2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练57 二项式定理

2019高三数学（北师大版理科）一轮：课时规范练57 二项式定理

课时规范练57　二项式定理 基础巩固组 ‎1.(2017湖南邵阳模拟)在(1+3x)n的展开式中,若x5与x6的系数相等,则x4的二项式系数为(　　)‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　‎ A.21 B.35‎ C.45 D.28‎ ‎2.若Cn‎1‎+3Cn‎2‎+32Cn‎3‎+…+3n-2Cnn-1‎+3n-1=85,则n=(　　)‎ A.6 B.5‎ C.4 D.3‎ ‎3.设n为正整数,x-‎‎1‎xx‎2n展开式中存在常数项,则n的一个可能取值为(　　)‎ A.16 ‎ B.10‎ C.4 ‎ D.2‎ ‎4.(2017河南郑州一中质检一,理7)若a=π‎ ‎‎0‎sin xdx,则二项式ax-‎‎1‎x‎6‎展开式的常数项是(　　)‎ A.160 B.20‎ C.-20 D.-160‎ ‎5.(x2-3)‎1‎x‎2‎‎+1‎‎5‎的展开式中的常数项是(　　)‎ A.-2 B.2‎ C.-3 D.3‎ ‎6.若(1+‎3‎)4=a+b‎3‎(a,b为有理数),则a+b等于(　　)‎ A.36 B.46‎ C.34 D.44‎ ‎7.(x2+3y-y2)7展开式中x12y2的系数为(　　)‎ A.7 B.-7‎ C.42 D.-42‎ ‎8.(2017甘肃会宁月考)1-90C‎10‎‎1‎+902C‎10‎‎2‎-903C‎10‎‎3‎+…+(-1)k90kC‎10‎k+…+9010C‎10‎‎10‎除以88的余数是(　　)‎ A.-1 ‎ B.1‎ C.-87 ‎ D.87〚导学号21500588〛‎ ‎9.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　　,a5=　　　　　. ‎ ‎10.(2017辽宁沈阳三模,理14)(1+2x)3(1-x)4展开式中x2的系数为　　　　　. ‎ 综合提升组 ‎11.(2017辽宁鞍山一模,理3)若(x2+m)x-‎‎2‎x‎6‎的展开式中x4的系数为30,则m的值为(　　)‎ A.-‎5‎‎2‎ ‎ B.‎‎5‎‎2‎ C.-‎15‎‎2‎ ‎ D.‎‎15‎‎2‎ ‎12.(2017江西宜春二模,理8)若x‎3‎‎+‎‎1‎xn的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则‎-aa‎ ‎a‎2‎‎-‎x‎2‎dx=(　　)‎ A.0 ‎ B.‎‎686‎‎3‎ C.‎49π‎2‎ ‎ D.49π〚导学号21500589〛‎ ‎13.在(x+2y)7的展开式中,系数最大的项是(　　)‎ A.68y7 ‎ B.112x3y4‎ C.672x2y5 ‎ D.1 344x2y5‎ ‎14.x+‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为(　　)‎ A.-40 B.-20‎ C.20 D.40‎ ‎15.(2017河南重点校联考)在‎2x+‎3‎y-4‎‎9‎的展开式中,不含x的各项系数之和为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎16.若多项式x3+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,则a9=(　　)‎ A.9 ‎ B.10‎ C.-9 ‎ D.-10〚导学号21500590〛‎ ‎17.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=　　　　　.〚导学号21500591〛 ‎ 参考答案 课时规范练57　二项式定理 ‎1.B　∵Tr+1=Cnr(3x)r=3rCnrxr,由已知得35Cn‎5‎=36Cn‎6‎,即Cn‎5‎=3Cn‎6‎,∴n=7.因此,x4的二项式系数为C‎7‎‎4‎=35,故选B.‎ ‎2.C　Cn‎1‎+3Cn‎2‎+…+3n-2Cnn-1‎+3n-1=‎1‎‎3‎[(1+3)n-1]=85,解得n=4.‎ ‎3.B　∵x-‎‎1‎xx‎2n展开式的通项公式为Tk+1=C‎2nkx2n-k‎-‎‎1‎xxk‎=‎C‎2nk(-1)kx‎4n-5k‎2‎,令‎4n-5k‎2‎=0,得k=‎4n‎5‎,∴n可取10.‎ ‎4.D　∵a=π‎ ‎‎0‎sin xdx=-cos x‎|‎π‎0‎=2,‎ ‎∴ax-‎‎1‎x‎6‎‎=‎‎2x-‎‎1‎x‎6‎的展开式的通项为Tr+1=(-1)r26-r·C‎6‎rx3-r.‎ 令3-r=0,得r=3.故展开式的常数项是-8C‎6‎‎3‎=-160,故选D.