陕西省安康中学2020届高三仿真模拟数学（理）试题 PDF版含答案
姓名
绝密★启用前
准考证号
(在 此卷上答题无效)
20⒛ 年高三仿真模拟考试
理科数学
本试卷共4页 。全卷满分150分 ,考 试时间120分 钟。
注意事项:
1.答 题前,考 生务必将白己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2回 答选择题时,选 出每小题答案后.用 2B铅 笔把答题卡上为J应 题日的答案标号涂黑。如需
改动.用 橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号。回答非选择题时,将 答案写在答题卡上,写 在本试
卷上无效。
3.考 试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本 题共12小 题,每 小题5分 ,共 60分 。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题
目要求的。
1.已 知全集U=(r∈ NJ2-9J+8<0)i集 合A=(3,4,5,6),则 C1认 =
A.{2,7} B。 n,2,7) C。 {2,7,8) D.".2,7,8〉
2.设 复数t,氵 :在 复平面内的对应点关于虚轴对称,乏 刂=l~i,则 ⊥=
氵ˇ
|
A。 —i B。 i c。 -1— i
3.已 知向量Ω=(2,-1),D=(0,1),(Ω +屁D)⊥ D,则 花=
A,-2 B。 2 C.-1
A.-77 B.-70 C.-49
B.60
D。 100
【高三理科数学试题·第1页 (共 4页 )】
D。 1+i
D.1
1.造 纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明·此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出
并为后来许多中同的历史学家所继承.普 遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发
展产生了巨大的推动作用。某小学三年级共有学生400名 ,随 机抽查100名 学生并提问中国古代
四大发明,能 说出两种及其以上发明的有73人 ,据 此估计该校三年级的400名 学生中,对 四大发
明只能说出一种或一种也说不出的有
A,69少、 B,84人 C,108人 D。 115人
D.—ˉ42
5.记 S″ 为等差数列{〃 ″}的 前″项和,2S∶ +S2=S|。 〃l=1,则 SΓ =
6.我 国古代数学著作《丿L章 算术》有如I下 问题:“ 今有器中米,不 知其数.肩 t人
取半,巾 人二分取一,后 人四分取一,余 米一斗Ι爿∷问,米 几何?” 如图是
解决该问题的程序框图,执 行该程序框图,若 输出的S=15.则 输人的虑的
值为
A。 ⊥5
C.75
7.已 知双曲线≠
—
≠=1(α >0,诊 )o)的 焦距是虚轴长的2倍 ,则 双曲线的渐近线方程为
A。 γ=± 逗文 B.y=± 畏父 c,y=± 「圭J D· 丿=± 2J
8.已 知直线γ=r-2“2是 曲线y=hr一 曰的切线,则 〃=
←2或 1 ⒏l或 2 G1岵 ⒐扣1
9,正 三棱柱ABGAlBlCl中 ,AAl=拒AB,D是 BC的 中点,则 异面直线AD与 AlC所 成角的大
小为
A· 景 :· 于 c.号 D.号
10.将 甲、乙、丙、丁、戊5名 护士派往A、 B、 C、 D四 所医院、每所医院至少派1名 护士,则 不同的派
法总数有
A,480种 B.36o种 C。 24o种 D。 12o种
11.已 知/(r)是 定义在R上 的偶函数,且 在(0,+∞ )单 调递增,设 ,,z=y· (l。 gⅡ s3),″ =`f(l° g·,5),夕
=∫(0.3⒈ 5),则
A。 ″>″ >夕 B.″ >,lz)p c.″ >p),,z D.勿 )夕 )″
12.已 知直线
`与
抛物线C:y2=2夕r(p)0)交 于A(Jl,y]),B(J2,丿 2)两 点,C的 焦点F在 曲线
E:(。r一 宓l)(r一 助)+(y~y1)(丿 一γ2)=o上 .若 线段AB的 中点M到 F的 距离为2,则 M到 C
的准线距离的最大值为
A.2 B2^√, c.4 D。 4^√9
二、填空题:本 题共4小 题,每 小题5分 ,共 2O分 。
13.已 知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,圆 柱的高和球半径均为2,则 该圆柱的体积
为
16.已 知函数∫(J)=Asin(ω '+詈 )Γ “(0(“ (A)在 区间E0,努 ]有 三个零点Jl,助 ,文·3,
且臼
D
9~2
〓Τgo
【高三理科数学试题·第2页 (共 4页 )】
,y′ (r)的 最小正周期为
三、解答题:共 70分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题 为必考题,每 个试
题考生都必须作答。第22、 23题 为选考题,考 生根据要求作答。
(一 )必 考题:共 60分 。
17.(12分 )
车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对 之前加工的100个 零件的加
△时冖l进 行统计.结 果如下:
以加工这100个 零件用时的频率代替概率.
