江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研考试数学试题 含解析

江苏省苏州市2020届高三上学期期初调研考试数学试题 含解析

江苏省苏州市2019—2010学年度第一学期高三期初调研考试 数学试卷 ‎2019．9‎ 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{1，3}，B＝{3，9}，则AB＝ ．‎ 答案：{1，3，9}‎ 考点：集合的运算 解析：∵A＝{1，3}，B＝{3，9}，‎ ‎ ∴AB＝{1，3，9}‎ ‎2．如果复数(bR)的实部与虚部互为相反数，则b等于 ．‎ 答案：1‎ 考点：复数 解析：，由实部与虚部互为相反数得：，解得b＝1．‎ ‎3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ．‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 得分 ‎33‎ ‎30‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎31‎ 答案：4‎ 考点：平均数与方差 解析：∵‎ ‎ ∴．‎ ‎4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ．‎ 答案：‎ 考点：古典概型 解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为．‎ ‎5．根据如图所示的伪代码，当输入的a，b分别为2，3时，最后输出的b的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：2‎ 考点：算法语言，伪代码 解析：求得a＝5，b＝2，所以最后输出的b的值为2．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为 ．‎ 答案：‎ 考点：双曲线的性质 解析：由渐近线方程可得，所以b2＝‎4a2，即c2﹣a2＝‎4a2，所以，e＝（负值已舍去）．‎ ‎7．如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，若四边形AA‎1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为 ．‎ 答案：4‎ 考点：棱锥的体积 解析：根据A‎1C1＝4，A1B1＝AB＝3，B‎1C1＝BC＝5，可得∠C‎1A1B1＝90°，又∠C‎1A1A＝90‎ ‎°，可得C‎1A1⊥平面ABB‎1A1，所以．‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为，若，，则的值为 ．‎ 答案：﹣5‎ 考点：等差数列前n项和 解析：由可得，又，可得，，‎ 所以．‎ ‎9．若是定义在R上的偶函数，当[0，)时，，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：函数的奇偶性、周期性 解析：．‎ ‎10．已知在△ABC中，AC＝1，BC＝3，若O是该三角形内的一点，满足＝0，则＝ ．‎ 答案：4‎ 考点：平面向量的数量积 解析：设AB的中点为D，由＝0，得 ‎ 所以 ‎．‎ ‎11．已知，则＝ ．‎ 答案：1或 考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ 化简得 ‎ 所以或 ‎ 当，求得＝1‎ ‎ 当，．‎ ‎12．已知点A、B是圆O：上任意两点，且满足AB＝．点P是圆C：(x＋4)2＋(y＋3)2＝4上任意一点，则的取值范围是 ．‎ 答案：[4，16]‎ 考点：圆的方程 解析：取AB中点C，可得OC＝1，所以动点C在以O为圆心，1为半径的圆上 ‎ ，而PCmax＝5＋1＋2＝8，PCmin＝5﹣1﹣2＝2，‎ ‎ 的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤≤16．‎ ‎13．设实数a≥1，若不等式，对任意的实数[1，3]恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是 ．‎ 答案：[1，2][，)‎ 考点：函数性质综合 解析：①当1≤a≤2时，显然符合题意 ‎ ②当a＞2时，，‎ ‎ ∴或 ‎ 化简得或恒成立 ‎ 求得在[1，3]的最小值为，即a≤与a＞2矛盾，舍 ‎ 求得在[1，3]的最大值为，即a≥符合题意 ‎ 综上所述，a的取值范围为1≤a≤2或a≥．‎ ‎14．在△ABC中，若＝3，则sinA的最大值为 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式，正余弦定理 解析：‎ ‎＝‎ ‎ 所以 ‎ cosA＝当且仅当b＝c时取“＝”‎ ‎ 所以A是锐角，且cosA的最小值为，此时sinA有最大值为．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AB＝BC，点P是棱AC的中点．‎ ‎（1）求证：AB1∥平面PBC1；‎ ‎（2）求证：平面PBC1⊥平面AA‎1C1C．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）当x[0，π]时，试求函数的最大值，并写出取得最大值时自变量x的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C：(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△‎ PAB为等边三角形，求实数k的值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）‎ ‎（1）若v＝4，AB＝‎2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；‎ ‎（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为‎4千米/小时，在水中游泳的速度为‎2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）设，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设，求证：存在唯一的，使得函数的图像在点A(，)处的切线l与函数的图像也相切；‎ ‎（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 等差数列的前n项和为，数列满足：，，当n≥3时，＞，且，，成等比数列，n．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列中的项都在数列中；‎ ‎（3）将数列、的项按照：当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，，…这个新数列的前n和为，试求的表达式．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 设变换T是按逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M．‎ ‎（1）求点P(1，1)在T作用下的点P′的坐标；‎ ‎（2）求曲线C：y＝x2在变换T的作用下所得到的曲线C′的方程．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 己知直线的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（a＞0，为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为，求实数a的值．‎ 解：由直线的参数方程为（t为参数）可得 由圆C的参数方程为可得圆的标准方程为 求得圆心O到直线的距离为，所以a＋＝，求得a的值为1．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知x、y、z均为正数，求证：．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X表示取球终止时取球的总次数．‎ ‎（1）求袋中原有白球的个数；‎ ‎（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设集合M＝{﹣1，0，1}，集合An＝，集合An中满足条件“1≤≤m”的元素个数记为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）当m＜n时，求证：．‎