【数学】2020届一轮复习人教A版 空间向量在立体几何中的综合应用 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 空间向量在立体几何中的综合应用 学案

总复习：空间向量在立体几何中的应用 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.‎ ‎2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.‎ ‎3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.‎ ‎4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.‎ ‎【知识网络】‎ ‎ ‎ ‎【考点梳理】‎ 空间向量在立体几何中的应用401056 知识要点】‎ 考点一：立体几何中垂直和平行命题 对于垂直问题，一般是利用进行证明；‎ 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．‎ 考点二：立体几何中有关角的求解 利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。‎ 考点三：立体几何中有关距离的计算 设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。‎ 考点四：利用平面法向量求角 设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。‎ 线线角的求法：‎ 设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。（注意：线线角的范围[00,900]）‎ 线面角的求法：‎ 设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。‎ 二面角的求法：‎ 设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）‎ 考点五：利用法向量求空间距离 ‎⑴ 点A到平面的距离：‎ ‎，其中，是平面的法向量。‎ ‎⑵ 直线与平面之间的距离：‎ ‎，其中，是平面的法向量。‎ ‎⑶ 两平行平面之间的距离：‎ ‎，其中， 是平面的法向量。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：利用空间向量证明有关平行或垂直 例1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点 ‎（1）求证：AD⊥D1F；‎ ‎（2）求AE与D1F所成的角；‎ ‎（3）证明平面AED⊥平面A1FD1‎ ‎【思路点拨】涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法 ‎【解析】建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，‎ 则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)‎ ‎ (1)证明： ‎ ‎∴=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD⊥D1F ‎（2）解：=（2，0，1）， =（1，0，-2），| ，|‎ 设AE与D1F的夹角为θ，‎ 则cosθ=‎ 所以，直线AE与D1F所成的角为90°.‎ ‎（3）证明：由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，‎ 又AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，‎ ‎∵D1F平面A1FD1M ‎∴平面AED⊥平面A1FD1 。‎ ‎【总结升华】用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知斜三棱柱中，‎ ‎ ，点是与的交点，‎ ‎（1）用基向量表示向量；‎ ‎（2）求异面直线与所成的角的余弦值；‎ ‎（3）判定平面平面 ‎【解析】设 ‎（1） ‎ ‎（2）由题意，可求得，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎∴异面直线与所成的角的余弦值为 ‎（3）取的中点，连结，则 ‎∵，∴，‎ 且，∴‎ ‎∴，平面，‎ ‎∴平面平面 类型二：利用空间向量求异面直线所成的角 例2（2015春 济南校级期中）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．‎ ‎（1）求证：SC⊥BC；‎ ‎（2）求SC与AB所成角的余弦值．‎ ‎【解析】解法一：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AC=2，BC=，SB=，∴B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），‎ ‎=（2，，﹣2），=（﹣2，，0）．‎ ‎（1）∵•=0，∴SC⊥BC．‎ ‎（2）设SC与AB所成的角为α，‎ ‎∵=（0，，0），•=4，||||=4，‎ ‎∴cosα=，即为所求．‎ 解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC．‎ ‎（2）如图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，‎ 连接SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，‎ ‎∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2018 崇明县一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=1，AD=3，∠ADC=45°．又已知PA⊥平面ABCD，PA=1．‎ 求：‎ ‎（1）异面直线PD与AC所成角的余弦值．‎ ‎（2）四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【解析】（1）连接AC，过点C作CF∥AB交AD于点F，因为∠ADC=45°，所以FD=1，‎ 从而BC=AF=2，‎ 延长BC至E，使得CE=AD=3，则AC∥DE，∴∠PDE（或其补角）是异面直线PD与AC所成角，且DE=AC=，AE=，PE=3，PD=．‎ 在△PDE中，cos∠PDE=﹣‎ 所以，异面直线PD与AC所成角余弦值为 ‎（2）∵BC=2，AD=3，AB=1，‎ ‎∴底面梯形面积为 ‎∵PA⊥平面ABCD，PA=1．‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD的体积为 类型三：直线与平面所成的角 例3、如图AC⊥BD，∠DAC=30º，BC=3，AC=2，以AC为折痕将平面ADC折起，使二面角D—AC—B为60º，点D在平面ABC上的射影为点O，BF=2AF.‎ ‎（1）求证：OF//平面ACD；‎ ‎（2）求AB与平面CDA所成角的余弦. ‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）∵AC⊥CD，AC⊥BC，‎ ‎∴AC⊥平面BCD，且 为二面角D—AC—B的平面角，即=60º，‎ ‎∴ 平面ABC⊥平面BCD，‎ ‎∴点D在平面ABC上的射影点O在BC上，且BC⊥DO，‎ 在中，=60º，BC⊥DO，CD=2，‎ ‎∴,‎ ‎∵B0=2=2CO, BF=2AF，∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵，，‎ ‎∴OF//平面ACD ‎（2）连接OF，则OF⊥BC，建立直角坐标系，‎ 则点，，，‎ ‎，，，‎ 设，且，则 ‎，即，令，则，，‎ ‎∴平面的法向量，设AB与平面CDA所成角为 ‎∴，‎ ‎∴AB与平面CDA所成角的余弦为。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。‎ 试确定，使直线与平面所成角的正切值为；‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).‎ 所以 又由的一个法向量.‎ 设与所成的角为，‎ 则 依题意有，解得.‎ 故当时，直线。‎ 类型四：有关二面角问题 例4. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E—BD—C的正切值．‎ ‎【解析】如图，建立坐标系，‎ 则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)‎ 设平面DBE的方程为：（过原点D=0）‎ 则 ‎∴平面DBE的一个法向量为 又因为平面BCD的一个法向量为 二面角E—BD—C的余弦值为：‎ ‎∴二面角E—BD—C的正切值为 举一反三：‎ ‎【变式1】如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，‎ 所以，且，‎ 又为等腰三角形，故，且，‎ 从而．‎ 所以为直角三角形，,又．‎ 所以平面．‎ ‎（Ⅱ）取中点，连结，‎ 由（Ⅰ）知，得．‎ 为二面角的平面角．‎ 由得平面．‎ 所以，又，‎ 故．‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【变式1】平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中点，‎ ‎（1）求证平面AGC⊥平面BGC；‎ ‎（2）求GB与平面AGC所成角正弦值；‎ ‎（3）求二面角B—AC—G的大小。‎ ‎【解析】如图，以A为原点建立直角坐标系，‎ ‎ ‎ 则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）‎ ‎（1）证明：，， ‎ 设平面AGC的法向量为，‎ 设平面BGC的法向量为，‎ ‎∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；‎ ‎（2）由⑴知平面AGC的法向量为 ‎， ‎ ‎∴‎ ‎（3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，‎ 平面ABCD的法向量， 得 ‎∴二面角B—AC—G的大小为 类型五：利用空间向量求空间距离 例5. 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离。‎ ‎【解析】∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），‎ ‎∴‎ 设平面ABC的法向量=（x，y，z），‎ 则，，‎ ‎∴‎ 即 令z=－2，则=（3，2，－2） ‎∴由点到平面的距离公式：‎ ‎===，‎ ‎∴点D到平面ABC的距离为。‎ ‎【总结升华】求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知正三棱柱—,，,是侧棱的中点。‎ ‎（1） 求二面角的正切值；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【解析】如图，建立空间直角坐标系．‎ 则．‎ ‎（1）设为平面的法向量．‎ 由 得．‎ 取 ‎ 又平面的一个法向量 ‎ ‎． ‎ 结合图形可知，二面角的正切值为3．‎ ‎（2）由（1）知：‎ 点到平面的距离＝．‎ 类型六：空间向量在立体几何中的综合应用 例6. 如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的的正切值；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，∴，‎ 又∵，∴‎ ‎（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）‎ 由题意有，设，‎ 则 由直线与直线所成的解为，得 ‎，即，解得 ‎∴，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，得 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 显然，二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的平面角的正切值为。‎ ‎（Ⅲ）取平面的法向量取为，‎ 则点A到平面的距离 ‎∵，‎ ‎∴。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ D B C A S ‎【解析】（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．‎ 因为，所以．‎ 又，为等腰直角三角形，．‎ 如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，‎ D B C A S ‎，，，，，‎ ‎，，所以．‎ ‎（Ⅱ）取中点，，‎ 连结，取中点，连结，．‎ ‎，，．‎ ‎，，与平面内两条相交直线，垂直．‎ 所以平面，‎ 与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 所以，直线与平面所成的正弦值为．‎