数学文卷·2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）（2018

数学文卷·2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测（一）（2018

‎2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎3.已知平面向量，，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的的值为（ ）‎ A．-3 B．-3或9 C.3或-9 D．-9或-3‎ ‎6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）‎ A．55 B．11 C.50 D．60‎ ‎8.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）‎ A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C.甲是医生，乙是教师，丙是记者 D．甲是记者，乙是医生，丙是教师 ‎9.已知函数，以下命题中假命题是（ ）‎ A．函数的图象关于直线对称 B．是函数的一个零点 C.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 D．函数在上是增函数 ‎10.设函数，则（ ）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C.为的极大值点 D．为的极小值点 ‎11.已知双曲线，为坐标原点，为双曲线的右焦点，以 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C. D．‎ ‎12.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于的方程解的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设变量满足约束条件：，则的最小值为 ．‎ ‎14.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 ．‎ ‎15.在数列中，，，，则 ．‎ ‎16.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占.‎ ‎（1）请根据以上调查结果将下面列联表补充完整；并判断能否有的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与国别有关；‎ 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 ‎（Ⅰ）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；‎ ‎（Ⅱ）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面，，，，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，，求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且有.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数图象经过的定点坐标；‎ ‎（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；‎ ‎（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，（）‎ ‎（1）求曲线、的极坐标方程；‎ ‎（2）设点、为射线与曲线、除原点之外的交点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CBBCB 6-10:AACCD 11、12：AC 二、填空题 ‎13.-10 14. 15. 16.6‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，得，‎ 又，∴，即.‎ 由及，得.‎ ‎（2）由，得 ‎∴，即.‎ ‎18.解：（1）由已知得 在家里最幸福 在其它场所幸福 合计 中国高中生 ‎22‎ ‎33‎ ‎55‎ 美国高中生 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ 合计 ‎31‎ ‎69‎ ‎100‎ ‎∴‎ ‎∴有的把握认为“恋家”与否与国别有关.‎ ‎（2）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为.‎ ‎∵，∴.‎ 设“含有在“个人空间”感到幸福的学生”为事件，‎ ‎，∴.则.‎ ‎19.解：（1）法一：过作交于点，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，且，‎ ‎∴，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 法二：过点作于点，为垂足，连接.‎ 由题意，，则，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵平面，平面，∴.‎ 又，∴.‎ 又∵平面，平面；‎ ‎∵平面，平面，；‎ ‎∴平面平面.‎ ‎∵平面，∴平面.‎ ‎（2）过作的垂线，垂足为.‎ ‎∵平面，平面，∴.‎ 又∵平面，平面，；‎ ‎∴平面 由（1）知，平面，‎ 所以到平面的距离等于到平面的距离，即.‎ 在中，，，∴.‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）由，得，∴.‎ 将代入，得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由已知，直线的斜率为零时，不合题意，‎ 设直线方程为，点，，‎ 则联立，得，‎ 由韦达定理，得，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ ‎∴面积的最大值为.‎ ‎21.解：（1）当时，，所以，‎ 所以函数的图象无论为何值都经过定点.‎ ‎（2）当时，.‎ ‎，，，‎ 则切线方程为，即.‎ 在时，如果，‎ 即时，函数单调递增；‎ 如果，‎ 即时，函数单调递减.‎ ‎（3），.‎ 当时，，在上单调递增.‎ ‎，不恒成立.‎ 当时，设，.‎ ‎∵的对称轴为，，‎ ‎∴在上单调递增，且存在唯一，‎ 使得.‎ ‎∴当时，，即，在上单调递减；‎ ‎∴当时，，即，在上单调递增.‎ ‎∴在上的最大值.‎ ‎∴，得，‎ 解得.‎ ‎22.解（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得 ‎，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为.‎ 由曲线的直角坐标方程，，‎ ‎∴曲线的极坐标方程.‎ ‎（2）联立，得，∴，‎ 联立，得，∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴当时，有最大值2.‎ ‎23.解法一：（1）时，‎ 由，得，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由，可得，或.‎ 即，或.‎ ‎1）当时，不等式的解集为.‎ 由，得.‎ ‎2）当时，解集为，不合题意.‎ ‎3）当时，不等式的解集为.‎ 由，得.‎ 综上，，或.‎ 解法二：（1）当时，，函数为单调递增函数，‎ 此时如果不等式的解集为成立，‎ 那么，得；‎ ‎（2）当时，，函数为单调递增函数，‎ 此时如果不等式的解集为成立，‎ 那么，得；‎ 经检验，或都符合要求.‎