数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三质量检测第三次诊断考试(2018

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数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三质量检测第三次诊断考试(2018

‎2018届甘肃省张掖市全市高三备考质量检测第三次诊断考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.下面是关于复数的四个命题::;:;:的共轭复数为;:的虚部为,其中真命题为( )‎ A., B., C., D., ‎ ‎3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重四斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金箠由粗到细是均匀变化的,则金箠的重量为( )‎ A.15斤 B.14斤 C.13斤 D.12斤 ‎ ‎4.若某多面体的三视图(单位:)如图所示,则此多面体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数,若要得到一个奇函数的图象,则可以将函数的图象( )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎6.已知函数的值域为,那么实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务必须排在前三位,且任务、必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有( )‎ A.240种 B.188种 C.156种 D.120种 ‎ ‎8.运行如图所示的程序框图,则输出的结果( )‎ A.14 B.30 C.62 D.126 ‎ ‎9.的三个内角,,的对边分别为,,,若,,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上,和所在的平面互相垂直,,,,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知为双曲线(,)上的任意一点,过分别引其渐近线的平行线,分别交轴于点,,交轴于点,,若恒成立,则双曲线离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数()在区间上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知,,则 .‎ ‎14.已知实数,满足条件则的最大值为 .‎ ‎15.在矩形中,,,为的中点,若 为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为 .‎ ‎16.下列命题正确的是 .(写出所有正确的命题的序号)‎ ‎①若奇函数的周期为4,则函数的图象关于对称;‎ ‎②如,则;‎ ‎③函数是奇函数;‎ ‎④存在唯一的实数使为奇函数.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.若正项数列的前项和为,首项,点在曲线上.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,表示数列的前项和,若恒成立,求及实数的取值范围.‎ ‎18.2016年1月1日,我国实行全面二孩政策,同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行网格化管理,该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息,体重分布数据的茎叶图如图所示(单位:斤,2斤1千克),体重不超过千克的为合格.‎ ‎(1)从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿,求网格1至少有一个婴儿体重合格且网格2至少有一个婴儿体重合格的概率;‎ ‎(2)妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检,若至少2个婴儿合格,则抽检通过,若至少3个合格,则抽检为良好,求网格1在抽检通过的条件下,获得抽检为良好的概率;‎ ‎(3)若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个,用 表示网格2内婴儿的个数,求的分布列与数学期望.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,,,分别为,的中点,点在线段上.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆与直线相切于点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若直线:与椭圆相交于、两点(,不是长轴端点),且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若不等式对恒成立,求的取值范围. ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知,,且.‎ ‎(1)若恒成立,求的取值范围;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎2018年张掖市高考备考第三次诊断考试高三数学(理)试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12:‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.①③ ‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由,得,‎ 所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,‎ 所以,即,‎ 由公式,得 所以.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 显然是关于的增函数,所以有最小值.‎ 由于恒成立,所以,‎ 于是的取值范围是.‎ ‎18.解:(1)由茎叶图知,网格1内体重合格的婴儿数为4,网格2内体重合格的婴儿数为2,‎ 则所求概率.‎ ‎(2)设事件表示“个合格,个不合格”;事件表示“个合格,1个不合格”;事件表示“个全合格”;事件表示“抽检通过”;事件表示“抽检良好”.‎ ‎∴,,‎ 则所求概率.‎ ‎(3)由题意知,的所有可能取值为0,1,2,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴.‎ ‎19.(1)证明:在平行四边形中,因为,,‎ 所以,由,分别为,的中点,得,所以.‎ 因为侧面底面,且,所以底面.‎ 又因为底面,所以,‎ 又因为,平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)解:因为底面,,所以,,两两垂直,‎ 以,,分别为,,,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ 所以,,,‎ 设(),则,‎ 所以,,易得平面的法向量.‎ 设平面的法向量为,由,,‎ 得令,得,‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,‎ 所以,即,所以,‎ 解得,或(舍).‎ 综上可得:.‎ ‎20.解:(1)设椭圆为(,且),则它在点处的切线为,它与表示同一直线,‎ ‎∴,,∴,,‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,,联立 得,‎ ‎,得,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎∵以为直径的圆过椭圆的上顶点,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,即,‎ 即,即,‎ ‎∴或,‎ 当时,直线过定点与已知矛盾;‎ 当时,直线过定点满足,‎ 所以,直线过定点,定点坐标为.‎ ‎21.解:(1),‎ ‎,‎ ‎∵的定义域为,‎ ‎①,即时,在上递减,在上递增,,无极大值;‎ ‎②,即时,在和上递增,在上递减,‎ ‎,;‎ ‎③,即时,在上递增,没有极值;‎ ‎④,即时,在和上递增,在上递减,‎ ‎∴,.‎ 综上可知:时,,无极大值;‎ 时,,;‎ 时,没有极值;‎ 时,,.‎ ‎(2)设(),,‎ 设,则,,,‎ ‎∴在上递增,∴的值域为,‎ ‎①当时,,为上的增函数,‎ ‎∴,适合条件;‎ ‎②当时,∵,∴不适合条件;‎ ‎③当时,对于,,‎ 令,,‎ 存在,使得时,,‎ ‎∴在上单调递减,∴,‎ 即在时,,∴不适合条件.‎ 综上,的取值范围为.‎ ‎22.解:(1)因为直线的极坐标方程,‎ 所以有,即直线的直角坐标方程为:,‎ 因为曲线的参数方程为(为参数),经过变换后(为参数),‎ 所以化为直角坐标方程为:.‎ ‎(2)因为点在曲线上,故可设点的坐标为,‎ 从而点到直线的距离,‎ 由此得,当时,取得最大值,且最大值为.‎ ‎23.解:(1)设 由,得,‎ 故,‎ 所以.‎ 当时,,得;‎ 当时,,解得,故;‎ 当时,,解得,故.‎ 综上,.‎ ‎(2)‎ ‎.‎
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