2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章10-6几何概型

2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章10-6几何概型

第 6 讲　几何概型 最新考纲　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义． 知 识 梳 理 1．几何概型 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落在子区域 G1G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的形状、位置无关，即 P(点 M 落在 G1)＝G1 的面积 G 的面积 ，则称这种 模型为几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　 精彩 PPT 展示 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 1 10.(　　) (3)概率为 0 的事件一定是不可能事件．(　　) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在 阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝3 8 ，P(B) ＝2 8 ，P(C)＝2 6 ，P(D)＝1 3 ，所以 P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)． 答案　A 3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为(　　) A. 7 10 B.5 8 C.3 8 D. 3 10 解析　至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40－15 40 ＝5 8. 答案　B 4．已知球 O 内切于棱长为 2 的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的 概率为________． 解析　由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球＝4π 3 ，正方体的体积为 V 正方体＝23＝8，则 这一点不在球内的概率 P＝1－ 4π 3 8 ＝1－π 6. 答案　1－π 6 5．(2017·南昌质检)如图所示，在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子，有 180 粒落 到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________． 解析　由题意知，S 阴 S 正＝ 180 1 000 ＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18. 答案　0.18 考点一　与长度(角度)有关的几何概型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例 1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是(　　) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 (2) 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个 圆 弧 ， 在 ∠ DAB 内 任 作 射 线 AP ， 则 射 线 AP 与 线 段 BC 有 公 共 点 的 概 率 为 ________． 解析　(1)如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 上，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 上时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P＝10＋10 40 ＝ 1 2. (2)因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线 AP”，所以它 的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，区域 H 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30° 90° ＝1 3. 答案　(1)B　(2)1 3 规律方法　(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当 考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的 核心是确定点的边界位置． (2)①第(2)题易出现“以线段 BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求 P＝1 2. ②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域 度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度 数之比． 【训练 1】 (1)(2017·西安质检)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连 接，则弦长超过半径的 2倍的概率是(　　) A.3 4 B.1 2 C.1 3 D.3 5 (2)(2015·重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p，则方程 x 2＋2px＋3p－2＝0 有两个 负根的概率为________． 解析　(1) 如图，作等腰直角△AOC 和△AMC，B 为圆上任一点，则当点 B 在 上运动时，弦 长|AB|＞ 2R， ∴P＝ ＝1 2. (2)设方程 x2＋2px＋3p－2＝0 的两个根分别为 x1，x2，由题意得， Error! 解得2 3 ＜p≤1 或 p≥2，结合 p∈[0,5]得 p∈(2 3 ，1]∪[2,5]，故所求概率为(1－2 3)＋(5－2) 5 ＝ 2 3. 答案　(1)B　(2)2 3 考点二　与面积有关的几何概型(多维探究) 命题角度一　与随机模拟相关的几何概型 【例 2－1】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x 1，x2，…，xn，y1，y2，…， yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共 有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为(　　) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n 解析　如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括 边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内．由 几何概型的概率公式可得m n ＝ 1 4π 12 ，故 π＝4m n . 答案　C 命题角度二　与线性规划的交汇问题 【例 2－2】 (2017·石家庄调研)在满足不等式组Error!的平面内随机取一点 M(x 0，y0)， 设事件 A＝“y0＜2x0”，那么事件 A 发生的概率是(　　) A.1 4 B.3 4 C.1 3 D.2 3 解析　 作出不等式组Error!的平面区域即△ABC，其面积为 4，且事件 A＝“y0＜2x0”表示的区 域为△AOC，其面积为 3，所以事件 A 发生的概率是3 4. 