高考导数题的解题技巧绝版

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高考导数题的解题技巧绝版

导数题的解题技巧 导数命题趋势:‎ ‎(1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题.‎ ‎(2)求极值,证明不等式, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.‎ ‎【考点透视】‎ ‎1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.‎ ‎2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.‎ ‎3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.‎ ‎【例题解析】‎ 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ‎ 例1.(2007年北京卷)是的导函数,则的值是 .‎ ‎[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.‎ ‎[解答过程] ‎ 故填3.‎ 例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) ‎ A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由 综上可得MP时, ‎ 考点2 曲线的切线 ‎(1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.‎ ‎(2)关于两曲线的公切线 ‎ 若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.‎ 典型例题 例3.(2007年湖南文)已知函数在区间,内各有一个极值点.‎ ‎(I)求的最大值;‎ ‎(II)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.‎ 思路启迪:用求导来求得切线斜率.‎ 解答过程:(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,‎ 设两实根为(),则,且.于是 ‎,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.‎ ‎(II)解法一:由知在点处的切线的方程是 ‎,即,‎ 因为切线在点处空过的图象,‎ 所以在两边附近的函数值异号,则 不是的极值点.‎ 而,且 ‎.‎ 若,则和都是的极值点.‎ 所以,即,又由,得,故.‎ 解法二:同解法一得 ‎.‎ 因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().‎ 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 设,则 当时,,当时,;‎ 或当时,,当时,.‎ 由知是的一个极值点,则,‎ 所以,又由,得,故.‎ 例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.‎ 故选A.‎ 例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )‎ A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x ‎ ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]解法1:设切线的方程为 又 故选A.‎ 解法2:由解法1知切点坐标为由 故选A.‎ 例6.已知两抛物线, 取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.‎ 思路启迪:先对求导数.‎ 解答过程:函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即   ①‎ 曲线在点Q的切线方程是即 ‎   ②‎ 若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得 ‎,消去得方程, ‎ 若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.‎ ‎∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .‎ 考点3导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:‎ ‎1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);‎ ‎5.构造函数证明不等式.‎ 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )‎ A.1个 ‎ B.2个 ‎ C.3个 D. 4个 ‎[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.‎ ‎[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.‎ 故选A.‎ 例8 . (福建省2008年普通高中毕业班质量检查)已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x = 0处取得极值.‎ ‎(I)求实数a的值;‎ ‎(Ⅱ)若关于x的方程,f(x)= 在区间[O,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln 都成立.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识;考查化归及数形结合的思想方法;考查分析问题、解决问题的能力。‎ 解答过程:解:(Ⅰ) = ‎ ‎∵x=0时,f(x)取得极值,∴=0,‎ 故 =0,解得a=1.经检验a=1符合题意.‎ ‎ (Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x,由f(x)= +b,‎ 得ln(x+1)-x2+ x-b=0,‎ 令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b,‎ 则f(x)= +b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]‎ 恰有两个不同实数根.‎ ‎ ,‎ 当x∈(O,1)时, >O,于是φ(x)在(O,1)上单调递增;‎ 当x∈(1,2)时, <0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减.‎ ‎ 依题意有 ‎ ∴ln3 -1≤b -1},‎ ‎ 由(Ⅰ)知,‎ ‎ 令=0得,x=0或x= -(舍去),‎ ‎ ∴当-10,f(x)单调递增;‎ ‎ 当x>0时,<0,f(x)单调递减.‎ ‎∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值. ‎ ‎∴f(x)≤ f(0),故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).‎ 对任意正整数n,取x=>0得,ln(+1)< +,故ln()<.‎ 例9.函数的值域是_____________.‎ 思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。‎ 解答过程:由得,,即函数的定义域为.‎ ‎ ,‎ ‎ 又,‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 函数在上是增函数,而,的值域是.‎ 例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.‎ ‎(1)当时,判断函数是否有极值;‎ ‎(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;‎ ‎(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.‎ ‎[考查目的]‎ 本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.‎ ‎[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.‎ ‎(Ⅱ),令,得.‎ 由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论. ‎ ‎①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此,函数在处取得极小值,且.‎ 要使,必有,可得.‎ 由于,故.‎ ②当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 因此,函数处取得极小值,且 若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.‎ 综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.‎ ‎(III)解:由(II)知,函数在区间与内都是增函数。‎ 由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组 ‎ 或 ‎ 由(II),参数时时,.要使不等式关于参数 恒成立,必有,即.‎ 综上,解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ 例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.‎ ‎[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]由已知得函数的定义域为,且 ‎(1)当时,函数在上单调递减,‎ ‎(2)当时,由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时,函数在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递增.‎ 综上所述:当时,函数在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.‎ 例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:‎ ‎(Ⅰ)的值;‎ ‎(Ⅱ)的值.‎ ‎[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ‎[解答过程]解法一:(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,‎ 故在上递增,在上递减,‎ 因此在处取得极大值,所以 ‎(Ⅱ)‎ 由 得 解得 解法二:(Ⅰ)同解法一 ‎(Ⅱ)设 又 所以 由即得 所以 例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.‎ ‎(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.‎ ‎[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ ‎[解答过程](Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x,‎ 由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a,‎ 则 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x ‎=-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.‎ 令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,‎ 所以x+a+1≠0,那么a≠-4.‎ 当a<-4时,x2>3=x1,则 在区间(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(3,―a―1)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ 当a>-4时,x2<3=x1,则 在区间(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)为减函数;‎ 在区间(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)为增函数;‎ 在区间(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)为减函数.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f (x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)],‎ 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6,‎ 那么f (x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].‎ 又在区间[0,4]上是增函数,‎ 且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],‎ 由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须 ‎(a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0
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