2017-2018学年重庆市江津中学校高二下学期第二次阶段考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年重庆市江津中学校高二下学期第二次阶段考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 重庆市江津中学校2017-2018学年高二下学期第二次阶段考试数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】 ，‎ ‎ 在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限，‎ 故选：B．‎ ‎2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）‎ A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B. 猜想数列的通项公式为 C. 半径为的圆的面积，则单位圆的面积 D. 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，结合定义可知只有C项为演绎推理 考点：演绎推理 ‎3．下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.‎ 详解： ，A不正确；‎ ‎，B正确；‎ ‎，C不正确；‎ ‎，D不正确.‎ 故选：B.‎ 点睛：(1)分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏．‎ ‎(2)特别要注意的是中间变量的系数．‎ ‎4．设存在导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由导数的概念可得，在点处的切线斜率为，即可得到所求.‎ 详解： 为可导函数，且满足，‎ ‎ 在点处的切线斜率为.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查曲线在某处切线斜率的意义，运用导数的概念判断在点处的切线斜率为是解题的关键.‎ ‎5．设其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）‎ ‎（注：若，则，）‎ A. 7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算.‎ 详解： ， ，‎ ‎ ，则 ‎ 则，‎ 阴影部分的面积为：0.6587.‎ 方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.‎ 故选：D.‎ 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.‎ ‎6．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ）‎ A. B. 7 C. D. 28‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据二项式展开式中只有第5项的二项式系数最大得出n的值，再由通项公式求得展开式的常数项.‎ 详解：的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，‎ 二项式展开式共有9项，n=8.‎ 由通项公式知：，‎ 当，即r=6时，展开式是常数项.‎ 故选：B.‎ 点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎7．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由条件概率公式计算即可.‎ 详解：，，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查条件概率.‎ ‎8．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ）‎ A. 216 B. 420 C. 720 D. 1080‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有种不同的分配方案．‎ 点睛：本题考查组合和排列的综合应用题，本题的难点是平均分组，要求搞清“平均分组”，如本题中将6个元素分成4组，其中有两组含2个元素，所以涉及平均分组，即有种不同的分组方法.‎ ‎9．已知，随机变量的分布如下：‎ ‎-1 ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ 当增大时，（ ）‎ A. 增大，增大 B. 减小，增大 C. 增大，减小 D. 减小 ，减小 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，，‎ ‎，又∵，∴故当增大时，减小，增大，故选B.‎ 考点：离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）‎ A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种 ‎【答案】D ‎【解析】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.‎ ‎11．函数的定义域为，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，构造函数，对其求导可得函数在R上单调递减，由可得，进而可以将不等式变形为，结合函数的单调性分析可得答案.‎ 详解：根据题意，构造函数，‎ 则，‎ 函数在R上单调递减，‎ 又 ‎ ‎ ‎ 不等式可化为，‎ ‎ ，‎ 即不等式的解集为.‎ 故选：A.‎ 点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．‎ ‎12．已知函数是上的增函数.当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点Q的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可.‎ 详解：由得，‎ ‎ 是上的增函数，‎ ‎ 在上恒成立，即： 在上恒成立.‎ 设， ， ，‎ 设，，‎ ‎ ，‎ 函数在单调递增，‎ ‎ .‎ ‎ 即，，‎ 又， .‎ m的最大值为3.‎ 故得.‎ 将函数的图象向上平移3个长度单位，所得图象相应的函数解析式为.‎ 由于，‎ ‎ 为奇函数，‎ 故的图象关于原点对称，‎ 由此即得函数的图象关于成中心对称.‎ 这表明存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题主要考查函数性质，求函数的导数，利用导数研究函数的最值，结合函数的对称性是解决本题的关键，综合性较强.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的导数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：直接根据积的求导公式可得所求.‎ 详解： ‎ ‎ .‎ 故答案为：.‎ 点睛：导数运算的原则和方法 ‎(1)原则：先化简解析式，再求导．‎ ‎(2)方法：‎ ‎①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；‎ ‎⑥复合函数：由外向内，层层求导．‎ ‎14．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据定积分的定义分别和，求和即可.‎ 详解： 表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半径.‎ 故 ‎ .‎ 故答案为：.‎ 点睛：求定积分的三种方法 ‎(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．‎ ‎(2)利用微积分基本定理求定积分．‎ ‎(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．‎ ‎15．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示，给出关于的下列命题：‎ ‎①函数在处取得极小值;‎ ‎②函数在是减函数，在是增函数；‎ ‎③当时，函数有4个零点；‎ ‎④如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0.‎ 其中所有的正确命题是__________(写出正确命题的序号).‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】分析：由导函数的图象可得函数的单调性、极值与最值，进而可画出函数的图象得出答案.‎ 详解：由导函数的图象可知：‎ 根据上述表达及其已知表格可画出函数的图象：‎ ‎①函数在处取得极小值，正确；‎ ‎②由表格和图象可知：函数在是减函数，因此不正确；‎ ‎③作出函数y=a，‎ 可知：当时，函数与y=a有四个交点，‎ 因此函数有4个零点，正确；‎ ‎④当时，函数单调递增，其函数值由1增加到2.故如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0，故正确.