2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-4复数练习苏教版

2021版高考数学一轮复习第五章平面向量复数5-4复数练习苏教版

‎5.4 复数 考点一　复数的概念 ‎ ‎1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若+=1(i为虚数单位),则a+b= (　　)‎ A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.-1‎ ‎2.(2020·淮安模拟)设i是虚数单位,为实数,则实数a的值为 (　　)‎ A.1　 B.2　 C.　 D.‎ ‎3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则= (　　)‎ A.　　 B. C. D.‎ ‎4.已知复数z的共轭复数是,且|z|-=,则z的虚部是________.  ‎ ‎【解析】1.选C.由+=1,‎ 得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,‎ 即(a+b)+(a-b)i=2,则.所以a+b=2.‎ ‎2.选C.因为==+i为实数,所以‎2a-1=0,即a=.‎ ‎3.选B.由(2-i)·z=1,‎ - 8 -‎ 得z===+i,‎ 所以===.‎ ‎4.设z=a+bi(a,b∈R),‎ 由|z|-=,得-a+bi=,‎ 所以2+i=-b+(-a)i,所以b=-2.‎ 答案:-2‎ ‎　关于复数的概念 ‎(1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念.‎ ‎(2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.‎ 考点二　复数的几何意义 ‎ ‎【典例】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为 (　　)‎ A.1+2i　　　 B.1-2i C.-2+i　　　 D.2+i ‎2.(2020·郑州模拟)已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为________. ‎ ‎3.(2019·徐州模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=________. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由点关于虚轴对称,想到若点坐标为(x,y),则关于虚轴对称的点的坐标为(-x,y)‎ ‎2‎ 由与虚轴垂直想到点A,B对应的复数虚部相等 - 8 -‎ ‎3‎ 由|z+3+4i|想到|z-(-3-4i)|,想到z对应的点的轨迹 ‎【解析】1.选C.依题意得,复数z==i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1),因此点A(-2,1)对应的复数为-2+i.‎ ‎2.z1===-i,所以A,‎ 因为向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,所以z2的虚部为-.‎ 答案:-‎ ‎3.由|z+3+4i|≤2,得z在复平面内对应的点在以Q(-3,-4)为圆心,以2为半径的圆及其内部.‎ 如图:‎ ‎|z-1-i|的几何意义为区域内的动点与定点P(1,1)的距离,‎ 则M=|PQ|+2,m=|PQ|-2,则M-m=4.‎ 答案:4‎ ‎　关于复数的几何意义 ‎(1)复数z=a+bi(a,b∈R)Z,充分利用三者之间的对应关系相互进行转化.‎ ‎(2)=r的几何意义是复数z,z1对应的点的距离为r,若复数z对应的点为动点,z1对应的点为定点,则复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,r为半径的圆.‎ ‎1.已知a∈R,则复数z=(a2‎-2a+4)-(a2‎-2a+2)i所对应的点在第________象限,复数z对应点的轨迹是________. ‎ ‎【解析】令z=x+yi(x,y∈R),‎ - 8 -‎ x=a2‎-2a+4=(a-1)2+3≥3,‎ y=-(a2‎-2a+2)=-[(a-1)2+1]≤-1,且x+y=2(x≥3,y≤-1),故复数z所对应的点在第四象限,z对应点的轨迹为一条射线.‎ 答案:四　一条射线 ‎2.在复平面内,复数对应的点与原点的距离是 (　　)‎ A.1 B. C.2 D.2‎ ‎【解析】选B.===1+i.对应的点与原点的距离是=.‎ 考点三　复数的四则运算 ‎ 命题 精解 读 考什么:(1)考查复数的运算、概念、几何意义等问题.‎ ‎(2)考查数学运算、直观想象的核心素养.‎ 怎么考:考查复数的乘除运算、复数运算的几何意义、轨迹问题.‎ 新趋势:以复数的运算为载体,考查复数的几何意义、概念、动点的轨迹问题.‎ 学霸 好方 法 ‎1.关于复数的四则运算及应用 熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则是关键,再结合复数的相关概念、几何意义解决相关的问题.‎ ‎2.交汇问题 与三角函数交汇时需要结合三角函数的相关公式计算,与轨迹交汇时可以转化为解析几何问题解决 ‎ 复数四则运算的综合应用 ‎【典例】若z=1+2i,则= (　　)‎ A.1　　 B.‎-1　‎ C.i　　　 D.-i ‎【解析】选C.因为z=1+2i,则=1-2i,‎ - 8 -‎ 所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.‎ 复数混合运算应注意什么?‎ 提示:分清运算层次,逐层进行运算.‎ 复数四则运算的几何意义 ‎【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1·z2对应的点位于 (　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解析】选D.由已知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点为(1,-2),在第四象限.‎ 向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?‎ 提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.‎ 复数四则运算的交汇问题 ‎【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ+icos 2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于 ‎ ‎(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 - 8 -‎ ‎【解析】选C.因为复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以,即sin θ=,cos θ=-(θ为第二象限角).则cos 2θ=1-‎ ‎2sin2θ=1-2×=.‎ 所以cos θ+icos 2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.‎ 本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识?‎ 提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.‎ ‎1.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________. ‎ ‎【解析】由i·z=1+2i,得z==2-i,所以z的实部为2.‎ 答案:2‎ ‎2.(2019·闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=________. ‎ ‎【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,‎ - 8 -‎ 所以====5.‎ 答案:5‎ ‎3.(2020·人大附中模拟)复数z满足=2-i(i为虚数单位),则z的模是________. ‎ ‎【解析】因为=2-i,‎ 所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,‎ 所以|z|==5.‎ 答案:5‎ ‎1.(2020·商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数z=________. ‎ ‎【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0,‎ 所以z==-1.‎ 答案:-1‎ ‎2.(2019·杭州模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若表示复数z,则|z|=__________. ‎ ‎【解析】由题意=cos π+isin π ‎=cos +isin =-+i,‎ - 8 -‎ 所以|z|==1.‎ 答案:1‎ - 8 -‎