浙江省十校联盟2020届高三10月联考 数学（扫描版）

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浙江省十校联盟 2019 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 1 页 共 4 页 浙江省十校联盟 2019 年 10 月高三联考 数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1—5 B B D C C 6—10 A D B C A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11． 2 ，1i+ ； 12．32， 80− ； 13． 20xy+=， 45 5 ； 14． 42， 5 ； 15． 2 3 ； 16． 31 2 − ； 17． 1 1 2a  ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分 14 分） 解： （I）由题意得 2OP = ，则 13cos ,sin22= − = ， ………4 分 3cos( ) sin22+ = − = − ． ………7 分 （II） 221 3 1 3 1( ) ( sin cos ) ( cos sin ) cos22 2 2 2 2f x x x x x x= − + − − + = ， ………10 分 故T = =  ． ………12 分 由 2 2 2k x k −     ，知单调递增区间为[ , ]( )2k k k −  Z ． ………14 分 19．（本小题满分 15 分） （I）证明：过点 A 作 AO BC⊥ ，垂足为O ，连接OD ． ………1 分 由 120ABC DBC =  =  ，得 60ABO DBO =  =  ． 而 AB BD= ，OB OB= ，则△ ABO 与△ DBO 全等． ………3 分 故 90DOB AOB =  = ，即 DO BC⊥ ． 而 AO DO O= ，故 BC ⊥ 平面 AOD ． ………5 分 而 AD  平面 AOD ，故 AD BC⊥ ． ………7 分 （II）解法 1：设点 在平面 上的投影为点 ， 则 就是直线 与平面 所成角． ………9 分 由 AB BC BD==，可知 HA HC HD==，点 为△ ADC 的外心． 由（I）知， 就是直二面角 的平面角，故 ． ………11 分 设 ，利用勾股定理等知识，求得 12 42 AH = ． ………13 分 因此， 42cos 7 AHBAH AB = = ， 故直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ………15 分 浙江省十校联盟 = = −TT 2423Tn= − = − = −c c c36, 48, 481 2 3 Tn 24cn 0n 4= −  +cnn n(3 12) 2 1 = −  ++Tnn n(3 12) 2 241 = − +  − − −  = − − − + + +nnn n n12 3 (2 4) (3 9) 2 24 (3 12) 21 1 1 − = − +  + +  − −  +Tnn nn12 3 2 3 2 (3 9) 221 = −  −  + + −  + −  +T n nn nn2 6 2 3 2 (3 12) 2 (3 9) 22 3 1 = −  −  + + −  + − −T n nn nn6 2 3 2 (3 12) 2 (3 9) 221 =bn n2bn{}=bn n2=b 21 = − + − + + − + = + + + + =− − − −−b b b b b b b bn n n n n n n n( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 12n 2 =−ann 39an{} = + − = −a a n d nn ( 3) 3 93=d 3an{} ==aa3, 043= + = + = =S a a a a a3( ) 3( ) 3 96 1 6 3 4 4 7 42ADCAB=cos 42 =   = = = AB n AB n AB n 27| || | 7sin | cos , | | | 2 7 =n ( 3,1, 3)  −= −= xz yz 3 3 0, 3 3 0,  ⊥ ⊥ n AD n AC , ,=n x y z( , , )ADC = − = − = −AB AC AD(0,1, 3), (0,3, 3), ( 3,0, 3) A B C D(0,0, 3), (0,1,0), (0,3,0), ( 3,0,0) =AB 2Oxyz ⊥AO OD −−A BC DAOD 7 42ADCAB  = =  =ABBAH BAHBH 77sin ,cos7 42 =BH 7 27=−−VVB ADC A BDC=AB 2 ⊥AO OD−−A BC DAOD ADCABBAH HADCB 2019 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 2 页 共 4 页 解法 2：设点 在平面 上的投影为点 ， 则 就是直线 与平面 所成角． ………9 分 由（I）知， 就是直二面角 的平面角，故 ． ………10 分 设 ，利用 ，求得 ． ………13 分 因此， ， 故直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ………15 分 解法 3：由（I）知， 就是直二面角 的平面角， 故 ． ………8 分 建立如图的空间直角坐标系 ，设 ， 则 ． 