答案　B 规律方法　(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件 A 构成的 平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合． (2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平 面图形，以便求解． 【训练 2】 (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)， 且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝Error!的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取 自阴影部分的概率等于(　　) A.1 6 B.1 4 C.3 8 D.1 2 解析　因为四边形 ABCD 为矩形，B(1,0)且点 C 和点 D 分别在直线 y＝x＋1 和 y＝－1 2x＋ 1 上， 所以 C(1,2)，D(－2,2)，E(0,1)，则 A(－2,0)． 因此 S 矩形 ABCD＝6，S 阴影＝1 2 ×1·|CD|＝3 2. 由几何概型，所求事件的概率 P＝ 3 2 6 ＝1 4. 答案　B 考点三　与体积有关的几何概型 【例 3】 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四 棱锥 M－ABCD 的体积小于1 6 的概率为________． 解析　过 M 作平面 RS∥平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 M－ABCD 的高，显然 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 M－ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥 M－ABCD 的体积等于1 6 ，只要 M 在截面以下即可小于1 6 ，当 VM－ABCD＝1 6 时，即1 3 ×1×1×h＝1 6 ，解 得 h＝1 2 ，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P＝ 1 × 1 × 1 2 1 × 1 × 1 ＝1 2. 答案　1 2 规律方法　对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事 件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． 【训练 3】 一个长方体空屋子，长、宽、高分别为 5 米、4 米、3 米，地面三个角上各 装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另 外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 解析　依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积 V0＝1 8 ×4 3π×13＝π 6 (立方 米)． 又空屋子的体积 V＝5×4×3＝60 (立方米)， 三个捕蝇器捕捉到的空间体积 V′＝3V0＝π 2 (立方米)． 故苍蝇被捕捉的概率是 π 2 60 ＝ π 120. 答案　 π 120 [思想方法] 1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．判断几何概型中的几何度量形式的方法： (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系． (2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几 何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一 个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域． [易错防范] 1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不 同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限 的． 2．准确把握几何概型的“测度”是解题关键，无论长度、面积、体积，“测度”只与 大小有关，而与形状和位置无关． 3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．在区间[－2,3]上随机选取一个数 x，即 x≤1，故所求的概率为(　　) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析　在区间[－2,3]上随机选取一个数 x，且 x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为 P＝ 3 5. 答案　B 2.如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子， 它落在阴影区域内的概率是1 3 ，则阴影部分的面积是(　　) A.π 3 B．π C．2π D．3π 解析　设阴影部分的面积为 S，且圆的面积 S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得 S S′＝ 1 3 ，则 S＝3π. 答案　D 3．(2015·山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数 x，则事件“－1≤log 1 2(x＋1 2)≤1”发生 的概率为(　　) A.3 4 B.2 3 C.1 3 D.1 4 解析　由－1≤log1 2(x＋1 2)≤1， 得1 2 ≤x＋1 2 ≤2， 解得 0≤x≤3 2 ，所以事件“－1≤log1 2(x＋1 2)≤1”发生的 概率为 3 2 2 ＝3 4 ，故选 A. 答案　A 4．(2017·陕西师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB ＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是(　　) A.π 2 B.π 4 C.π 6 D.π 8 解析　设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A)＝ 阴影面积 长方形面积＝ 1 2π × 12 1 × 2 ＝ π 4. 答案　B 5．在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为(　　) A. π 12 B．1－ π 12 C.π 6 D．1－π 6 解析　设“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A. 则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝4 3π·13×1 2 ＝2 3π. ∴P(A)＝ 23－2 3π 23 ＝1－ π 12. 答案　B 6．已知△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在 BC 上任取一点 D，则使△ABD 为钝角三角形的概率为(　　) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析　 如图，当 BE＝1 时，∠AEB 为直角，则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当 BF＝4 时，∠BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，△ ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋2 6 ＝1 2. 答案　C 7．设不等式组Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原 点的距离大于 2 的概率是(　　) A.π 4 B.π－2 2 C.