得解析式有意义的的取值集合.函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，属于中档题.‎ ‎ ‎