专题4-2+新题原创强化训练+02-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题4-2+新题原创强化训练+02-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

‎ 专题四 新题原创强化训练 第二关 综合强化试卷（二）‎ 一、选择题 ‎1．已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ＝．令＝（），则，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，即恒成立，所以函数在内有两个零点，则，解得．综上所述的取值范围为，故选A．‎ ‎2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得 ①，且分别为的中点．由双曲线定义，知 ②， ③，联立①②③，得．因为的周长为12，所以的周长为24，即，亦即，所以．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时，所以，所以，故选C．‎ ‎3．过点引抛物线的切线，切点分别为，若，则的值是（ ）‎ A. 1或2 B. 或2 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎4．已知在平面直角坐标系中，，，为坐标原点，且，其中，若，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】设，则，又，故，则 ，所以当时，，应选答案A。‎ ‎5．已知函数，则方程（）的根的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】设，则方程中，所以方程必有两根，由，不妨设.因为或，列表可得 因此当时，，方程有两个根，方程有一个根，原方程有三个根；当时，，方程有一个根，方程有两个根，原方程有三个根；当时，，方程有三个根，方程没有根，原方程有三个根；综上，原方程有三个根，选A.‎ ‎6．已知函数是上的减函数，且函数的图象关于点对称．设动点，若实数满足不等式 恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数的图象向左平移一个单位即可得到函数的图象，所以函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数．所以，可化为即又函数是上的减函数，所以，，点在圆内或其边界上．而，故其范围是，选．‎ ‎7．已知，是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题意, ，‎ ‎  当时,，‎ ‎  当时, ，‎ ‎ 因为在两点处的切线互相平行,且，‎ ‎ 所以  (否则根据导数相等得出两点重合)，‎ ‎ 所以在点 处切线的斜率为 ，‎ ‎ 在点处切线的斜率为 ‎ 所以，‎ ‎ 即 ‎ ‎ 表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图： 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是,故选D. ‎ ‎8. 设函数的定义域为，且是偶函数，则下则结论中正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于（0，1）对称 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，根据函数的图象变换可知，函数向右平移1个单位，可得函数的图象，‎ 又函数是偶函数，图象关于对称，所以函数的图象关于对称，故选C。‎ ‎9．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B。‎ ‎10．设函数的两个零点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题设可得，画出两函数的图象如图，结合图象可设，因，故，则，故选D.‎ ‎11．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎12．抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线定义得所以由得,因此 所以，选D.‎ 二、填空题 ‎13. 已知定义在上的单调函数满足对任意的，，都有成立，若正实数，满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎14. 已知函数,其中，若存在唯一的整数，使得, 则的取值范围是_________.（为自然对数的底数）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设,由题设存在唯一的整数使得在直线的下方.因,故当时, ,函数单调递减；当时, ,函数单调递增.所以当时,函数取最小值,而,且直线恒过点,故由题设须满足,即.故应填答案.‎ ‎15. 在等腰△中，，边上的中线长为6，则当的面积取得最大值时，的长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16. 如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意得，，故，，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17. 设的内角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，试求面积的最大值.‎ ‎【解析】（1）∵，‎ 由正、余弦定理，得 ，‎ 化简整理得：，‎ ‎∵，所以，‎ 故为直角三角形，且；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 当且仅当时，上式等号成立，∴.故，‎ 即面积的最大值为.‎ 解法2‎ ‎（1）由已知：，‎ 又∵，‎ ，‎ ‎∴，‎ 而，∴，‎ ‎∴，‎ 故，∴为直角三角形.‎ ‎（2）由（1），∴.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ 令，∵，∴，‎ ‎∴.‎ 而在上单调递增，‎ ‎∴.‎ ‎18．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.记为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）‎ ‎（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为，‎ 由统计数据可知:‎ ，‎ .‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为.‎ 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）如图，取中点，连结.‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴∥，＝＝2.‎ 又∵∥，，‎ ‎∴∥，，‎ ‎∴四边形为平行四边形． ‎ ‎∵⊥，⊥，，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴⊥，∴⊥. ‎ ‎∵，∴⊥， ‎ ∩＝，‎ ‎∴⊥平面. ‎ ‎∵，∴⊥平面. ‎ 又平面即为平面，‎ 故其一个法向量为， ‎ ‎∴. ‎ 解得或，∴或. ‎ ‎20．已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点，为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）点是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.‎ 求面积的最小值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，则点在抛物线上，‎ 所以，即，所以曲线C的方程为：． ‎ ‎（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，‎ 所以切线与x轴的交点为，圆心(2，0)到切线的距离为，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ 设两条切线的斜率分别为，‎ 则，‎ ‎∴ 记，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单增，∴，∴，‎ ‎∴面积的最小值为． ‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）在区间上，函数的图象恒在直线的下方等价于对任意，，‎ 即恒成立，‎ 设，．‎ 则 当时，，．‎ ‎①若，即，有，‎ 则函数在区间为减函数，‎ 则对任意，，‎ 只需，即当时，恒成立．‎ ‎②若，即时，‎ 令，‎ 得．‎ 则函数在区间为减函数，在区间为增函数，‎ 则，不合题意．‎ ‎③若，即当时，，函数在区间为增函数，‎ 则，不合题意．‎ 综上，当时，在区间恒成立，‎ 即当时，在区间上函数的图象恒在直线的下方．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，‎ 由曲线的极坐标方程为,∴ ‎∴,即曲线的直角坐标方程.‎ ‎（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得 要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有 根据参数方程的几何意义可知，‎ 又由可得，即或 ‎ ‎∴当时，有，符合题意．‎ 当时，有，符合题意．‎ 综上所述，实数的值为或．‎