华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试 数学(理)
机密★启用前
华大新高考联盟名校 2020 年 5 月高考预测考试
理科数学
本试题卷共 4 页,23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的
指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题
卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={x|1
1}
2.右图来自中国古代的木纹饰图。若大正方形的边长为 6 个单位长度,每个小正方形的边长均
为 1 个单位长度,则在大正方形内随机取一点,此点取自图形中小正方形内的概率是
A. 1
36 B. 1
9 C. 1
6 D. 2
9
3.设有下面两个命题:
p1:复数 x∈R 的充要条件是 z= z ;
p2:若复数 z 所对应的点在第一象限,则复数 z
i
所对应的点在第四象限。
那么下列命题中,真命题是
A.p1∧p2 B.( p1)∧p2 C.p1∧( p2) D.( p1)∧( p2)
4.已知数列{an}为等差数列,若 a2+a5=3a3,且 a4 与 2a7 的等差中项为 6,则 a5=
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知定义在 R 上的函数 f(x)=3sinx-2x+1,则 f(x)的最大值与最小值之和等于
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(1-x)·(x+ 1
x
+2)4 的展开式中 x 的系数是
A.10 B.2 C.-14 D.34
7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,记该几何体的外接球的体积为
V1,该几何体的体积为 V2,则 V1 与 V2 的比值为
A. 9
4
B. 9
8
C.10
9
D. 32
9
8.如图所示的程序框图是为了求出满足 1+3+5+…+n≤2020 的最大正奇数 n 的值,那么在
框 中,可以填
A.“输出 i-4” B.“输出 i-2” C.“输出 i-1” D.“输出 i”
9.已知函数 f(x)= 3 sin2x-cos2x 在区间[0,
2
]上当 x=θ时取得最大值,将 f(x)的图象向左
平移θ个单位得到函数 g(x)的图象,则
A.g(x)=2cos2x B.g(x)=-2cos2x
C.g(x)= 3 sin2x+cos2x D.g(x)=- 3 sin2x-cos2x
10.已知双曲线于
2 2
14 3
x y 的左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线与双曲线的左支交于 A,
B 两点,若∠AF2B=60°,则△AF2B 的内切圆半径为
A. 4 3
3 B. 2 3
3 C. 2
3 D.2
11.数学上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,它是指对于任意一个正整数,如果是
奇数,则乘 3 加 1,如果是偶数,则除以 2,得到的结果再按照上述规则重复处理,最终总能
够得到 1。对任意正整数 a0,记按照上述规则实施第 n 次运算的结果为 an(n∈N*),则使 a7=1
的 a0 所有可能取值的个数为
A.3 B.4 C.5 D.6
12.已知实数 a、b 满足 log2a=log3b,给出五个关系式:①abba;④abb。
(1)求角 B 的大小;
(2)若 b=1,BC 边上的中线 AM 的长为 1
2 a,求△ABC 的面积。
18.(12 分)
在四棱锥 P-ABCD 中,BC=BD=DC=2 3 ,AD=AB=PD=PB=2,PA= 2 。
(1)求证:平面 PBD⊥平面 ABCD;
(2)求二面角 C-PD-B 的余弦值。
19.(12 分)
已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
2
,点(2, 2 )在椭圆 C 上。
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过点 P(0,-2)任作椭圆 C 的两条相互垂直的弦 AB,CD,设 M,N 分别是 AB,CD 的中
点。则直线 MN 是否过定点?若过,求出该定点坐标;若不过,请说明理由。
20.(12 分)
近年来,我国肥胖人群的规模急速增长,肥胖人群有很大的心血管安全隐患。目前,国
际上常用身体质量指数(Body Mass Index,缩写为 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其
计算公式是 BMI= 2 2
( )
( )
kg
m
体重 单位:
身高 单位: 。
中国成人的 BMI 数值标准为:BMI≤18.4 为偏瘦;18.5≤BMI≤23.9 为正常;24≤BMI
≤27.9 为偏胖;BMI≥28 为肥胖。
为了解某公司员工的身体质量指数,研究人员从公司员工体检数据中,抽取了 8 名员工(编
号 1~8)的身高 x(cm)和体重 y(kg)数据,并计算得到他们的 BMI 值(精确到 0.1)如下表:
(I)现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检,记抽取到 BMI 值为“正常”员工的人数为 X,求 X
的分布列及数学期望。
(II)某调查机构分析发现公司员工的身高 x(cm)和体重 y(kg)之间有较强的线性相关关系,在编
号为 6 的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析,并计算得出该组数据的线性回
归方程为 0 5y x a . ,且根据回归方程预估一名身高为 180cm 的员工体重为 71kg,计算得
到的其他数据如下:x=170,
8
1
88920i i
i
x y
。
(1)求 a 的值及表格中 8 名员工体重的平均值 y ;
(2)在数据处理时,调查员乙发现编号为 8 的员工体重数据有误,应为 63kg,身高数据无误。
请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程,并据此预估一名身高为 180cm 的员工
的体重。
(附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线 y bx a 的斜率和截距的
最小二乘法估计分别为: 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y bx
x nx
。
21.(12 分)
已知函数 f(x)= 1
2 x2+ax,g(x)=(a+1)lnx(a<0)。
(1)若点 P(x0,y0)为函数 f(x)与 g(x)图象的唯一公共点,且两曲线存在以点 P 为切点的公共切
线,求 a 的值;
(2)若函数 h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围。
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
3
2
3
2
x t
y m t
(t 为参数,m∈R)。以原点 O
为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,,曲线 C2 的极坐标方程为 2
2
3
3 2cos
(0
≤θ≤π)。
(1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;
(2)已知 m<- 3 ,点 P 是曲线 C2 上一点,点 P 到曲线 C1 的最大距离为 2 2 ,求 m 的值。
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=|ax+1|。
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)+|2x-1|>3 的解集;
(2)设 g(x)=1+|x|,若关于 x 的不等式 f(x)≤g(x)的解集为 R,求实数 a 的取值范围。