江苏省盐城市第一中学2020届高三六月调研考试数学试题含附加题

江苏省盐城市第一中学2020届高三六月调研考试数学试题含附加题

江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试 ‎ 数学试题 2020．6‎ ‎ 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合，集合，则______.‎ ‎2．若是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________.‎ ‎3．在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.‎ ‎4．若，则方程有实根的概率为________.‎ ‎5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且过点，则双曲线的焦距等于________.‎ ‎7．已知等差数列的前项和为.若与的等差中项为8，则______.‎ ‎8．如果命题，为真命题，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎9．函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.‎ ‎10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B，D分别为AC，CE的中点，N为GD与CF的交点，则______．‎ ‎11．已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.‎ ‎12．定义符号函数，若函数 ‎，则满足不等式的实数的取值范围是__________．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．‎ ‎14．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面分别与交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 的内角，，的对边分别为，，，已知，，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点满足，求的长.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的离心率，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过椭圆的右焦点F，且，求直线l方程．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图所示，某区有一块空地，其中，，.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.‎ ‎（1）当时，求防护网的总长度；‎ ‎（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的 倍，试确定的大小；‎ ‎（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设函数，‎ ‎ (1)当时，求函数图象在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 对于若数列满足则称这个数列为“数列”.‎ ‎（1）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;‎ ‎（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得 恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;‎ ‎（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.‎ 江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试 ‎ 数学试题 2020．6‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵 ，，求矩阵.‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆和直线相交于两点，求线段的长.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设,其中.‎ ‎（1）当时,化简:;‎ ‎（2）当时,记,试比较与的大小.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.‎ ‎（1）若，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；‎ ‎（2）若，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，‎ ‎①求的概率分布；‎ ‎②求.‎ 江苏省盐城市第一中学2020届高三年级六月第二次调研考试 ‎ 数学试题参考答案 ‎ 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合，集合，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,所以,‎ ‎2．若是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】复数 因为为纯虚数，所以, ，所以.‎ ‎3．在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.‎ ‎【答案】38‎ ‎【解析】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，‎ ‎，解得：，‎ ‎，则他们成绩的方差等于38.‎ ‎4．若，则方程有实根的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方程有实根， ，解得时满足要求，‎ 则方程有实根的概率为.‎ ‎5．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】第一步：，；‎ 第一步：，；‎ 第一步：，；‎ 第一步：，；故输出的结果为．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且过点，则双曲线的焦距等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，，所以，双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的标准方程得，得，‎ 因此，双曲线的焦距为.‎ ‎7．已知等差数列的前项和为.若与的等差中项为8，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等差数列的前项和为，‎ 由等差数列的性质可得，又与的等差中项为8，即，‎ 即，即，即，即，‎ ‎8．如果命题，为真命题，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题p为真命题，即当时，不等式恒成立，‎ 又当时，，当且仅当，即时，取得最小值12，‎ 故，解得 ‎9．函数在上的单调递减，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，所以，‎ 因为函数在上的单调递减，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立，‎ 因为在上单调递减，所以所以，即 ‎10．边长为2的三个全等的等边三角形摆放成如图形状，其中B，D分别为AC，CE的中点，N为GD与CF的交点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，，所以．因为等边三角形的边长为2，所以．‎ ‎11．已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的高为，底面半径为，在截面图中，，，，‎ 根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，则 又，， ，即，‎ ‎， 圆锥体积为，‎ ‎，令可得，则 时，；时，， 在单调递减，在单调递增，‎ 则.‎ ‎12．