江苏省高邮市2020届高三上学期12月阶段性学情联合调研数学试题

江苏省高邮市2020届高三上学期12月阶段性学情联合调研数学试题

江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．己知全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，则＝ ．‎ 答案：{2}‎ 考点： 补集及其运算 解析：∵全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，‎ ‎ ∴＝{2}．‎ ‎2．己知复数(i为虚数单位)，复数z虚部为 ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：，故虚部为．‎ ‎3．设向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，若∥，则实数k的值为 ．‎ 答案：1‎ 考点：向量平行的坐标运算 解析：∵向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，且∥，‎ ‎ ∴，解得k＝1．‎ ‎4．函数＝的单调减区间为 ．‎ 答案：(，)‎ 考点：利用导数研究函数的单调性 解析：∵＝，∴，‎ ‎ 当时，，故原函数的单调减区间为(，)．‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于 ．‎ 答案：8‎ 考点：双曲线及其性质 解析：由题意知：，解得，故，∴焦距2c＝8．‎ ‎6．己知偶函数在[0，＋∞)单调递减，＝0，若＞0，则x的取值范围是 ．‎ 答案：(，)‎ 考点：函数的单调性与奇偶性 解析：由于函数是偶函数，且＝0，则＝0，又在[0，＋∞)单调递减，‎ ‎ 故在(﹣∞，0]单调递增，∴当时，，‎ ‎ 要使＞0，则，解得，故x的取值范围是(，)．‎ ‎7．如图，己知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥M—A1AB的体积 ．‎ 答案：‎ 考点：棱锥的体积 解析：．‎ ‎8．在△ABC中，如果sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则sin C＝ ．‎ 答案：‎ 考点：正弦定理、余弦定理 解析：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：4，‎ ‎ ∴a：b：c＝2：3：4，‎ ‎ 设a＝2x，b＝3x，c＝4x，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴sinC＝．‎ ‎9．己知等比数列的前n项和为，若＝7，＝63，则＝ ．‎ 答案：448‎ 考点：等比数列的性质 解析：∵＝7，＝63，则，‎ ‎ ∴，即＝448．‎ ‎10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 ．‎ 答案：﹣2‎ 考点：对称点求法，两点间距离公式的计算 解析：设点Q与点O关于直线x＋y﹣6＝0对称，连接PQ，则PQ﹣2即为所求最小值，‎ ‎ 首先求得点Q(6，6)，则PQ＝，‎ ‎ ∴PQ﹣2＝﹣2，则将军行走的最短路程为﹣2．‎ l1．在平行四边形ABCD中，己知AB＝6，AD＝5，，＝﹣18，则＝ ．‎ 答案：15‎ 考点：平面向量的数量积 解析：∵‎ ‎ 又＝﹣18，AB＝6，AD＝5，‎ ‎ ∴，故，‎ ‎ ∴‎ ‎ ．‎ ‎12．己知x (0，3)，则的最小值为 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式 解析：，‎ ‎ ∵，∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ，‎ ‎ 当且仅当x＝1时，取“＝”．‎ ‎13．己知△ABC的面积为＋1，AC＝2，且＝1，则tanA的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：三角恒等变换、正弦定理 解析：∵＝1，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴4cosAsinB＋3cosBsinA＝sinAsinB，‎ ‎ ∴3sinC＝sinB(sinA﹣cosA)，故＝sinA﹣cosA，‎ ‎ ∵△ABC的面积为＋1，则，代入上式得：‎ ‎ ，∵b＝AC＝2，‎ ‎ ∴，即，‎ ‎ 解得．‎ ‎14．己知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y＝﹣2的对称点在kx﹣y﹣3＝0的图象上，则实数k的取值范围是 ．‎ 答案：(，)(1，)‎ 考点：函数与方程 解析：直线kx﹣y﹣3＝0关于直线y＝﹣2的对称直线为y＝﹣1﹣kx，‎ ‎ 故可将题意转化为直线y＝﹣1﹣kx与函数有且仅有两个交点，‎ ‎ 当x＝0时，显然不符合题意，当x≠0时，参变分离得：，‎ ‎ 即方程有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k的取值范围是k＞1或k＜，即(，)(1，)．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 若函数(＞0，0＜＜)的图象经过点(0，)，且相邻的两条对称轴之间的距离为6．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当x [﹣1，5]时，的值域．‎ 解：(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，‎ 记的周期为，则，‎ 又，. ‎ ‎;‎ 的图象经过点，‎ ‎，， ‎ 函数的解析式为 ‎ ‎(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，‎ 由(1)得，，‎ 函数的解析式为； ‎ 当时，，则. ‎ 综上，当时，的值域为. ‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD．‎ ‎（1）求证：PB //平而AEC；‎ ‎（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．‎ 证明:（1）连接交于，‎ 因为是平行四边形，所以是的中点，‎ 因为为的中点，所以// ‎ 又因为平面，平面 所以//平面 ‎ ‎（2）因为且是的中点，所以 又因为平面，平面，所以 ‎ 因为四边形是矩形，所以，因为平面且 所以平面 又因为平面，所以 ‎ 平面且 所以平面 ‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 如图①，某半径为lm的圆形广告牌，安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架．如图②，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN，线段PA，线段PB构成．其中点P为广告牌的最低点，且为弧MN中点，点A，B在墙面上，PA垂直于墙面．兼顾美观及有效支撑，规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为，[，]．经测算，PA、PB段的每米制作费用分别为a元、a元，弧MN段侮米制作费用为3a元．‎ ‎（1）试将制作一个支架所需的费用表示为的函数；‎ ‎（2）求制作支架所需费用的最小值．