2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练70　离散型随机变量的均值与方差

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练70　离散型随机变量的均值与方差

课时分层训练(七十)　离散型随机变量的均值与方差 ‎(对应学生用书第335页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．若离散型随机变量X的分布列为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ P 则X的数学期望EX＝(　　)‎ A．2　　　　 B．2或 C． D．1‎ C　[因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝.]‎ ‎2．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A．5　　　 B．6‎ C．7 D．8‎ C　[由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4，‎ ‎∴EX＝4×0.5＋a·0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.]‎ ‎3．(2018·湖北调考)已知随机变量η满足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，则下列说法正确的是(　　)‎ A．Eη＝－5，Dη＝5‎ B．Eη＝－4，Dη＝－4‎ C．Eη＝－5，Dη＝－5‎ D．Eη＝－4，Dη＝5‎ D　[因为E(1－η)＝1－Eη＝5，所以Eη＝－4.D(1－η)＝(－1)2Dη＝5，所以Dη＝5，故选D.]‎ ‎4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140379】‎ A. B. C. D. B　[因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，‎ 所以DX＝4××＝.]‎ ‎5．(2018·合肥二检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ＝(　　)‎ A．3 B． C． D．4‎ B　[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，则Eξ＝2×＋3×＋4×＝，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．‎ 　[法一：先求出成功次数X的分布列，再求均值．‎ 由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C××＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以在2次试验中成功次数X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则在2次试验中成功次数X的均值为 EX＝0×＋1×＋2×＝.‎ 法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X 的均值为EX＝np＝2×＝.]‎ ‎7．设X为随机变量，X～B，若随机变量X的均值EX＝2，则P(X＝2)等于________．‎ 　[由X～B，EX＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6，‎ 则P(X＝2)＝C＝.]‎ ‎8．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望EY>，则P的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140380】‎ 　[由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2，‎ 则EY＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，‎ 又p∈(0,1)，所以p∈.]‎ 三、解答题 ‎9．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．‎ ‎(1)求X的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若Y＝aX＋b，EY＝1，DY＝11，试求a，b的值．‎ ‎[解]　(1)X的取值为0,1,2,3,4，其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，‎ DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.‎ ‎(2)由DY＝a2DX得2.75a2＝11，得a＝±2，‎ 又EY＝aEX＋b，‎ ‎∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；‎ 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，‎ ‎∴或 ‎10．(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ ‎[解]　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ B组　能力提升 ‎11．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知EX＝3，则DX＝(　　)‎ A.　　　 B. C. D. B　[由题意，X～B.‎ 又EX＝＝3，所以m＝2.‎ 则X～B，故DX＝5××＝.]‎ ‎12．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望为________；方差为________. ‎ ‎【导学号：79140381】‎ ‎20　　[记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，‎ 所以EY＝10EX＝10×3×＝20，‎ DY＝100DX＝100×3××＝.]‎ ‎13．(2018·云南二检)为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动．对于A，B两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分(即获得－10分)，绿灯闪亮的概率为；玩一次游戏B，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分(即获得－20分)，出现音乐的概率为.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品．‎ ‎(1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)设某人玩5次游戏B，求该人能兑换奖品的概率．‎ ‎[解]　(1)随机变量X的所有可能取值为110,50,30，－30，分别对应以下四种情况：‎ 玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，出现音乐；‎ 玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，出现音乐；‎ 玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐；‎ 玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐．‎ 所以P(X＝110)＝×＝，‎ P(X＝50)＝×＝，‎ P(X＝30)＝×＝，‎ P(X＝－30)＝×＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎110‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎－30‎ P 故EX＝110×＋50×＋30×－30×＝32.‎ ‎(2)设某人玩5次游戏B的过程中，出现音乐n次(0≤n≤5，n∈N＋)，则没出现音乐5－n次，‎ 依题意得60n－20(5－n)≥130，解得n≥，‎ 所以n＝3或4或5.‎ 设“某人玩5次游戏B能兑换奖品”为事件M，‎ 则P(M)＝C××＋C××＋＝.‎