数学卷·2018届吉林省吉林一中高二上学期9月月考数学试卷（奥训班） （解析版）

数学卷·2018届吉林省吉林一中高二上学期9月月考数学试卷（奥训班） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年吉林省吉林一中高二（上）9月月考数学试卷（奥训班）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设X﹣B（10，0.8），则D（2X+1）等于（　　）‎ A．1.6 B．3.2 C．6.4 D．12.8‎ ‎2．防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控．两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A只能去乙地．则不同的选派方案共有（　　）‎ A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 ‎3．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（　　）‎ A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718‎ ‎4．给出以下三个说法：‎ ‎①非线性回归问题，不能用线性回归分析解决；‎ ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越接近1，说明拟合的效果越好；‎ ‎③对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；‎ ‎④统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，则|r|的值越小，相关性越弱．‎ 其中正确的说法的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎5．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2‎ ‎6．已知x、y取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（　　）‎ A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80‎ ‎7．“λ＜1”是“数列{n2﹣2λn}（n∈N*）为递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（　　）‎ A． B．﹣ C．或﹣ D．或 ‎9．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（　　）‎ A．2π，x= B．2π，x= C．π，x= D．π，x=‎ ‎10．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（　　）‎ A． B． C．λ D．无法确定 ‎11．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（　　）‎ A．24π B．32π C．48π D．192π ‎12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（　　）‎ A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分.‎ ‎13．若多项式，则a9=　　．‎ ‎14．过点（﹣1，1）的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣11=0截得的弦长为4，则该直线的方程为　　．‎ ‎15．已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为　　．‎ ‎16．已知函数，g（x）=ex﹣2，若存在x1＞0，x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则x1﹣x2的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．‎ ‎（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；‎ ‎（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．‎ ‎18．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ ‎19．数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：．‎ ‎20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示． ‎ 每扇门对应的梦想基金：（单位：元）‎ 第一扇门 第二扇门 第三扇门 第四扇门 ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎5000‎ ‎（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+，a∈R ‎（Ⅰ）当a=时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，x2∈（2，+∞），求证：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年吉林省吉林一中高二（上）9月月考数学试卷（奥训班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设X﹣B（10，0.8），则D（2X+1）等于（　　）‎ A．1.6 B．3.2 C．6.4 D．12.8‎ ‎【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．‎ ‎【分析】根据设随机变量X～B（10，0.8），看出变量符合二项分布，看出成功概率，根据二项分布的方差公式做出变量的方差，进而根据D（2X+1）=22DX，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵设随机变量X～B（10，0.8），‎ ‎∴DX=10×0.8（1﹣0.8）=1.6，‎ ‎∴D（2X+1）=22×1.6=6.4‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控．两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A只能去乙地．则不同的选派方案共有（　　）‎ A．6种 B．8种 C．12种 D．16种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】本题是一个分类计数问题，两地都需要既有内科医生又有儿科医生，表示两地至少有一个儿科医生和一个内科医生，分成三人小组可以直接分给甲组，有C21C32种结果，余下的分给乙，得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 两地都需要既有内科医生又有儿科医生，表示两地至少有一个儿科医生和一个内科医生，‎ 分成三人小组可以直接分给甲组，有C21C32=6种结果，‎ 给甲分配以后余下的分给乙，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（　　）‎ A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P（2＜X≤6）=0.9544，P（3＜X≤5）=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），‎ P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，‎ P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，‎ μ=4，σ=1，‎ ‎∴P（2＜X≤6）=0.9544，‎ P（3＜X≤5）=0.6826，‎ ‎∴P（2＜X≤6﹣P（3＜X≤5）=0.9544﹣0.6826=0.2718，‎ ‎∴P（5＜X＜6）==0.1359‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．给出以下三个说法：‎ ‎①非线性回归问题，不能用线性回归分析解决；‎ ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越接近1，说明拟合的效果越好；‎ ‎③对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；‎ ‎④统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，则|r|的值越小，相关性越弱．‎ 其中正确的说法的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据独立性检验和线性回归模型的应用问题，对题目中的说法进行分析，判断正误即可．‎ ‎【解答】解：对于①，非线性回归问题，不能用线性回归分析解决，正确；‎ 对于②，在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数R2的值越接近1，说明拟合的效果越好，正确；‎ 对于③，对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大，正确；‎ ‎ 对于④，统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，则|r|的值越小，相关性越弱，正确．‎ 故选：D ‎　‎ ‎5．曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）‎ 由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）‎ ‎∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF 而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2‎ ‎∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4‎ ‎∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2‎ 故选D ‎　‎ ‎6．已知x、y取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎1.3‎ ‎1.8‎ ‎5.6‎ ‎6.1‎ ‎7.4‎ ‎9.3‎ 从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（　　）‎ A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．‎ ‎【解答】解：由题意， =4， =5.25‎ ‎∵y与x线性相关，且=0.95x+a，‎ ‎∴5.25=0.95×4+a，‎ ‎∴a=1.45‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．“λ＜1”是“数列{n2﹣2λn}（n∈N*）为递增数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由“λ＜1”可得 an+1﹣an＞0，推出“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．‎ ‎【解答】解：由“λ＜1”可得 an+1﹣an=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1‎ ‎＞0，‎ 故可推出“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．‎ 由“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”‎ 可得 an+1﹣an=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，‎ 故λ＜，‎ 故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．‎ 故“λ＜1”是“数列an=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（　　）‎ A． B．﹣ C．或﹣ D．或 ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果．‎ ‎【解答】解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，‎ ‎∴sinα==；‎ 同理可得，‎ ‎∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=•+•=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（　　）‎ A．2π，x= B．2π，x= C．π，x= D．π，x=‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】先化简即可求周期与对称轴方程．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴T=π，‎ 对称轴：，∴，‎ 当k=0时，．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（　　）‎ A． B． C．λ D．无法确定 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设M（m，n），即有m2﹣n2=λ，‎ 双曲线的渐近线为y=±x，‎ 可得|MN|=，‎ 由勾股定理可得|ON|=‎ ‎==，‎ 可得|ON|•|MN|=•==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（　　）‎ A．24π B．32π C．48π D．192π ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．‎ ‎【分析】由题意判断球心与三棱锥的底面的位置关系，求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，‎ 即cos∠ABC==，‎ 可知底面三角形是直角三角形，斜边中点与球心的连线，就是棱锥的高，‎ 所以球的半径为： =2，‎ 所以球的表面积为：4=48π．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（　　）‎ A．n B．2n C．（2n﹣1） D．（2n﹣1）‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．‎ ‎【解答】解：当时，f（x）=8x﹣8，‎ 所以，此时当时，g（x）max=0；‎ 当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；‎ 由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．‎ 下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．‎ 当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，‎ 因为，‎ 所以，‎ 此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；‎ 当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．‎ 由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．‎ 综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，‎ 从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．‎ 故选：D ‎　‎ 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分.‎ ‎13．若多项式，则a9=　﹣10　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1）9的系数．‎ ‎【解答】解：x3+x10=x3+[（x+1）﹣1]10，‎ 题中a9（x+1）9只是[（x+1）﹣1]10展开式中（x+1）9的系数 故a9=C101（﹣1）1=﹣10．‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎　‎ ‎14．过点（﹣1，1）的直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣11=0截得的弦长为4，则该直线的方程为　x=﹣1或3x+4y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】分类讨论：过点（﹣1，1）的直线与x轴垂直时，直接验证即可；过点（﹣1，1）的直线与x轴垂直时，设直线的方程为：y﹣1=k（x+1），利用点到直线的距离公式可得：圆心C到此直线的距离d．利用弦长公式，即可解得k．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣11=0化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2‎ ‎=16，得到圆心C（1，2），半径r=4．‎ ‎①过点（﹣1，1）的直线与x轴垂直时，把x=﹣1代入圆的方程：（﹣1）2+y2﹣2×（﹣1）﹣4y﹣11=0，‎ 化为y2﹣4y﹣8=0，解得y1=，．‎ ‎∴弦长=y2﹣y1=．满足题意．‎ ‎②过点（﹣1，1）的直线不与x轴垂直时，设直线的方程为：y﹣1=k（x+1），即kx﹣y+k+1=0．‎ 圆心C到此直线的距离d==．‎ ‎∴，即，化为4k=﹣3，解得．‎ ‎∴直线的方程为： x﹣y﹣+1=0，化为3x+4y﹣1=0．‎ 综上可知：所求直线的方程为x=﹣1或3x+4y﹣1=0．‎ 故答案为：x=﹣1或3x+4y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎15．已知动圆的圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为　1　．‎ ‎【考点】抛物线的应用．‎ ‎【分析】首先确定MN为定长，再利用余弦定理，即可确定sin∠MCN的最大值．‎ ‎【解答】解：由题意，设C（x0，y0），则⊙C的方程（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=x02+（y0﹣p）2．‎ 把y=0和x02=2py0代入整理得x2﹣2x0x+﹣p2=0．‎ 设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x0﹣p，x2=x0+p．‎ ‎∴|MN|=|x1﹣x2|=2p．‎ ‎∵|CM|=|CN|==‎ ‎∴=1﹣‎ ‎∴﹣1≤cos∠MCN＜1，‎ ‎∵0＜∠MCN＜π ‎∴0＜sin∠MCN≤1，‎ ‎∴sin∠MCN的最大值为1‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎16．已知函数，g（x）=ex﹣2，若存在x1＞0，x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则x1﹣x2的最小值为　ln2　．‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】求出x1﹣x2的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x1﹣x2的最小值即可．