2017-2018学年江苏省邗江中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江苏省邗江中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省邗江中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、填空题 ‎1．函数的定义域是_____．‎ ‎【答案】（0，1]‎ ‎【解析】分析：根据函数的解析式有意义，即可求解函数的定义域．‎ 详解：由函数满足，解得，‎ 即函数的定义域为．‎ 点睛：本题注意考查了函数的定义域的求解，函数的定义域表示函数解析式有意义的的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力．‎ ‎2．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a，b全为0”，其反设为____．‎ ‎【答案】“a，b不全为0”‎ ‎【解析】分析：根据反证法的概念，即可作出反设．‎ 详解：由反证法的概念可知命题“若，则全为”，‎ 其反设为：不全为．‎ 点睛：本题主要考查了反证法的概念，熟记反证法的定义是解答的关键．‎ ‎3．质点的运动方程是S=(S的单位为m，t的单位为s），则质点在t=3s时的瞬时速度为___m/s．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出质点的运动方程的导数，再求出秒的导数，即可得到所求的瞬时速度．‎ 详解：因为质点的运动方程为，所以，‎ 所以该质点在秒的瞬时速度为，‎ 即质点在时的瞬时速度为．‎ 点睛：本题考查了函数的导数与瞬时速度的关系、导数在物理的应用，正确解答的关键是理解导数的物理意义，对此类解题规律要好好把握．‎ ‎4．如果，，那么是的 .（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）‎ ‎【答案】充分不必要条件.‎ ‎【解析】试题分析：，是的充分不必要条件.‎ ‎【考点】充分条件、必要条件.‎ ‎5．若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：复数满足，设，利用复数的模的计算公式与三角函数求值即可求出．‎ 详解：由复数满足，设，‎ 则，当且仅当时等号成立，‎ 所以的最小值为．‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：令，可求得，从而可得是以为周期的周期函数，结合，即可求解的值．‎ 详解：由题意可知，‎ 令，可求得，‎ 又函数是定义在上的偶函数，所以，即，‎ 所以是以为周期的周期函数，又，‎ 所以．‎ 点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎7．已知函数，若f（x0）=﹣2，则x0=_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据分段函数的分段条件，分别列出方程，求解即可．‎ 详解：当，则，解得或（舍去）；‎ 当，则，解得（舍去），‎ 综上可知．‎ 点睛：本题主要了分段函数的计算问题，属于基础题，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎8．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：根据导数的运算公式，求的，令，即可求解．‎ 详解：由，则，‎ 令时，，解得．‎ 点睛：本题主要考查了导数的运算，熟记基本初等函数的导数公式是解答的关键．‎ ‎9．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由奇函数的性质，求出函数的解析式，对时的解析式求出，并判断函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．‎ 详解：因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以当时，，不满足不等式，‎ 设，则，因为时，，所以，‎ 因为函数是奇函数，所以，‎ 所以，当时，，‎ 令，解得，‎ 当时，；当时，，‎ 所以函数在上递减，在上递增，‎ 所以当时取得极小值，，‎ 再由函数是奇函数，画出函数的图象如图所示，‎ 因为当时，当时取得极小值，，‎ 所以不等式的解集在无解，在上有解，‎ 因为，‎ 所以不等式的解集为．‎ 点睛：本题考查函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，着重考查了数形结合思想方法，分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．‎ ‎10．如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为_____．‎ ‎【答案】n2+2‎ ‎【解析】分析：由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，然后利用累加的办法求得第行的第二个数．‎ 详解：由图可以看出 ‎ 由此看出 ，‎ ‎ ‎ 以上个式子相加得，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，解答此题的关键是根据数表数阵，得到数字的排布规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，此题是中档试题．‎ ‎11．函数f（x）=x|x|，若存在x∈[0，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意时，，讨论和时，存在，使的的取值范围即可．‎ 详解：根据题意，时，，‎ 当时，即时，存在，使得，‎ 即只需，所以，所以，‎ 所以，整理得，即，‎ 因为，所以不等式对一切实数都成立，所以；‎ 当时，解得，‎ 存在，使得，即即可，‎ 因为，所以，‎ 所以，整理得，解得，‎ 又因为，所以；‎ 综上，，所以实数的取值范围是．‎ 点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，着重考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，试题有一定难度，属于难题．‎ ‎12．若不等式（﹣1）n•a＜3对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论．‎ 详解：当为奇数时，不等式可化为，即，‎ 要使得不等式对任意自然数恒成立，则，‎ 当为偶数时，不等式可化为，‎ 要使得不等式对任意自然数恒成立，则，即，‎ 综上，．‎ 点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力．‎ ‎13．若曲线上存在某点处的切线斜率不大于，则正实数a的最小值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求得函数的导数，把使存在某点处的切线斜率不大于，转化为不等式有解，再利用基本不等式，即可求解．‎ 详解：由函数，‎ 则，‎ 要使存在某点处的切线斜率不大于，即，‎ 即不等式有解，‎ 又，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以，即，解得，解得．‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，不等式的有解问题，其中解答中把使存在某点处的切线斜率不大于，转化为不等式有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎14．已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解，进而转化为与在在上有两个解，利用函数的性质即可求解．‎ 详解：由，则，‎ 所以函数是偶函数，‎ 所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，‎ 即在上有两个解，转化为与在在上有两个解，‎ 又由，当时，，函数为单调递增函数，‎ 当时，，函数为单调递减函数，‎ 所以当时，函数有最大值，‎ 要使得与在在上有两个解，则，即．‎ 点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．