2018届二轮复习第24讲三角函数解析式的求法学案(全国通用)

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文档介绍

2018届二轮复习第24讲三角函数解析式的求法学案(全国通用)

‎【知识要点】‎ 三角函数的解析式的求法一般有三种:待定系数法、图像变换法和代入法.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 待定系数法 使用情景 一般知道函数的图像或图像的特征.‎ 解题步骤 一般先设出三角函数的解析式,再求待定系数,最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的.‎ ‎【例1】 已知函数的图像关于直线对称,且图像上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎(1)求函数的解析式;(2)若,求的值.‎ ‎(2)由(1)得所以,又得所以, ‎ ‎.‎ ‎【点评】利用待定系数法求三角函数的解析式,需要建立关于各个待定系数的方程,这需要对函数的图像和性质理解透彻,如:图像上相邻两个最高点的距离为,就是说函数的最小正周期是,而不是2.如果方程错了,待定系数的值也自然是错的.‎ ‎【反馈检测1】已知函数的一段图象如图所示.‎ ‎(1)求函数的解析式;(2)函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列,设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项,试求数列的前项和.‎ 方法二 图像变换法 使用情景 一般涉及通过对一个已知函数的图像进行变换得到一个新的函数.‎ 解题步骤 一般利用函数图像变换的知识,一步一步地变换得到新的函数的解析式.‎ ‎【例2】已知函数,其中常数.‎ ‎(1)令,求函数的单调区间;‎ ‎(2)令,将函数的图像向左平移个单位,再往上平移个单位,得到函数的图像.对任意的,求在区间上零点个数的所有可能值.‎ ‎【点评】利用图像变换法求函数的解析式时,要对函数图像变换(平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换)比较熟练,不要出错. 学 ‎ ‎【反馈检测2】已知函数的周期为,且 ,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原 的倍(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.‎ ‎(1)求函数与的解析式;‎ ‎(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请求出的值,若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.‎ 方法三 代入法 使用情景 一般知道函数的一部分图像或图像的特征,求另外对称的一半的解析式.‎ 解题步骤 一般先在所求的函数的图像上任意取一点,再求出点的对称点,再把点的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.‎ ‎【例3】 定义在区间上的函数的图象关于直线对称,当时函数图象如图所示.‎ ‎(1)求函数在的表达式;(2)求方程的解;‎ ‎(3)是否存在常数的值,使得在上恒成立;若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)当时, ∴ ‎ ‎ 即,当时, ∴∴方程的解集是 ‎ ‎【点评】(1)这种方法关键在于理解,这种处理方法有点类似求轨迹方程里的“代入法”.可以把已知的图像上的点看作“主动点”,对称图像上的点看作是“被动点”,这样就好理解些了.(2)求对称点的坐标时,一般利用对称的知识列方程求解,不要算错了.‎ ‎【反馈检测3】设函数(-)-.‎ ‎(1)求的最小正周期及单调递增区间;‎ ‎(2)若函数与的图象关于点对称,求当时,函数的值域.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第24讲:‎ 三角函数解析式的求法参考答案 ‎【反馈检测1答案】(1);(2).‎ ‎【反馈检测2答案】(1),;(2)不存在;(3),.学 ‎ ‎【反馈检测2详细解析】(1)由函数的周期为可得,,又由,得,所以;将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原 的2倍(保持纵坐标不变)后可得的图像,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎.‎ ‎(3)令,即,当时,显然不成立;当时,‎ ‎,令,则当时,.由函数及,的图像可知,当时,在内有3个解.再由可知,,综上所述,,.‎ ‎【反馈检测3答案】(1),单调递增区间为[-,+],;(2)值域为.‎ ‎【反馈检测3详细解析】(1)由题意知=sin-cos-1=sin(-)-1,所以的最小正周期==6.由-≤-≤+,,得-≤≤+,,所以的单调递增区间为[-,+],.‎ ‎(2)因为函数与的图象关于直线对称,设点是函数图像上一点,则其关于点(0,1)对称的点必在函数的图像上,所以= 所以-‎ 所以函数的值域为.‎
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