(1)求 X的 分布列与数学期望EX;
(2)刘 师傅准备给几个徒弟做一个加I该 零件的讲座,用 时途0分 钟,另 外他打算在讲座前、讲
座后各加工1个 该零件作示范,求 刘师傅讲座及加工2个 零件作示范的总时间超过100分钟的
概率.
18.(12分 )
女口图,四 棱锥 P— ABCD中 ,ABCD
一点 ,PC=3PN,
(l)证 明:PA∥ 平面MND;
为正方形,PD⊥ 平面ABCD,M是 AB 的中点,N是 PC上
(2)若 AB=3· 1’ D=√石,求 二面角9MNC的 大小
19.(12分 )
已知弘仉c分 别为△ABC内 角AJr的 对边,且 糕 =矢 .
(1)证 明:∥ ,乙
?.c?成 等差数列;
(2)若 △∧BC的 外接圆半径为^√t,且 夕=2乃 sinA,求 △ABC的 面积,
加I]个 零件用时 X(分 钟)
频数(个 )
【高三理科数学试题·第3页 (共 4页 )】
~90,(12分 )
已知椭圆C:条 +羞 =1(α )00)过 点Mt:,溽),且 离心率为珲.
(1)求 椭圆C的 方程;
(2)过 椭圆C的 上顶点A(0,a)作 两条互相垂直的直线分别交C于 P,Q两 点,若 zPAQ的 平分
线方程为γ=2r+诊 ,求 直线PQ的 斜率.
21,(12分 )
已知函数y(J)=e J~d+″ 有两个极值点ェ1,J2,
(1)求 曰的取值范围;
(2)若 Jj>t2,证 明:。 厂(`rl)— ∫('2)((夕 -2)(eJ|— eJ2)。
(二 )选 考题:共 10分 。请考生在第22、 23题 中任选一题作答,如 果多做,则 按所做的第一题计分。
⒛。选修4-4:坐 标系与参数方程(10分 )
在直角坐标系JOy中 ,曲 线C1的 参数方禾呈为
{∶
1i∶∶∶nα
α为参数),以 O为 极点,￡ 轴正△u轴
为极轴,建 立极坐标系,曲 线CJ2的 极坐标方程为严os(彐 ^詈 )=2√t·
(1)写 出C)∶ 的普通方程与C2的 直角坐标方程;
(2)设 点P在 Cl上 ,M、 N分 别是C2与 J、 y轴 的交点,求 △PMN面 积的最小值.
23,选 修4-5:不 等式选讲(lO分 )
已知函数∫(=)=H2r-1— 〃。
(1)当 〃=2时 ,求 /(=)≤ 1的 解集;
(2)当 J∈ E-1,1]时 ,y(J)≤ 3,求 曰的取值范围.
【高三理科数学试题·第4页 (共 4页 )】
第 1页（共 4页）
高三理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D C A B A D C C B B
1．A 解析：由已知可得 U＝{2，3，4，5，6，7}，∴∁UA＝{2，7}．
2．A 解析：由已知可得 z2＝－1－i， 2
2
1
1 i1 i = = i1 i 2
z
z
.
3．D 解析：(a＋kb)·b＝(2，－1＋k)·(0，1)＝－1＋k＝0，k＝1.
4．C 解析：在这 100 名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有 100－73＝27 人，设对四大发明
只能说出一种或一种也说不出的有 x 人，则100
27
＝400
x
，解得 x＝108 人，故选 C．
5．A 解析：由 2S3＋S2＝S4 得 4a1＋d＝0，∴d＝－4，a4＝－11，S7＝7a4＝－77.