‎ ‎【解答】令 y=ex2﹣2，则 x2=lny+2，令y=ln+，可得 x1=2，‎ 则x1﹣x2=2﹣lny﹣2，∴（x1﹣x2）′=2﹣，‎ 显然，（x1﹣x2）′是增函数，观察可得当y=时，（x1﹣x2）′=0，故（x1﹣x2）′有唯一零点．‎ 故当y=时，x1﹣x2取得最小值为2e0﹣ln﹣2=ln2，‎ 故答案为：ln2．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．‎ ‎（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；‎ ‎（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．‎ ‎【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】（1）在△POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值．‎ ‎（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记△POC的面积为S（θ），则，利用 两角和差的正弦公式化为，可得时，S（θ）取得最大值为．‎ 解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OC•PC=4，再利用基本不等式求得3OC•PC≤4，所以，再根据OC=PC 求得△POC面积的最大值时θ的值．‎ ‎【解答】解：（1）在△POC中，，OP=2，OC=1，‎ 由 得PC2+PC﹣3=0，解得．‎ ‎（2）解法一：∵CP∥OB，∴，‎ 在△POC中，由正弦定理得，‎ 即，∴．‎ 又，∴．‎ 记△POC的面积为S（θ），则=‎ ‎===‎ ‎==，‎ ‎∴时，S（θ）取得最大值为．‎ 解法二：，即OC2+PC2+OC•PC=4．‎ 又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，‎ 所以，∵OC=PC，‎ ‎∴时，S（θ）取得最大值为．‎ ‎　‎ ‎18．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．‎ ‎（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，‎ ‎∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ ‎∴事件A的概率为 ‎（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即ξ的分布列是 ‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎∴ξ的期望是 ‎　‎ ‎19．数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1=a1，b4=S3．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）由题意可知，Sn=2an﹣1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求bn，‎ ‎（2）由，利用裂项求和可求Tn，然后结合数列的单调性可证 ‎【解答】解：（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn=2an﹣1…‎ 当n=1时，a1=S1=2a1﹣1，∴a1=1…‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣1）﹣（2an﹣1﹣1）=2an﹣2an﹣1，‎ ‎∴an=2an﹣1，即…‎ ‎∴数列{an}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴，…‎ 设{bn}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2…‎ ‎∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1…‎ ‎（2）…‎ ‎∴…‎ ‎∵n∈N*，∴…‎ ‎∴数列{Tn}是一个递增数列 …‎ ‎∴．…‎ 综上所述，…‎ ‎　‎ ‎20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1﹣4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金（奖金金额累加），但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示． ‎ 每扇门对应的梦想基金：（单位：元）‎ 第一扇门 第二扇门 第三扇门 第四扇门 ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎5000‎ ‎（Ⅰ）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？说明你的理由．（下面的临界值表供参考）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（Ⅱ）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．（参考公式其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表中所给的数据，代入求观测值的公式，求出这组数据的观测值，把观测值同临界值表中的临界值进行比较，得到结论；‎ ‎（Ⅱ）确定ξ的所有能取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，‎ 正确 错误 合计 ‎20～30（岁）‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30～40（岁）‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎…‎ 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3‎ ‎∵3＞2.706…‎ ‎∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…‎ ‎（Ⅱ）ξ的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000‎ 则…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1000‎ ‎3000‎ ‎6000‎ ‎11000‎ P ‎…‎ ξ数学期望…‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x﹣3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a2=4b2，‎ 则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2．‎ 设N（x，y），则=，‎ 当y=﹣1时，|NQ|有最大值为，‎ 解得b2=1，∴a2=4，椭圆方程是；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x﹣3），‎ 由，整理得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0．‎ 由△=242k4﹣16（9k2﹣1）（1+4k2）＞0，得，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ 则，．‎ 由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）①，‎ 又由，即，‎ 将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k2﹣1）（16k2+13）＞0，则，‎ ‎∴②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，‎ ‎∴或．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=alnx+，a∈R ‎（Ⅰ）当a=时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，若，x2∈（2，+∞），求证：f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）根据函数的导数，设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，得0＜α＜＜2＜β．由此入手能够证明f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞‎ ‎）且f′（x）=，‎ ‎（Ⅰ）当a=时，f′（x）=，‎ 若0＜x＜或x＞3，则f′（x）＞0，若＜x＜1或1＜x＜3，则f′（x）＜0，‎ 故f（x）在（0，）和（3，+∞）上单调递增，在（，1）和（1，3）上单调递减；‎ ‎（Ⅱ）当a∈[，2）时，设ax2﹣（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，‎ 则，得0＜α＜＜2＜β．‎ 当x∈（0，α）和（β，+∞）时，f′（x）=＞0，‎ 函数f（x）单调递增；‎ 当x∈（α，）和（2，β）时，f′（x）＜0，‎ 函数f（x）单调递减，‎ 则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），‎ 则f（x2）﹣f（x1）≥f（β）﹣f（α）=alnβ+﹣alnα﹣=aln +=α[lnβ2+β﹣]‎ ‎（利用α+β=2+，α•β=1）‎ 令h（x）=lnx2+x﹣，x＞2，‎ 则h′（x）=＞0，‎ 则函数h（x）单调递增，‎ h（x）≥h（2）=2ln2+，‎ ‎∴lnβ2+β﹣≥2ln2+＞0，‎ ‎∵a∈[，2），‎ 则a[lnβ2+β﹣]≥ln2+，‎ ‎∴f（x2）﹣f（x1）≥ln2+．‎