【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题19圆锥曲线的简单几何性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题19圆锥曲线的简单几何性质学案

专题十九 圆锥曲线的简单几何性质 ‎【圆锥曲线】‎ ‎【双曲线】‎ ‎【抛物线】‎ ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文5】‎ 若，则双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，因为，所以，则，故选C．‎ ‎【考点】双曲线离心率 ‎【点拨】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ 答题思路 ‎【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用．‎ ‎【命题规律】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低． 若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功．‎ ‎【答题模板】以2017年高考题为例，求取椭圆或双曲线离心率，一般可由下面三个方面着手：‎ ‎（1）根据已知条件确定的等量关系，然后把用代换，求的值；‎ ‎（2）已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．‎ ‎（3）求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．‎ 总体来说，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求，抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1)，常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化．‎ ‎2．求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，若顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或 ()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义．若椭圆的焦点位置不确定，椭圆的标准方程可设为，也可设椭圆方程为，若双曲线的焦点位置不确定，双曲线的标准方程可设为，也可设双曲线的方程为，其中异号且都不为0，若已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的标准方程为（）可避免分类讨论，这样可以避免讨论和繁琐的计算．‎ ‎3．‎ ‎ 求解与二次曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像．对椭圆当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．对双曲线应围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．‎ ‎4．椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用， 椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[]．在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形的周长为定值等于，面积等于，其中是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为． 双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[)．在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点，另一个顶点在双曲线上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为．抛物线中:抛物线上一点，F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：　 ．焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式．设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A，B， AB的倾斜角为，则有或，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求．在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切．‎ ‎5． 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把用 代换，求的值；椭圆求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=．双曲线求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出的等式或不等式，结合化出关于的式子，再利用，化成关于的等式或不等式，从而解出的值或范围．离心率与的关系为：=，在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．求离心率的范围问题关键是确立一个关于的不等式，再根据的关系消掉得到关于的不等式，由这个不等式确定的关系．求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．‎ ‎6．抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量．‎ ‎7． 焦点三角形问题的求解技巧 ‎(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．‎ ‎(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：‎ ‎①椭圆或双曲线的定义；‎ ‎②勾股定理或余弦定理；‎ ‎③基本不等式与三角形的面积公式．‎ ‎1.【2017年高考全国Ⅰ卷,文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）1；（2）．‎ ‎（2）由，得．‎ 设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）．‎ 设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2，2+m），|MN|=|m+1|．‎ 将代入得．‎ 当，即时，．‎ 从而．‎ 由题设知，即，解得．‎ 所以直线AB的方程为．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【点拨】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要 利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅲ卷,文14】双曲线（a>0）的一条渐近线方程为，则a= .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为： ，结合题意可得：.‎ ‎【考点】双曲线渐近线 ‎【点拨】1.已知双曲线方程求渐近线：‎ ‎2.已知渐近线 设双曲线标准方程 ‎3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.‎ ‎3. 【2017年高考山东卷，文15】在平面直角坐标系xOy中,双曲线 的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线定义可得：,‎ 因为 ,所以渐近线方程为.‎ ‎【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质 ‎【点拨】若AB是抛物线的焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)．则 ‎(1)y1y2＝－p2,x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.‎ ‎(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ ‎4．【2017安徽阜阳二模】已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎5．【2017广东佛山二模】已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于， 两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．‎ ‎6．【2017湖南娄底二模】已知点是抛物线上的一个动点， 是圆： ‎ 上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线； 为点到虚线的距离且，由抛物线的性质可知， ．故可知 ‎．‎ 故本题正确答案为C．‎ ‎7．【2017湖南娄底二模】已知双曲线（， ）的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． 3‎ ‎【答案】A ‎8．【2017重庆二诊】设为双曲线： 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若， ‎ ‎，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可作出草图，设，由双曲线对称性得， 为正三角形，则，又，所以，则，所以，因此，故选B．‎ ‎【点拨】此题主要考查直线与双曲线位置关系，以及双曲线定义、离心率、对称性和数形结合的思想等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点．处理直线与圆锥曲线位置关系的题目，基本上有两种方法：一是代数角度，考虑方程组解的情况；二是几何角度，数形结合，尤其是直线与双曲线的位置关系考虑直线与渐近线的关系是较为优化的思路．‎ ‎9．【2017福建4月质检】已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【点拨】考察直线与双曲线得综合问题，先利用直线于圆的相切关系求出直线斜率，然后根据渐近线方程求解双曲方程 ‎10．【2017福建三明5月质检】已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的方程化为 ，圆心为 ，半径为 ，设渐近线方程为，由渐近线与该圆相离可得 ，故选D．‎ ‎11．【2017江西九江三模】若双曲线的离心率为 ，则直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎12．【2017河北唐山三模】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点带人方程有，所以，则所求双曲线方程为．‎ ‎13．【2017福建三明5月质检】若抛物线上任意一点到轴距离比到焦点的距离小1，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为抛物线上任意一点到轴距离比到焦点的距离小1，所以抛物线上任意一点到 的距离等于到焦点的距离，即是准线方程， ，故答案为 ．‎ ‎14.【2016年高考全国Ⅰ卷，文20】在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.‎ ‎（I）求；‎ ‎（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ ‎【答案】（I）2；（Ⅱ）没有.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得，.‎ 又为关于点的对称点，故，的方程为，代入整理得，解得，，因此.‎ 所以为的中点，即.‎ ‎（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：‎ 直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.‎ ‎【考点】直线与抛物线 ‎【点拨】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅱ卷，文5】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=‎ ‎（A） （B）1 （C） （D）2‎ ‎【答案】D ‎【考点】 抛物线的性质，反比例函数的性质 ‎【点拨】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置． 对于函数y= ，当时，在，上是减函数，当时，在，上是增函数．‎ ‎16.【2016年高考全国Ⅱ卷，文21】已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的面积 ‎ (Ⅱ) 当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.‎ 又，因此直线的方程为.‎ 将代入得.‎ 解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得.‎ 由得，即.‎ 设，则是的零点，，所以在单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 ‎【点拨】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性 ‎17．【2016年高考四川卷，文20】已知椭圆E：(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（I）问，利用点在椭圆上，列出方程，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（II）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系进行求解.‎ 试题解析：（I）由已知，a=2b.‎ 又椭圆过点，故，解得.‎ 所以椭圆E的方程是.‎ ‎（II）设直线l的方程为， ，‎ 由方程组 得，①‎ 方程①的判别式为，由，即，解得.‎ 由①得.‎ 所以M点坐标为，直线OM方程为，‎ 由方程组得.‎ 所以.‎ 又 ‎.‎ 所以.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及其几何性质 ‎【点拨】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．‎