2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性
第3讲 函数的奇偶性、对称性
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[教材衍化]
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a
0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝
答案：
2.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析：由题图可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．
答案：(－2，0)∪(2，5]
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以a－1＋2a＝0，
所以a＝.
又f(－x)＝f(x)，
所以b＝0，
所以a＋b＝.
答案：
判断函数的奇偶性
(1)函数y＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
(2)(2020·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f(x)＝|e|x|－2e|＋e|x|，g(x)＝3sin 2x，下列描述正确的是( )
A．f(g(x))是奇函数
B．f(g(x))是偶函数
C．f(g(x))既是奇函数又是偶函数
D．f(g(x))既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 (1)由9－x2>0可得－30的解集为( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4，－2)∪(2，4)
C．(－∞，－4)∪(－2，0)
D．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.
【答案】 D
角度二 函数的奇偶性与对称性相结合
在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【解析】 由f(x)＝f(2－x)，函数f(x)关于x＝1对称，
又因为f(x)在R上是偶函数，所以f(x)关于y轴对称．
又因为f(x)在区间[1，2]上是减函数，
所以f(x)在[0，1]上为增函数，在[－1，0]上为减函数，故函数图象如图所示．由图可知B正确．
【答案】 B
(1)关于奇偶性、单调性、对称性的综合性问题，关键是利用奇偶性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．
②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
1．(2020·湖州模拟)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，在区间[－1，0]上是严格单调递增函数，且满足f(e)＝0，f(2e)＝1，则不等式的解集为________．
解析：根据函数周期为2且为偶函数知，f(e)＝f(e－2)＝0，f(2e)＝f(2e－4)＝f(6－2e)＝1，因为0<6－2ef(2x－1)成立的x的取值范围是________；
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为________．
【解析】 (1)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得0⇒f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4.
【答案】 (1) (2){x|x<0或x>4}
[基础题组练]
1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－x2 B．y＝x3
C．y＝log2x D．y＝－3－x
解析：选B.A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．
B．函数y＝x3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件．
C．y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．
D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．
2．(2020·衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：选C.当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，因为f(x)是R上的奇函数，所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，所以f(x)＝x3－ln(1－x)．
3．若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函数，则一定有( )
A．b＝0 B．ac＝0
C．a＝0且c＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0
解析：选C.设函数g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函数．所以h(x)＝ax2＋bx＋c为奇函数．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.当a＝c＝b＝0时，f(x)＝0，也是偶函数，故选C.
4．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．f0时，不等式≤0等价于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)≥0，所以有00)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．
解析：因为f(x)＝＝t＋＝t＋g(x)，其中g(x)是奇函数，M＋N＝t＋g(x)＋t＋g(－x)＝2t＝4⇒t＝2.
答案：2
9．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(1＋x)＝f(1－x)；②在[1，＋∞)上为增函数，若x∈时，f(ax)2－x成立，求实数k的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，k∈R，
即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，
所以(k＋1)·(1＋22x)＝0对一切k∈R恒成立，
所以k＝－1.
(2)因为x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，
即2x＋k·2－x>2－x对x∈[0，＋∞)恒成立，
所以1－k<22x对x∈[0，＋∞)恒成立，
所以1－k<(22x)min，
因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，
所以(22x)min＝1.所以1－k<1，解得k>0.
所以实数k的取值范围为(0，＋∞)．
12．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1，求满足f[f(a)]＝的实数a的个数．
解：令f(a)＝x，则f[f(a)]＝变形为f(x)＝；
当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1＝，
解得x1＝1＋，x2＝1－；
因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝的解为x3＝－1－，x4＝－1＋；
综上所述，f(a)＝1＋，1－，－1－，－1＋；
当a≥0时，
f(a)＝－(a－1)2＋1＝1＋，方程无解；
f(a)＝－(a－1)2＋1＝1－，方程有2解；
f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1－，方程有1解；
f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1＋，方程有1解；
故当a≥0时，方程f(a)＝x有4解，由偶函数的性质，易得当a<0时，方程f(a)＝x也有4解，
综上所述，满足f[f(a)]＝的实数a的个数为8.
[综合题组练]
1．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为 ( )
A. B．2
C. D.
解析：选A.设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2.故m－n≥.
2．(2020·宁波效实中学高三月考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：选D.由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．
3．已知函数f(x)＝a－.若f(x)为奇函数，则a＝________．
解析：法一：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－，则2a＝＋＝＋＝＝1，所以a＝.
法二：因为f(x)为奇函数，定义域为R，所以f(0)＝0.
所以a－＝0，所以a＝.经检验，当a＝时，f(x)是一个奇函数．
答案：
4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是________．
解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)＝2x.联立方程组解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，故f(1)>g(0)>g(－1)．
答案：f(1)>g(0)>g(－1)
5．(2020·杭州学军中学高三质检)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．
(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；
(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．
若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，
因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，
所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，
所以f(x1)＋f(x2)＞0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，
同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.
所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．
综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．
(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1，1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.
故所求实数a的取值范围是[0，1)．
6．(2020·宁波市余姚中学高三模拟)设常数a∈R，函数f(x)＝(a－x)|x|.
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]对所有的x∈[－2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝(1－x)|x|＝，
当x≥0时，f(x)＝(1－x)x＝－＋，
所以f(x)在内是增函数，
在内是减函数；
当x<0时，f(x)＝(x－1)x＝－，
所以f(x)在(－∞，0)内是减函数；
综上可知，f(x)的单调增区间为，
单调减区间为(－∞，0)，.
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，
即(a＋1)·1＝－(a－1)·1，解得a＝0.
所以f(x)＝－x|x|，f[f(x)]＝x3|x|；
所以mx2＋m>f[f(x)]＝x3|x|，
即m>对所有的x∈[－2，2]恒成立．
因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]．
所以≤＝＝x2＋1＋－2≤.
所以m>.
所以实数m的取值范围为.