6．B 解析：n＝1，S＝k；n＝2，S＝k﹣ ＝
；
n＝3，S＝ ﹣ ＝
；
n＝4，S＝ ﹣ ＝
；
退
出循环，由题意可得 ＝15，解得 k＝60．
7．A 解析：由已知可得 c＝2b，∴c2＝4b2＝a2＋b2，a2＝3b2，b
a
＝ 3
3
，故选 A．
8．D 解析：y′＝ 1
x
＝1，∴x＝1，切点为(1，－a)，代入直线方程得－a＝1－2a2，
解得 a＝－1
2
或 1，故选 D．
9．C 解析：如图，取B1C1中点E，连接A1E，CE，则A1E//AD， 1 90A EC ， 1CA E
即为异面直线 AD 与 A1C 所成角，设 AB＝2，则 AA1＝2 2，A1E＝ 3，CE＝3，
1 1
3tan 3, 33
CA E CA E .
10．C 解析：由题意有一所医院派了 2 名护士，故共有 2 4
5 4 =240C A 种派法.
11．B 解析：∵f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，∴m＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，∵0.31.5
＜1＜log23＜2＜log25，∴p＜m＜n，故选 B.
第 2页（共 4页）
12.B 解析：由已知可得点 F 在以 AB 为直径的圆上， 2 2, 2 4, 16,AF BF AB MF AF BF
2 2
2 22 2
AF BF AF BF ，由抛物线的定义可得 M 到 C 的准线的距离为
2
AF BF ，故最
大值为 2 2 .（或根据三角换元求最值）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 6 14. 3 15. 4 16. π
3
13． 6 解析：设圆柱底面半径为 r，由已知有 2 2 21 2r ，∴ 3r ，体积 2= ( 3) 2 6V ．
14．3 解析：可行域是由三点(1，1)，(3
2
，3
2
)，(2，1)构成的三角形及其内部，当直线 2x-y－z＝0 过点
(2，1)时，z 取得最大值 3．
15．4 解析：a5＝2，T9＝a9
5＝29，∴9logb2＝9
2
，b＝4．
16．π
3
解析：当 x＝7π
3ω
时，ωx＋π
6
＝5π
2
，∴由对称轴可知 x1，x2 满足ωx1＋π
6
＋ωx2＋π
6
＝π
2 2 ，即
x1＋x2＝2π
3ω
．同理 x2，x3 满足ωx2＋π
6
＋ωx3＋π
6
＝3π
2 2 ，即 x2＋x3＝8π
3ω
，∴x1＋2x2＋x3＝10π
3ω
＝5π
3
，
ω＝2，x1＋x2＝π
3
，最小正周期为 2 =2
．
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．解析：(1)X 的分布列如下：
EX＝20×0.15＋25×0.30＋30×0.40＋35×0.15＝27.75．（6 分）
(2) 设 X1，X2 分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件 A 表示“刘师傅讲座及加工两
个零件作示范的总时间超过 100 分钟”，则 P(A)＝P(X1＋X2＞60)＝[P(X1＝30，X2＝35)＋P(X1＝
35，X2＝30)＋P(X1＝35，X2＝35)]＝0.4×0.15＋0.4×0.15＋0.152＝0.1425．（12 分）
X 20 25 30 35
P 0.15 0.30 0.40 0.15
第 3页（共 4页）
18.解析：(1)连接 AC，交 DM 于 H，连接 NH，
∵M 是 AB 的中点，∴AM:DC＝AH:HC＝1:2，
∵PN:NC＝1:2，∴PA∥NH，
∵PA 平面 MND，NH
⊂
平面 MND，∴PA∥平面 MND．……5 分
（2）建立如图所示的空间坐标系，则 P(0，0， 6)，C(0，3，0)，N(0，1，2 6
3
)，M(3，3
2
，0)．
→DM＝(3，3
2
，0)， →DN＝N(0，1，2 6
3
)， →CM＝(3，－ 3
2