于是， ． ………10 分 设平面 的法向量为 ，则 即 解得 ． ………12 分 设所求线面角为 ，则 ． ………14 分 因此， ，故直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ………15 分 解： （I）由 ，得 ． 故 的公差 ， ， 即数列 的通项公式为 ． ………3 分 当 时， ， 而 ，故 ，即数列 的通项公式为 ． ………6 分 （II） ， ． ………8 分 上述两式相减，得 ， 得 ． ………11 分 设 ，显然当 时， ， 且单调递增． ………13 分 而 ，故 的最小值为 ． ………15 分 7 20．（本小题满分 15 分） 微信公众号:浙考神墙750 浙江省十校联盟 = − + − + = − +a b a aba b a 6 3 6( 2 ) ( ) 2 222 3 + + + + + +g x g x x x x xabxx 3 3 6 3( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 2 1 2 1 2 12 22+=f x f x( ) ( )12 ==g x g x( ) ( ) 012+ = −x x a b212 2 2 2+ = −x x a12  = − ab402xx,12fx() +x( , )2xx( , )12− x( , )1fx() ==− −  − + xxaa 22,12=gx( ) 00 − +( , )fx()gx( ) 00  = −ab42=++g x x ax b() 2 C D Q,,=−k 3 2l =−k 3 2 − − − −+ + =kk k 4 4 2 2 101+ + + =y y y y 102 1 1 1 2 1 2 + + + =y y y y2( ) 8 03 4 3 4 −− =+− yyy y y y 4 4 42 2 433 222 3 4 3C D Q,, = yy 4 2 4 = yy 4 1 3=yy 413 −+ +==− y yyyy y yy 444 1 4 1 3113 222 1 31M A C,, + = = −− kky y y y k,4 8 8 1 2 1 2− − − =ky y k4 8 8 02  =  = − − yx y k x 4, ( 2) 2, 2 = − −l y k x: ( 2) 2A y B y C y D yy y yy 4 4 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )1 2 3 4 1 2 43 2 2 22 =−yx= − − −yx( 2) 2l =−kAB 1 =−kAB 1−=kAB44 − +=− xxyyyy( ) 4 12 12 12− = −y y x x4( )1 2 1 2 22 ==y x y x4 , 41 1 2 2 22A x y B x y( , ), ( , )1 1 2 2 =yx42==pm2, 1 +=m p 2 2=pm24 2019 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 3 页 共 4 页 21．（本小题满分 15 分） 解： （I）由题意有 ，及 ， ………2 分 解得 ．故抛物线的方程为 ． ………5 分 （II）设 ，则 ． ………6 分 两式相减得 ，即 ． 于是 ， ， ………9 分 （注：利用直线与抛物线方程联立，求得 ，同样得 4 分） 故直线 的方程为 ，即 ． ………10 分 （Ⅲ）设 ，且 ． 由 得 ，则 ． ………11 分 由 三点共线，可得 ，化简得 ，即 ． 同理可得， ． ………13 分 假设 三点共线，则有 ，化简得 ． 进一步可得， ，即 ，解得 ． 因此，当直线 的斜率 时， 三点共线． ………15 分 （I） ， ． ………1 分 若 ， ， 在 上单调递增； ………3 分 若 ，方程 有两个不等实根 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增． ………5 分 （II）因 有两个极值点 ，由（1）知 ， 且 ， ， ． ………7 分 于是， ． ………9 分 22．（本小题满分 15 分） 解： 浙江省十校联盟 2019 年 10 月高三联考 数学参考答案 第 4 页 共 4 页 （Ⅲ）由 2 22( ) ( )24 aag x x ax b x b= + + = + + − ，则 ()gx的极值点为 2 ax =− ． 于是， ( ) 02 af −=，即 33 1024 8 2 a a ab− + − + = ．显然， 0a  ，则 2 2 6 ab a=+． 由（II）知， 2 40ab = −  ， 2 4 ab  ，则 222 64 aa a+ ，解得 0a  或 3 24a  ．……11 分 于是， 12( ) ( )f x f x+= 322( ) 2 066 aaa a− + + = ． 故 ( ), ( )f x g x 的所有极值之和为 2 2 2 222()4 6 4 12 a a a ab h aaa− = + − = − + = ． ………13 分 因 2 2() 6 aha a  = − − ，若 3 24a  ，则 ( ) 0ha  ， ()ha 在 3( 24, )+ 上单调递减， 故 3( ) ( 24) 0h a h=． 若 0a  ，知 3 12a − 时有 ( ) 0ha  ，则 ()ha 在 3( , 12)− − 上单调递增，在 3( 12,0)− 上单调 递减，故 3 3 18( ) ( 12) 2h a h − = − ． 因此，当 0a  时，所求的取值范围为 3 18( , ]2− − ；当 3 24a  时，所求的取值范围为( ,0)− ． 综上， ( ), ( )f x g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是 ． ………15 分