‎ 故答案为：①③④.‎ 点睛：求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 ‎(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；‎ ‎(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；‎ ‎(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．‎ ‎16．有10道数学单项选择题，每题选对得4分，不选或选错得0分.已知某考生能正确答对其中的7道题，余下的3道题每题能正确答对的概率为.假设每题答对与否相互独立，记为该考生答对的题数，为该考生的得分，则__________，__________（用数字作答）.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：（1）.‎ ‎（2）由题意可得：，，求出分布列，并利用分布列求出期望，即可得到答案.‎ 详解：（1）.‎ ‎（2）由题意可得：，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 的分布列为：‎ ‎.‎ ‎.‎ 故答案为：，32.‎ 点睛：判断某随机变量是否服从二项分布的方法 ‎(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．‎ ‎(2)各次试验中的事件是相互独立的．‎ ‎(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知.‎ ‎（Ⅰ）求； ‎ ‎（Ⅱ）求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析:（1）令，则展开式右边为,左边为（2）即求展开式中含x2的项的系数:根据对应关系可得,即为.‎ 试题解析：解：（1）令， ‎ 得 ‎ ‎ ,‎ ‎（2）展开式中含x2的项为： , ‎ ‎.‎ 点睛：赋值法研究二项式的系数和问题 ‎“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.‎ ‎18．甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛， 每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响.‎ ‎（1）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；‎ ‎（2）记为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）设事件A表示“甲过关”，事件B表示“乙过关”，事件C表示“丙过关”则，，，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三名大学生都过的概率.‎ ‎（2）由题意得的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.‎ 详解：解：（1）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，‎ 每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题.‎ 甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响.‎ ‎∴甲过关的概率，‎ 乙关的概率，‎ 丙过关的概率，‎ ‎∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：‎ ‎.‎ ‎（2）记为甲、乙、丙二名大学生中过关的人数，则的可能取值为 ‎∴随机变量的分布列为：‎ 数学期望.‎ 点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤 ‎(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．‎ ‎(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ ‎(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．‎ ‎19．（题文）已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间和极值.‎ ‎【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为.‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.‎ 详解：（1）∵‎ ‎∴，所求的切线斜率为0，又切点为 故所求切线方程为.‎ ‎（2）∵且 令得，令得.‎ 从而函数的单调递增区间为，单调递减区间为 显然函数只有极大值，且极大值为.‎ 点睛：求可导函数f(x)的极值的步骤 ‎(1)求导函数f ′(x)；‎ ‎(2)求方程 f ′(x)＝0的根；‎ ‎(3)检验f ′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成．‎ ‎20．2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：‎ ‎（1）根据上表说明，能否有的把握认为，收看开幕式与性别有关？‎ ‎（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3 人中女生人数为，写出的分布列，并求.‎ 附：，其中.‎ ‎【答案】（1）有（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）直接代入公式即可；‎ ‎（2）根据分层抽样方法，选取的12人中，男生有9人，女生有3人；题意可知，‎ 的可能取值有0, 1, 2, 3.，分别求出其概率即可.‎ 详解：（1）因为，‎ 所以有的把握认为，收看开幕式与性别有关.‎ ‎（2）根据分层抽样方法得，男生人，女生人 所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人.‎ 由题意可知，的可能取值有0, 1, 2, 3.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列是：‎ ‎∴.‎ 点睛：解决独立性检验应用问题的方法 解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后根据统计量K2的计算公式确定K2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ ‎21．已知函数 ‎（1）若在上是减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的最大值为2，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，问题转化为，设，根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（2）求出的单调区间，得到，求出a的值即可.‎ 详解：（1）若在上是减函数，‎ 则在恒成立，‎ ‎，‎ ‎∴，设，‎ 则，‎ ‎∵，∴递增，‎ 又，故.‎ ‎（2）由，要使，‎ 故的递减区间是，递增区间是，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ 点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎ ‎22．已知函数有两个极值点，（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：(Ⅰ) 函数有两个极值点，只需有两个根，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象可得当时，没有极值点；当 时，当时，有两个极值点；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减，问题转化为，要证，只需证，即证，利用导数可得，从而可得结论.‎ 详解： (Ⅰ)∵，∴.‎ 设，则.‎ 令，解得.‎ ‎∴当时，；当时，.‎ ‎∴.‎ 当时，，∴函数单调递增，没有极值点；‎ 当时，，且当时，；当时，.‎ ‎∴当时，有两个零点.‎ 不妨设，则.‎ ‎∴当函数有两个极值点时，的取值范围为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，为的两个实数根，，在上单调递减.‎ 下面先证，只需证.‎ ‎∵，得，∴.‎ 设，，‎ 则，∴在上单调递减，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎∵函数在上也单调递减，∴.‎ ‎∴要证，只需证，即证.‎ 设函数，则.‎ 设，则，‎ ‎∴在上单调递增，∴，即.‎ ‎∴在上单调递增，∴.‎ ‎∴当时，，则，‎ ‎∴，∴. ‎ 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