福建省福州第一中学2020届高三6月高考模拟考试数学（理）试题

福建省福州第一中学2020届高三6月高考模拟考试数学（理）试题

福州一中2020届高三（下）高考模拟考试2020.6‎ 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 集合A = { x | x < a}，B = { x | 1 < x < 2}，若，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎2. 复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为 A． B． C． D．‎ ‎3. 等于 A．0 B． C． D．2 ‎ ‎4．若函数的定义域是，则函数的定义域是 A． B． C． D．‎ ‎5. 数列的前n项和为，若，则 A．20 B．15 C．10 D.-5 ‎ ‎6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为 A. B. C. D.‎ ‎8. 向量a、b、c满足a + b + c = 0，a⊥b，(a－b)⊥c，，则M = A．3 B． C． D．‎ ‎9．已知正方体的棱长为，分别为的中点，是线段上的动点，与平面的交点的轨迹长为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎11. 某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏。每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米。阀门的修复工作可在不停产的情况下实施。由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：‎ 泄露阀门 修复时间 ‎（小时）‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ 需先修复 好的阀门 在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为 A．1.14立方米 B. 1.07立方米 C. 1.04立方米 D. 0.39立方米 ‎ ‎12. 设是常数，对于，都有 ‎，‎ 则 A. B. C. D ‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。‎ ‎13. _________.‎ ‎14. 寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种.‎ ‎15. 如图，将地球近似看作球体。设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值。已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即。如果在北京地区（纬度数约为北纬）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）‎ ‎16. 已知椭圆的焦点是，是上（不在长轴上）的两点，且。为与的交点，则的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分12分)已知数列，满足，，，的前项和为，前项积为.‎ ‎（1）证明：是定值；‎ ‎（2）试比较与的大小。‎ ‎18. (本小题满分12分)已知圆，设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上。‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）延长交直线于点，延长交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点。求证：。‎ ‎19. (本小题满分12分)如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，．‎ ‎（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；‎ ‎（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎20. (本小题满分12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者．血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康．‎ ‎（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；‎ ‎（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。‎ ‎（i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望；‎ ‎（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案．‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若存在直线，使得对任意的，，对任意的，，求的取值范围。‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知，曲线与的交点为，求的值。‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知 ‎ ‎（1）若，求的最小值；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1-12：CBDCA ACDBB CA ‎13. 14.45 15. 16. 椭圆, ‎ ‎17. （1）证明：依题意，……2分 则， ‎ 所以，…………4分 ‎，所以。…………6分 ‎（2），…………8分 因为，，所以单调递增。…………6分 又因为，所以当时，…………10分 所以当时，；‎ 当时，。…………12分 ‎18. ‎ 解：（1）设，依题意，满足，消得，‎ 所以。………………5分 ‎（2）设，将代入得，，………………7分 ‎，令得，所以，………………8分 因为，所以点处的切线为，即，‎ 令得，所以.………………10分 所以的斜率 所以。………………12分 ‎19. ‎ 解法一：（1）①延长交的延长线于点； 2分 ②连接； 3分 ③过点作交于点。 5分 ‎（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而. 6分 依题意，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ‎ 则，‎ 从而 ， 8分 设平面的法向量为，‎ 则即取，得. 10分 则，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为． 12分 ‎20. 解：（1） ………………3分 ‎（2）（i）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎………………6分 ‎（ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，‎ ‎，‎ 分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………………9分 再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，‎ ‎，‎ 分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可。………………12分 ‎21. 解：（1）………………1分 ‎（i）若，则；………………2分 ‎（ii）若，则由得，由得；‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；…………4分 ‎（2）设存在满足题意。‎ ‎ （i）由，即，得，‎ 所以………………5分 ‎ （ii）令，‎ ‎………………6分 ①若，则，单调递增，，不合题意； ………………7分 ②若，则在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以………………8分 所以，即，‎ 由（i）得………………9分 即，‎ 令，，………………10分 ‎，所以单调递增，‎ 又因为，所以在是单调递减，是单调递减，所以，所以 ………………12分 ‎22．解：（1）。………………5分 ‎（2）设对应的直线参数为，‎ 将代入得 ‎，故，………………8分 当在轴上方， ‎ 当在轴下方，………………10分 ‎23．解：（1）………………3分 故………………5分 ‎（2）令得，………………7分 此时，‎ 所以。………………10分