，0)， →CN ＝(0，－2，2 6
3
)，
设平面 DMN 的法向量为 m＝(x0，y0，z0)，∴
3x0＋ 3
2
y0＝0
y0＋2 6
3
z0＝0 ，令 x0＝1，则 m＝(1，－2， 6
2
)．
设平面 CMN 的法向量为 n＝(x，y，z)，∴
3x－ 3
2
y＝0
－2y＋2 6
3
z＝0 ，令 x＝1，则 n＝(1，2， 6)，
∴m•n＝0，m⊥n，即二面角 D－MN－C 的大小为 90°．……12 分
19.解析：(1)由已知得sinAcosB
sinB
＝acosB
b
＝ b
2c
，即 b2＝2accosB，
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－b2，∴2b2＝a2＋c2，即 a2，b2，c2 成等差数列.（5 分）
(2) 由正弦定理得 sinA＝2sinBsinA，即 sinB＝1
2
，由(1)知 B 不可能是钝角，∴B＝30°，cosB= 3
2
，
2R＝2 3＝ b
sinB
，b＝ 3，∴b2＝2accosB 可得 ac＝ 3，
∴△ABC 的面积为1
2
× 3×1
2
＝ 3
4
．（12 分）
20．解析：(1)由已知可得
9
4a2
＋ 3
b2
＝1
c
a
＝ 5
3
c2＋b2＝a2
，解得 a2＝9，b2＝4，∴椭圆 C 的方程为x2
9
＋y2
4
＝1.(4 分)
(2)A(0，2)，在直线 y＝2x＋2 上取点 B(－1，0)，则|AB|＝ 5，B 到 AP，AQ 的距离为 10
2
，
设 AP：y＝kx＋2，则 10
2
＝|－k＋2|
1＋k2
，k＝－3 或1
3
，不妨取 AP：y＝－3x＋2，则 AQ：y＝1
3x＋2，
分别与椭圆 C 方程联立解得 xP＝108
85
，yP＝－154
85
，xQ＝－12
5
，yQ＝6
5
，
∴直线 PQ 的斜率 kPQ＝－32
39.(12 分)
BA
P
CD
N
M
z
x
y
H
第 4页（共 4页）
21．解析：(1)f ′(x)＝－e－x－ex＋a，由题意 f ′(x)＝0 有两个根，即 y=a 与 y＝e－x+ex 的图像有两个交点，
易知 y＝e－x+ex 2 2a ， ．（4 分）
（2）由(1)知 a＞2，f ′(x)＝－(ex)2－aex＋1
ex
，∴ex1•ex2＝1，x1＋x2＝0，x1＝－x2，
∵x1＞x2，∴x1＞0，f (x1)－f(x2)－(a－2)(ex1－ex2)＝(e－x1－ex1＋ax1)－(e－x2－ex2＋ax2)－(a－2)(ex1－e－x1)
＝a(e－x1－ex1＋2x1)，
令 g(t)＝e－t－et＋2t(t＞0)，∴g′(t)＝－e－t－et＋2＝－(et＋1
et)＋2≤－2 et•1
et
＋2＝0，
∴g(t)在(0，＋∞)上是减函数，g(t)＜g(0)＝0，
∴a(e－x1－ex1＋2x1)＜0，即 f (x1)－f(x2)＜(a－2)(ex1－ex2)．（12 分）
22．解析：(1)C1 的普通方程为 x2＋y2
3
＝1，C2 的直角坐标方程为 3x＋y－4 3＝0.(4 分)
(2)由(1)知 M(4，0)，N(0，4 3)，∴|MN|＝8，
设点 P(cosα， 3sinα)，则点 P 到 C2 的距离
d＝| 3cosα＋ 3sinα－4 3|
2
＝ 3
2 | 2sin(α＋π
4
)－4|≥4 3－ 6
2
.
∴(S△PMN)min＝1
2
×8×4 3－ 6
2
＝8 3－2 6.(10 分)
23．解析：(1)当 a＝2 时，f(x)≤1 可化为||2x－1|－2|≤1，
即－1≤|2x－1|－2≤1，1≤|2x－1|≤3，
∴1≤2x－1≤3 或－3≤2x－1≤－1，解得 1≤x≤2 或－1≤x≤0，
∴f(x)≤1 的解集为[1，2]∪[－1，0]．(5 分)
(2)f(x)≤3 可化为||2x－1|－a|≤3，即 a－3≤|2x－1|≤a＋3.
∵y＝|2x－1|在 x∈[－1，1]上的最大值为 3，最小值为 0，
∴ a－3≤0
a＋3≥3
，解得 0≤a≤3.(10 分)
