2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-8-2（选修4-5）不等式选讲
第二讲 (选修4－5)不等式选讲
[重要定理]
1．绝对值不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.
②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．
②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．
③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．
3．证明不等式的基本方法
(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．
4．二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
[失分警示]
1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．
2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．
3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏．
考点 绝对值不等式
典例示法
题型1 绝对值不等式的解法
典例1 [2015·沈阳模拟]设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
[解] (1)解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得
x＝－，x＝4.
原不等式可化为：
或或
所以原不等式的解集为
.
解法二：
f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f(x)的图象
y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，.
由图象知f(x)＞2的解集为.
(2)由(1)的解法二中的图象知：f(x)min＝－.
题型2 含绝对值不等式的恒成立问题
典例2 [2016·长春质检]设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|(a∈R)．
(1)若不等式f(x)＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a≥0时，f(x)＋a≥0恒成立，当a<0时，要保证f(x)≥－a恒成立，即f(x)的最小值|a＋2|≥－a，解得－1≤a<0，故a≥－1.
(2)由题意可知，函数y＝f(x)的图象恒在直线y＝x的上方，画出两个函数图象可知，当a≤－2时，符合题意，当a>－2时，只需满足点(a，a＋2)不在点
eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(3,2)a))的下方即可，所以a＋2≥a，即－2
a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)1时，由2x<4得10，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
柯西不等式的求解方法
柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式．
针对训练
[2015·陕西高考]已知关于x的不等式|x＋a|1的解集．
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
2．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，即x>4，无解；
当－10，解得0，解得1≤x<2.
综上，f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，
f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
3．[2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，
即a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[其它省市高考题借鉴]
4．[2016·江苏高考]设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明 由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0abba.
解 (1)|x－10|＋|x－20|<10a＋10的解集不是空集，
则(|x－10|＋|x－20|)min<10a＋10，
∴10<10a＋10，∴a>0，A＝(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设a>b，则＝a－b，
∵a>b>0，∴>1，a－b>0，a－b>1，
∴aabb>abba.
2．[2016·河南测试]已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋5)≥9；
(2)若|a|<1，|b|<1，求证：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)．
解 (1)f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|
＝
当x<－3时，由－2x－1≥9，解得x≤－5；
当－3≤x≤2时，f(x)≥9，不成立；
当x>2时，由2x＋1≥9，解得x≥4.
所以不等式f(x)＋f(x＋5)≥9的解集为{x|x≤－5或x≥4}．
(2)证明：f(ab＋3)>f(a＋b＋2)，即|ab＋1|>|a＋b|.
因为|a|<1，|b|<1，
所以|ab＋1|2－|a＋b|2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2＋2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)>0，
所以|ab＋1|>|a＋b|，
故所证不等式成立．
3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．
解 (1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，此时不成立；
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；
当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1，
综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当ax＝，即x＝时“＝”成立，
所以g(x)min＝2－1，
f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，
所以2－1≥1，即a≥1为所求．
4．[2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
5．[2016·湖北七市联考]设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；
(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1,3]，求a的取值范围．
解 (1)由于a＝1，故f(x)＝
当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤.
当x≥1时，由f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.
综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为∪[3，＋∞)．
(2)当a<2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2,2－a]，
由A⊆[－1,3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；
当a≥2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，
由A⊆[－1,3]，得解得a≤3，又a≥2，
故2≤a≤3.
综上，a的取值范围为[1,3]．
6．[2016·西安交大附中六诊]设函数f(x)＝＋|x－a|.
(1)求证：当a＝－时， 不等式ln f(x)>1成立；
(2)关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．
解 (1)证明：由f(x)＝＋
＝
得函数f(x)的最小值为3，从而f(x)≥3>e.
所以ln f(x)>1成立．
(2)由绝对值的性质得f(x)＝＋|x－a|≥＝，
所以f(x)最小值为，从而≥a，
解得a≤，
因此a的最大值为.
7.[2016·太原测评]对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.
解 (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，
所以M的最大值m是的最小值．
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，即|a|≥|b|时，
≥2成立，所以m＝2.
(2)|x－1|＋|x－2|≤2.
解法一：利用绝对值的意义得≤x≤.
解法二：当x<1时，原不等式化为－(x－1)－(x－2)≤2，
解得x≥，所以x的取值范围是≤x<1；
当1≤x≤2时，原不等式化为(x－1)－(x－2)≤2，
得x的取值范围是1≤x≤2；
当x>2时，原不等式化为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤.
所以x的取值范围是2
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