数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期毕业班第二次月考数学试题（解析版）
高四第一学期第2次考试数学试题
一、选择题
1. 已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
【答案】A
【解析】∵函数f(x)=(2x−1)ex+ax2−3a(x>0)为增函数，
∴f′(x)=(2x+1)ex+2ax⩾0,化为，
令,则，
可得：时,函数g(x)取得极大值即最大值,.
∴.
∴a的取值范围是.
本题选择A选项.
2. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】结合题意可知：，
则：，即：，
当时，，
当时，，
且时，，
据此可得：，
据此可得：，
本题选择C选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
3. 若关于方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：令,由题设,即,解之得,故应选D.
考点：二次函数的图象和性质的运用.
4. 直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
如图所示：过点D作,翻折过程中，当时，三棱锥体积最大，
此时，又，所以，所以.，，所以.
所以.
此时，
.
表面积为.
故选D.
点睛：解本题的关键是明确何时体积最大，从空间角度，我们可以想象抬的“越高”体积越大，借助于辅助线DO即可说明.
5. 已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且满足 ，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则，
∵f(x)−2f′(x)−4>0，∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增，
∵f(0)=−1,∴F(0)=1，
∴不等式f(x)+2>e2x等价为不等式等价为F(x)>F(0)，
解得x>0，
故不等式的解集为(0,+∞)，
本题选择A选项.
6. 设函数在上存在导数， ，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令 ,则,所以为上单调递减奇函数,
选B.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C
【点睛】
求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。
8. 已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知 =，，选D.
【点睛】
对于外接球或内嵌体问题，最重要的是画出立体图形，对于复杂的还需要做出截面。
9. 已知函数的两个零点满足，集合
，则（ ）
A. ，都有 B. ，都有
C. ，使得 D. ，使得
【答案】A
【解析】函数f(x)=x2+bx+c的两个零点x1,x2，
可得f(x1)=0,f(x2)=0，二次函数开口向上，
满足|x1−x2|<3,集合A={m|f(m)<0}，
可得x1
x2,所以∀m∈A,都有f(m+3)>0.
本题选择A选项.
10. 已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图，问题转化为方程有四个不同实数根，即函数的图像有四个不同交点，不妨设（）不合题意，则方程有两个不等实数根，故，即，所以，即，应选答案A。
11. 已知若存在互不相同的四个实数 满足 ，则 的取值范围是（）
A. （， ） B. （，15）
C. [，15] D. （，15）
【答案】D
【解析】作出函数的图象如图：
由，得，，则，；
利用对称性可知，
由，可得：.
.
本题选择选项.
12. 如图，在 中， 分别是 的中点，若（），且点P落在四边形 内（含边界），则的取值范围是（ ）
A. [， ] B. [， ] C. [，] D. [，]
【答案】C
【解析】由图可知,，设OP与AB交于点C,所以，，，，，=全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...
当，==最小值，当时==，所以选C.
二、填空题
13. 为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点
的坐标为______．
【答案】
【解析】设，则，可得，①
，② 由①②得 ，可得，解得，点坐标为，故答案为.
14. 已知函数有且仅有2个零点，则的范围是________．
【答案】或
【解析】设，在上递增，由，可得在上有一个零点，只需函数，在有一个零点即可，时，，此时有一个零点，符合题意，若，只需即可，可得，的取值范围是或，故答案为或.
15. 在三棱锥中， ， ， ， 为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意得 ,因为，所以 ,由阿波罗斯圆知到直线最远距离为圆的半径，（设
，则由得 ）因此三棱锥体积的最大值为
16. 已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，设垂足为A，易得，,
又，所以，而，故，，在中，利用余弦定理可得：，即
，，得：，故渐近线方程为：
三、解答题
17. 已知函数（, 是自然对数的底数）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，利用导数研究函数最小值时，先根据，得导函数在 上单调递增，因此，即得实数的取值范围.
试题解析:（Ⅰ）当时，有，
则．
又因为，
∴曲线在点处的切线方程为，即
（Ⅱ）因为，令
有（）且函数在上单调递增
当时，有，此时函数在上单调递增，则
（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，
则恒成立；
（ⅱ）若即时，则在存在，
此时函数在 上单调递减， 上单调递增且，
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
当时，有，则在存在，此时上单调递减， 上单调递增所以函数在上先减后增．
又，则函数在上先减后增且．
所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
18. 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．
①证明： ；
②求四边形 的面积 的最大值．
【答案】（1） （2）①见解析②
【解析】试题分析：
(1)由题意结合椭圆的性质可求得，则，椭圆方程为;
(2)设出点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
①联立直线方程与椭圆的方程，结合弦长公式求得弦长，结合|AB|=|CD|得到关于实数m的等式，整理所得的等式可得m1+m2=0；
②由题意求得面积函数，结合均值不等式的结论可知当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为.
试题解析：
（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）
∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，
b2=a2﹣c2=1
椭圆G 的标准方程为：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0
，
x1+x2=，x1x2=；
|AB|==2；
同理|CD|=2，
由|AB|=|CD|得2=2，
∵m1≠m2，∴m1+m2=0
②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=
∵m1+m2=0，∴
∴s=|AB|×d=2×
=.
所以当2k2+1=2m12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19. 已知函数 ．
（I） 讨论函数的单调区间；
（II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；（Ⅱ）即的取值范围是．
【解析】试题分析：
(Ⅰ)对函数求导可得，令得．
分类讨论可得当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；
(Ⅱ)当时，函数的解析式，则，讨论函数的单调性可得，
，且，则的取值范围是.
试题解析：
（I）．
令得．
（i）当，即时， ， 在单调递增．
（ii）当，即时，
当时， 在内单调递增；
当时， 在内单调递减．
（iii）当，即时，
当时， 在内单调递增；
当时， 在内单调递减．
综上，当时， 在内单调递增， 在内单调递减；
当时， 在单调递增；
当时， 在内单调递增，
在内单调递减．（其中）
（II）当时， ，
令，得．
将， ， 变化情况列表如下：
1
0
0
↗
极大
↘
极小
↗
由此表可得， ．
又，
故区间内必须含有，即的取值范围是．
20. 已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足： ，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由和两式作差即可得，利用等比数列求通项即可；
（2），采用分组求和即可.
试题解析：
（1） ①
当时，②
①-②得：
，又，由①得
，
是以2为首项3为公比的等比数列
。
（2）
.