定义符号函数，若函数，则满足不等式的实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数，得，‎ 根据指数的性质可得函数在上是增函数，‎ 又由，则，解得．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，即可求解．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则∵PB=2PA，，‎ ‎∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)，∴x2+y2+=0，圆心坐标为,半径为，‎ ‎∵动点P在直线x+y−b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+=0相交，‎ ‎∴圆心到直线的距离，∴，即实数的取值范围是.‎ ‎14．已知函数，若集合，则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 设，，‎ 则，如图，‎ ‎，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，‎ 又，故的最大值为.‎ 因为集合，故，故.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，过 的平面分别与交于点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【解析】（1）证明:∵在四棱锥中，平面，平面，‎ ‎∴，∵，，∴平面.‎ ‎（2）∵，‎ 过的平面分别与交于点，故平面平面 又平面，平面，‎ ‎∴平面，而平面， ∴∴ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 的内角，，的对边分别为，，，已知，，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若点满足，求的长.‎ ‎【解析】（1）【解法一】由题设及正弦定理得，‎ 又，所以.‎ 由于，则.又因为，所以.‎ ‎【解法二】由题设及余弦定理可得，化简得.‎ 因为，所以.又因为，所以.‎ ‎【解法三】由题设，结合射影定理，化简可得.‎ 因为.所以.又因为，所以.‎ ‎（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.‎ 又因为，所以，即.‎ 在中，因为，，所以，‎ 所以在中，，，‎ 由余弦定理得，所以.‎ ‎【解法2】在中，因为，，所以，.‎ 由余弦定理得.因为，所以.‎ 在中，，，‎ 由余弦定理得所以.‎ ‎【解法3】在中，因为，，所以，.‎ 因为，所以.‎ 则 所以.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：的离心率，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l过椭圆的右焦点F，且，求直线l方程．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，则由，则，‎ ‎；‎ ‎（2）当直线l为时，，不满足；‎ 所以设直线l：，联立，‎ 设，则，‎ 又,‎ ‎，故直线l：，即．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图所示，某区有一块空地，其中，，.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.‎ ‎（1）当时，求防护网的总长度；‎ ‎（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；‎ ‎（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？‎ ‎【解析】（1）在中，，，，‎ 在中，，由余弦定理，得，‎ ‎，即，，‎ 为正三角形，所以的周长为，即防护网的总长度为.‎ ‎（2）设，，‎ ‎，即，‎ 在中，由，得，‎ 从而，即，由，‎ 得，，即.‎ ‎（3）设，由（2）知，‎ 又在中，由，得，‎ ‎， 当且仅当，即时，‎ 的面积取最小值为.‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设函数，‎ ‎ (1)当时，求函数图象在处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若不等式对恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【解析】（1）当时，，，所以，‎ 所以所求切线方程为 ‎（2）.令，则.当时，；‎ 当时，；所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（3）当时，恒成立，等价于当时，恒成立；‎ 即对恒成立.令，， ，‎ 令，，，‎ 所以在上单调递增.‎ 又因为，，‎ 所以在上有唯一零点，且，，‎ 所以在.上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 故整数的最大值为.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 对于若数列满足则称这个数列为“数列”.‎ ‎（1）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;‎ ‎（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;‎ ‎（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若 试判断数列是否为“数列”,并说明理由.‎ ‎【解析】（1）由题意得解得所以实数的取值范围是 ‎（2）假设存在等差数列符合要求,设公差为则由得 由题意,得对均成立,即 ‎①当时,‎ ‎②当时,因为所以与矛盾,‎ 所以这样的等差数列不存在.‎ ‎（3）设数列的公比为则 因为的每一项均为正整数,且 所以在中,“”为最小项.同理,中,“”为最小项.‎ 由为“数列”,只需即 又因为不是“数列”,且为最小项,‎ 所以即,‎ 由数列的每一项均为正整数,可得 所以或 ‎①当时,则令则 又 所以为递增数列,即所以 所以对于任意的都有即数列为“数列”.‎ ‎②当时,则因为所以数列不是“数列”.‎ 综上:当时,数列为“数列”,‎ 当时,数列不是“数列”.‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题共2小题，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵 ，，求矩阵.‎ ‎【解析】设矩阵的逆矩阵为.则.即.‎ 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝.从而的逆矩阵为.‎ 所以.‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆和直线相交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】圆：直角坐标方程为，即 直线：的直角坐标方程为 圆心到直线的距离所以,‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设,其中.‎ ‎（1）当时,化简:;‎ ‎（2）当时,记,试比较与的大小.‎ ‎【解析】（1）当时,‎ ‎,其中, ‎ 原式＝‎ ‎（2）当时, ,‎ 令,得 当时,;‎ 当时,,‎ 即,可得:‎ 下面用数学归纳法证明:当时,(☆)‎ ‎①当时,, (☆)成立．‎ ‎②假设时,(☆)式成立,即 则时,‎ ‎(☆)式右边 故当时,(☆)式也成立．‎ 综上①②知,当时,‎ 当时,;当时,.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.‎ ‎（1）若，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；‎ ‎（2）若，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，‎ ‎①求的概率分布；‎ ‎②求.‎ ‎【解析】（1）在 时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.‎ ‎（2）①在时，‎ 同理，当时，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②‎