‎ ‎5.B　∵(x2-3)‎1‎x‎2‎‎+1‎‎5‎=(x2-3)·(C‎5‎‎0‎x-10+C‎5‎‎1‎x-8+C‎5‎‎2‎x-6+C‎5‎‎3‎x-4+C‎5‎‎4‎x-2+C‎5‎‎5‎),∴展开式的常数项是x2·C‎5‎‎4‎x-2-3C‎5‎‎5‎=2.‎ ‎6.D　(1+‎3‎)4=1+C‎4‎‎1‎‎·‎3‎+C‎4‎‎2‎(‎‎3‎)2+C‎4‎‎3‎‎(‎‎3‎)3+(‎3‎)4=28+16‎3‎,由题设可得a=28,b=16,故a+b=44.‎ ‎7.B　将(x2+3y-y2)7看作7个因式相乘,要得到x12y2项,需要7个因式中有6个因式取x2,1个因式取-y2,故x12y2的系数为C‎7‎‎6‎×(-1)=-7.‎ ‎8.B　1-90C‎10‎‎1‎+902C‎10‎‎2‎-903C‎10‎‎3‎+…+(-1)k90kC‎10‎k+…+9010C‎10‎‎10‎=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C‎10‎‎1‎889+…+C‎10‎‎9‎88+1.∵前10项均能被88整除,‎ ‎∴余数是1.‎ ‎9.16　4　由二项式展开式可得通项公式为C‎3‎rx3-rC‎2‎mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.‎ ‎10.-6　∵展开式中x2项为C‎3‎‎0‎13(2x)0·C‎4‎‎2‎12(-x)2+C‎3‎‎1‎12(2x)1·C‎4‎‎1‎13(-x)1+C‎3‎‎2‎11(2x)2·C‎4‎‎0‎14(-x)0,‎ ‎∴所求系数为C‎3‎‎0‎‎·C‎4‎‎2‎+‎C‎3‎‎1‎·2·C‎4‎‎1‎·(-1)+C‎3‎‎2‎·22·C‎4‎‎0‎=6-24+12=-6.‎ ‎11.B　x-‎‎2‎x‎6‎的展开式的通项公式为Tr+1=C‎6‎rx6-r‎-‎‎2‎xr=(-2)rC‎6‎rx6-2r,‎ 令6-2r=2,得r=2,所以x2项的系数为(-2)2C‎6‎‎2‎=60,‎ 令6-2r=4,得r=1,所以x4项的系数为(-2)1C‎6‎‎1‎=-12,‎ 所以(x2+m)x-‎‎2‎x‎6‎的展开式中x4的系数为60-12m=30,解得m=‎5‎‎2‎,故选B.‎ ‎12.C　由题意知展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x3)n-r‎1‎xr‎=‎Cnrx‎3n-‎7‎‎2‎r,‎ 因为展开式中含有常数项,‎ 所以3n-‎7‎‎2‎r=0有整数解,‎ 所以n的最小值为7.‎ 故定积分‎-7‎‎7‎‎ ‎‎7‎‎2‎‎-‎x‎2‎dx=‎49‎‎2‎π.‎ ‎13.C　设第r+1项的系数最大,则有C‎7‎r‎·‎2‎r≥C‎7‎r-1‎·‎2‎r-1‎,‎C‎7‎r‎·‎2‎r≥C‎7‎r+1‎·‎2‎r+1‎,‎即 ‎7!‎r!(7-r)!‎‎·‎2‎r≥‎7!‎‎(r-1)!(7-r+1)!‎·‎2‎r-1‎,‎‎7!‎r!(7-r)!‎‎·‎2‎r≥‎7!‎‎(r+1)!(7-r-1)!‎·‎2‎r+1‎,‎ 解得r≤‎16‎‎3‎,‎r≥‎13‎‎3‎.‎ ‎∵r∈Z,∴r=5,‎ ‎∴系数最大的项为T6=C‎7‎‎5‎x2·25y5=672x2y5.故选C.‎ ‎14.D　在x+‎ax‎2x-‎‎1‎x‎5‎中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,‎ 即a=1.原式=x·‎2x-‎‎1‎x‎5‎‎+‎‎1‎x‎2x-‎‎1‎x‎5‎,故常数项为x·C‎5‎‎3‎(2x)2‎-‎‎1‎x‎3‎‎+‎1‎x·‎C‎5‎‎2‎(2x)3·‎-‎‎1‎x‎2‎=-40+80=40.‎ ‎15.-1　‎2x+‎3‎y-4‎‎9‎的展开式中不含x的项为C‎9‎‎9‎(2x)0‎3‎y‎-4‎‎9‎‎=‎‎3‎y‎-4‎‎9‎,令y=1,得各项系数之和为(3-4)9=-1.‎ ‎16.D　x3+x10=x3+[(x+1)-1]10,题中a9只是[(x+1)-1]10的展开式中(x+1)9的系数,故a9=C‎10‎‎1‎·(-1)1=-10.‎ ‎17.120　∵(1+x)6展开式的通项公式为Tr+‎‎1‎‎=‎C‎6‎rxr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+‎‎1‎‎=‎C‎4‎hyh,‎ ‎∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C‎6‎rC‎4‎hxryh.‎ ‎∴f(m,n)=C‎6‎mC‎4‎n.‎ ‎∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C‎6‎‎3‎‎+C‎6‎‎2‎C‎4‎‎1‎+C‎6‎‎1‎C‎4‎‎2‎+‎C‎4‎‎3‎=20+60+36+4=120.‎