‎ 二、解答题 ‎15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}‎ ‎（1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值；‎ ‎（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)m=1;(2)m＞4或m＜﹣2．‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，求得集合，根据，列出方程即可求解实数的值；‎ ‎（2）由（1）中，求得，列出方程，即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}， ‎ B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}，A∩B=[1，3]，‎ ‎∴m﹣1=1，解得m=2，此时B={x|1≤x≤3}，成立，‎ 故m=1． ‎ ‎（2）∵∁RB={x|x＜m﹣1或x＞m+1}，A⊆∁RB， ‎ ‎∴m﹣1＞3或m+1＜﹣1，‎ 解得m＞4或m＜﹣2． ‎ 点睛：求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.‎ ‎16．已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．‎ ‎（1）设复数，求|z1|；‎ ‎（2）设复数，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：根据复数的概念及其分类，求解．‎ ‎（1）求得，再根据复数的模的计算公式，即可求解；‎ ‎（2）由（1）可求得，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数的取值范围．‎ 详解：∵z=1+mi，∴．‎ ‎∴．‎ 又∵为纯虚数，‎ ‎∴，解得m=﹣3．‎ ‎∴z=1﹣3i． ‎ ‎（Ⅰ）， ‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵z=1﹣3i，‎ ‎∴． ‎ 又∵复数z2所对应的点在第1象限，‎ ‎∴，． ‎ ‎∴． ‎ 点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．‎ ‎17．设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．‎ ‎（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；‎ ‎（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2)a≤﹣2或.‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，求解真：；真：，即可求解；‎ ‎（2）根据为假，为真，得到 同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）p真，则或得；‎ q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，‎ ‎∴p∧q真，．‎ ‎（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则，⇒a≤﹣2， ‎ 若p真q真，则，⇒ ‎ 综上a≤﹣2或． ‎ 点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎18．已知函数 f（x）=x2﹣|x|+1．‎ ‎（1）求不等式 f（x）≥2x 的解集；‎ ‎（2）若关于 x 的不等式f（x） 在[0，+∞）上恒成立，求 a 的取值范围．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）分类讨论，即可求解不等式的解集；‎ ‎（2）由在上恒成立，即，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，‎ 解得：0≤x≤或x≥， ‎ x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0， ‎ 综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）； ‎ ‎（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），‎ 故x2﹣x+1≥|+a|， ‎ 故 ‎ 解得：﹣≤a≤． ‎ 点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等式恒成立问题的求解，对于不等式的恒成立问题，分类参数是常用的方法，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎19．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．‎ ‎（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；‎ ‎（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.‎ ‎【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；‎ ‎（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．‎ 详解：（1）S扇=R2θ，S△OBD=R2sinθ，‎ S弓=f（θ）=R2（θ﹣sinθ），θ∈（0，π）‎ ‎（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；‎ 则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，‎ ‎∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π）， ‎ 设g（θ）=100sinθ+50θ﹣55π，θ∈（0，π）．‎ ‎∴g′（θ）=100cosθ+50 ‎ ‎∴g′（θ）＜0，cosθ＞﹣，g（θ）在θ∈（0，）上为减函数；‎ g′（θ）＞0，cosθ＜﹣，g（θ）在θ∈（，π）上为增函数；‎ 当θ=时，g（θ）取到最大值，此时总利润最大，‎ 此时总利润最大：y=R2（100sinθ+50θ﹣55π）=R2（50﹣π）．‎ ‎（求最值时，如不交代单调性或者列表，扣2分）‎ 答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）‎ 点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线过点．‎ ‎① 求实数的值；‎ ‎② 设函数，当时，试比较与的大小；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，（），求证：．‎ ‎【答案】(1)①;②见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）①求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；‎ ‎②由，设 ，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论．‎ ‎（2）设通过讨论的范围，得到函数的单调性，根据 得到，进而得到，设，得到单调减函数，即可作出证明．‎ 详解：（1）①因为，所以，‎ ‎ 由曲线在处的切点为，‎ 所以在处的切线方程为．‎ 因为切线过点，所以． ‎ ‎②，‎ 由． ‎ 设（），所以，‎ 所以在为减函数．‎ 因为，所以当时，有，则；当时，有，则；‎ 当时，有，则． ‎ ‎（2）由题意，有两个不等实根，（）．‎ 设，则（），‎ 当时，，所以在上是增函数，不符合题意；‎ 当时，由，得，‎ 列表如下：‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 由题意， ‎ ‎，解得，所以，‎ 因为，所以． ‎ 因为，所以，‎ 所以（）．‎ 令（），‎ 因为，所以在上为减函数，‎ 所以，即，‎ 所以，命题得证． ‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