‎ 解：（1）在扇形OMN中，劣弧MN的长度为 在中，， ‎ 所以所需费用， ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，在区间上单调递减；‎ ‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 所以当时，有最小值 ‎ 答：所需费用的最小值元． ‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，己知椭圆C：过点(1，)，离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线线l与椭圆相交于M，N两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；‎ ‎（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值．‎ 解:（1）设椭圆的焦距为.离心率为 ‎， 解得. ‎ 则椭圆的方程为. ‎ (2) 设点 ‎ ，整理可得 即， ‎ 代入坐标，可得即，又点在椭圆C上 ‎，解得 直线的斜率 ‎ （3） 直线的方程为 由消去得 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 己知函数．‎ ‎（1）当a＝1时，求在x＝1处的切线方程：‎ ‎（2）当a＞0时，讨论的单调性；‎ ‎（3）若有两个极值点，(≠)，且不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）当时，，　，‎ ‎　　　所以在处的切线方程为，即 ‎ ‎　 （2）定义域为，‎ ‎ ①若时，，，‎ 所以单调递增区间为，无减区间； ‎ ‎　　　 ②若，则 ‎　　　　　当时，；当时，‎ 所以单调递增区间为，无减区间； ‎ ‎　　　 ③若时，由，得或 ‎　　　　　当，或时，‎ ‎　　　　　当时， 　　‎ ‎　　　　　所以单调递增区间为，‎ ‎　　　　　　单调递减区间为 ‎ ‎（3）由（1）知，，且， ‎ 不等式恒成立等价于 恒成立 又 ‎ ‎ 所以， ‎ 令（），则，‎ 所以在上单调递减， ‎ 所以，所以 ‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 若数列满足(n)，则称为“螺旋递增数列”．‎ ‎（1）设数列是“螺旋递增数列”，且，(n)，求；‎ ‎（2）设数列是“螺旋递增数列”，其前n项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；‎ ‎（3）设数列是“螺旋上升数列”，且，(n)，记数列的n项和为．问是否存在实数t，使得对任意的n恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1），，是以为首项4为公比的等比数列，‎ ‎，，‎ ‎∵数列是“螺旋递增数列”， ‎ ‎（2）由数列是“螺旋递增数列”得，故，‎ ‎∴中存在连续三项成等差数列；‎ ‎（注：给出具体三项也可） ‎ 假设中存在连续四项成等差数列，‎ 则，即，‎ 当时，，①‎ 当时，，②‎ 由数列是“螺旋递增数列”得，③‎ ‎①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列. ‎ ‎（3）∵，，是以为首项为公差的等差数列，‎ ‎，又数列是“螺旋递增数列”，‎ 故，‎ ‎， ‎ ‎①当时，‎ ‎，，‎ 又恒成立，恒成立，. ‎ ‎②当时，‎ ‎，，‎ 又恒成立，恒成立，. ‎ 综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是. ‎ 数学附加试卷 ‎ （满分40分，考试时间30分钟）‎ ‎21A．（本小题满分10分）‎ ‎ 己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·‎ ‎ （1)求实数a，b的值：‎ ‎ （2）求矩阵A的逆矩阵．‎ 解：（1）因为 ， ‎ 所以 所以 ． ‎ ‎（2） ， ‎ ‎ ． ‎ ‎21B.（本小题满分10分）‎ ‎ 己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标 方程 ‎(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎ (2)己知P为曲线C:为参数）上点，求P到直线l的距离的最小值．‎ 解：(1) 直线l的极坐标方程ρsin＝2，则 ρsinθ－ρcosθ＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝4， ‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0. ‎ ‎(2) 因为P为曲线上一点，‎ 所以P到直线l的距离[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ ‎ 所以当cos(θ＋φ)＝1时，d的最大值为 ‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，‎ AA1＝2，点P是棱BB1上点，满足 ‎（l）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎ (2)若二面角P一A1C－B的余弦值为，求的值．‎ 解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.‎ 因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2λ)． ‎ ‎(1) 由λ＝得，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，－2)，‎ 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 由得 不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，‎ 从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2，2，1)． ‎ 设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，‎ 则sinθ＝|cos〈，n1〉|＝||＝，‎ 所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为. ‎ ‎(2) 设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，‎ ＝(1，0，2λ－2)，‎ 由得 不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，‎ 所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2，1)． ‎ 则cos〈n1，n2〉＝.‎ 因为二面角PA1CB的余弦值为，‎ 所以＝， ‎ 化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝或λ＝‎ ‎0≤λ≤1 ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于 两点，交抛物线的准线于点H，其中．过点H作y轴的垂线 交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.‎ ‎ （1)求p的值；‎ ‎（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．‎ 解答：（1）设方程为，‎ 与联立，消去整理得 ‎　　　　 所以，得（舍去）或 ‎ ‎（2）由（1）知抛物线方程为，，准线方程为 ‎　　 因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，‎ 由得，‎ 所以 ‎ 令，则，所以，‎ 方程为 由得，‎ 所以，，代入，得 所以 ‎ 到直线的距离为 到直线的距离为 所以四边形的面积 ‎ 令，则 ‎ ‎ 当时，，单调递减 当时，，单调递增 所以，当时，有最小值，的最小值为 ‎