π 6 D.4－π 4 解析　 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而 阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4－π， 因此满足条件的概率是4－π 4 .故选 D. 答案　D 8．(2017·华师附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数 x，y，使得 x＋2y≤8 的概率为(　　) A.1 4 B. 3 16 C. 9 16 D.3 4 解析　 由 x，y∈[0,4]知(x，y)构成的区域是边长为 4 的正方形及其内部，其中满足 x＋2y≤8 的 区域为如图所示的阴影部分． 易知 A(4,2)，S 正方形＝16， S 阴影＝ (2＋4) × 4 2 ＝12.故“使得 x＋2y≤8”的概率 P＝ S 阴影 S 正方形＝3 4. 答案　D 9．已知正三棱锥 S－ABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VP －ABC＜1 2VS－ABC 的概率是(　　) A.7 8 B.3 4 C.1 2 D.1 4 解析　当点 P 到底面 ABC 的距离小于3 2 时， VP－ABC＜1 2VS－ABC. 由几何概型知，所求概率为 P＝1－(1 2 )3＝7 8. 答案　A 10．设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为(　　) A.3 4 ＋1 2π B.1 2 ＋1 π C.1 2 －1 π D.1 4 － 1 2π 解析　 因为复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝ (x－1)2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1， 即点(x，y)在以(1,0)为圆心、1 为半径的圆及其内部，而 y≥x 表示直线 y＝x 左上方的部 分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比， 即 P＝ 1 4·π·12－1 2 × 1 × 1 π·12 ＝1 4 － 1 2π. 答案　D 二、填空题 11．在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为5 6 ，则 m＝________. 解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 m≤2 时，由题意得2m 6 ＝5 6 ，解得 m＝2.5，矛盾，舍去． 当 2＜m＜4 时，由题意得m－(－2) 6 ＝5 6 ，解得 m＝3. 答案　3 12．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点 在三棱锥 A－A1BD 内的概率为________． 解析　因为 VA－A1BD＝VA1－ABD＝1 3AA1×S△ABD＝1 6 ×AA1×S 矩形 ABCD＝1 6V 长方体，故所 求概率为VA－A1BD V 长方体 ＝1 6. 答案　1 6 13．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝ 9 相交”发生的概率为________． 解析　直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心(5,0)到直线 y＝kx 的距离小 于 3. 则 |5k－0| k2＋1 ＜3，解之得－3 4 ＜k＜3 4 ，故所求事件的概率 P＝ 3 4 －(－3 4 ) 1－(－1) ＝3 4. 答案　3 4 14．(2017·唐山模拟)如图，将半径为 1 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放 在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________． 解 析 　 顺 次 连 接 星 形 的 四 个 顶 点 ， 则 星 形 区 域 的 面 积 等 于 ( 2)2 － 4 (1 4 × π × 12－1 2 × 12)＝4－π，又因为圆的面积等于 π×1 2＝π，因此所求的概率等于 4－π π ＝4 π －1. 答案　4 π －1 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 15．在区间[－1,4]内取一个数 x，则 2x－x2≥1 4 的概率是(　　) A.1 2 B.1 3 C.2 5 D.3 5 解析　由 2x－x2≥1 4 ，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4. ∴所求事件的概率 P＝2－(－1) 4－(－1)＝3 5. 答案　D 16．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为 2 km，大圆 的半径为 4 km，卫星 P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点 P 与点 O 的距 离小于 3 km 的概率为(　　) A. 1 12 B. 5 12 C.1 3 D.1 5 解析　根据几何概型公式，小于 3 km 的圆环面积为 π(32－22)＝5π；圆环总面积为 π(42－ 22)＝12π，所以点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为 P(A)＝ 5π 12π ＝ 5 12. 答案　B 17．已知平面区域 D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域 D 内任取一点，则取到 的点位于直线 y＝kx(k∈R)下方的概率为(　　) A.1 2 B.1 3 C.2 3 D.3 4 解析　由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线 y＝kx 将其面积平分，如图，故所求概率为1 2. 答案　A 18．(2017·合肥质检)在区间[0，π]上随机取一个实数 x，使得 sin x∈[0，1 2]的概率为(　　) A.1 π B.2 π C.1 3 D.2 3 解析　由 0≤sin x≤1 2 ，且 x∈[0，π]， 解之得 x∈[0，π 6]∪[5 6π，π]. 故所求事件的概率 P＝(π－5 6π)＋(π 6 －0) π－0 ＝1 3. 答案　C 19．(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方 形，直角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小 正方形内的概率为(　　) A. 1 17 B. 2 17 C. 3 17 D. 4 17 解析　∵大正方形的面积是 34，∴大正方形的边长是 34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是 5 和 3，则小正方形边长为 2，面积为 4，∴ 小花朵落在小正方形内的概率为 P＝ 4 34 ＝ 2 17. 答案　B 20．有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个 圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为(　　) A.2 3 B.1 3 C.8 9 D.π 4 解析　V 圆柱＝2π，V 半球＝1 2 ×4 3π×13＝2 3π，V 半球 V 圆柱＝1 3 ，故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率 为2 3. 答案　A 21．(2015·湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件“x＋y≤1 2 ”的概率，p2 为事件“xy≤1 2 ”的概率，则(　　) A．p1

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