2017-2018北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

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2017-2018北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

‎ 房山区2018年高考第一次模拟测试试卷 数学(理)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分 (选择题 共分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若集合,,则集合等于 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)已知复数,且复数,在复平面内对应的点关于实轴对称,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)已知实数满足条件,则的最大值是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 开始 S=2S+k k=k+1‎ S=0, k=1‎ 否 是 输出S 结束 (4) 执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断 框内应填入的条件是 ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎(5)下列函数中,与函数的单调性和奇偶性相同的函数是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ‎(A)‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D)‎ ‎(7)“”是“关于的方程无解”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(8)如图,直线与单位圆相切于点,射线从出发,绕着点逆时针旋转,在旋转的过程中,记,经过的单位圆内区域(阴影部分)的面积为,记,则下列判断正确的是 ‎(A)当时,‎ ‎(B)时, 为减函数 ‎(C)对任意,都有 ‎(D)对任意,都有 第二部分 (非选择题 共分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)抛物线的焦点坐标为 . ‎ ‎(10)某班植树小组今年春天计划植树不少于棵,若第一天植树棵,以后每天植树的棵数是前一天的倍,则需要的最少天数等于 .‎ ‎(11)在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为______.‎ ‎(12)已知函数同时满足以下条件:①周期为;②值域为;③.试写出一个满足条件的函数解析式 .‎ ‎(13)四大名著是中国文学史上的经典作品,是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中,甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著均有若干本),要求每人只借阅一本名著,每种名著均有人借阅,且甲只借阅《三国演义》,则不同的借阅方案种数为 .‎ ‎(14)如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且 ,则 .‎ C E D A B 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题分)‎ ‎ 在△中,内角的对边分别为,,,且.‎ ‎(Ⅰ)求角的值; ‎ ‎(Ⅱ)若,,求△的面积.‎ ‎(16)(本小题分)‎ ‎ 年冬,北京雾霾天数明显减少.据环保局统计三个月的空气质量,达到优良的天数超过天,重度污染的天数仅有天.主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施,如:①减少机动车尾气排放;②‎ 实施了煤改电或煤改气工程;③关停了大量的排污企业;④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况,从某乡镇随机抽取户,进行月均用气量调查,得到的用气量数据(单位:千立方米)均在区间内,将数据按区间列表如下:‎ 分组 频数 频率 合计 ‎(Ⅰ)求表中,的值,若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,估计该乡镇每户月平均用气量;‎ ‎(Ⅱ)从用气量在区间和区间的用户中任选户,进行燃气使用的满意度调查,求这户用气量处于不同区间的概率;‎ ‎(Ⅲ)若将频率看成概率,从该乡镇中任意选出了户,用表示用气量在区间内的户数,求的分布列和期望.‎ ‎(17)(本小题分)‎ P A B C D E 如图,四棱锥中,△是以为斜边的等腰直角三角形,,=,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若为中点,求与面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)由顶点沿棱锥侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为.求该最短路线的长及的值.‎ (18) ‎(本小题分)‎ ‎ 已知椭圆:过点,离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点作斜率为的直线,与椭圆交于,两点,若线段的垂直平分线交轴于点,求证:为定值.‎ (19) ‎(本小题分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,‎ ‎(i)求在处的切线方程;‎ ‎(ii)设,求函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ (20) ‎(本小题分)‎ ‎ 已知有穷数列数列中各项都是集合的元素,则称该数列为数列.对于数列,定义如下操作过程:中任取两项,将的值添在的最后,然后删除这样得到一个项的新数列 (约定:一个数也视作数列).若还是数列,可继续实施操作过程,得到的新数列记作,…,如此经过次操作后得到的新数列记作.‎ ‎(Ⅰ)设请写出的所有可能的结果;‎ ‎(Ⅱ)求证:对于一个项的数列操作总可以进行次;‎ ‎(Ⅲ)设,求的可能结果,并说明理由.‎ ‎ ‎ 房山区2018年高考第一次模拟测试试卷 数学(理)‎ 参考答案 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ 答案 A B C B D D A C 二、 填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ (9) ‎ (10) (11) (12) 或 或其它满足条件的结果。‎ ‎ (13) (14) ‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题分)‎ ‎(Ⅰ)解:由已知得 , ‎ ‎ 即 . ‎ 解得 ,或. ‎ 因为 ,故舍去. ‎ 所以 . …………6分 ‎ ‎(Ⅱ)解:由余弦定理得 . ‎ 将,代入上式,整理得.‎ 因为 , ‎ 所以 . ‎ 所以 △的面积. …………13分 解:(Ⅰ),‎ ‎ 估计该村每户平均用气量为 ‎ …………4分 ‎(Ⅱ)设“这3户用气量处于不同区间”,则 ‎ …………7分 ‎(Ⅲ)的可能取值为,,,,则 所以的分布列为 或,所以 …………13分 ‎(17)证明:证明:(Ⅰ) 由题, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………5分 ‎ ‎(Ⅱ)法1:由(Ⅰ)知 以点O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示 C()P(0,0,1), D(0,1,0) B() E(0,,)‎ P A B C D E O x y z ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 ‎ …………10分 ‎ ‎ P A B C D E x y z ‎(Ⅱ)法2:以点D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示 C()P(-1,0,1), D(0,0,0) B() E(,0,)‎ ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 P A B C D E x y z ‎ …………10分 法3:‎ 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示 C()P(0,1,1), D(0,2,0) B() E(0,,)‎ ‎,‎ 设面PBC的法向量 设CE与面PBC所成角为 ‎ …………10分 ‎(Ⅲ)‎ 将侧面PCD绕着PD旋转,使其与侧面PAD共面,点C运动到C’,连接AC’交PD于E,‎ 则AC’为最短路线 ‎ …………14分 ‎(18)(Ⅰ)根据题意 ‎ 解得:‎ 所以椭圆的方程为 …………… 5分 ‎(Ⅱ)设直线的方程为 由 得 ‎ 由得且 ‎ 设,线段中点 那么,‎ ‎ ‎ 设,根据题意 所以,得 所以 ‎ ‎ ‎=‎ 所以为定值 ………………… 14分 ‎(19) (Ⅰ)解:,,,.‎ ‎.‎ 故所求切线方程为:‎ ‎(Ⅱ) 解:,函数定义域为:‎ ‎,‎ 故的极小值为,无极大值.‎ ‎(Ⅲ)解法1:令,解得:(显然)‎ 问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点. ‎ 由(Ⅱ)可知:,,,解得:‎ 故实数a的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)解法2: ‎ ‎(1) 时,上是减函数,不能有两个零点;‎ ‎(2)时,,所以恒成立,所以上是减函数,不能有两个零点;‎ ‎(3)时,令 变化情况如下表:‎ ‎(i)时,即,上是增函数,所以不能有两个零点;‎ ‎(ii)时,上是减函数,上是增函数. 所以若有两个零点只需:‎ ‎ 即: 解得 所以 综上可知的范围是 ‎20.解:(Ⅰ)有如下的三种可能结果: ……………………3分 ‎(Ⅱ),有 且 所以,即每次操作后新数列仍是数列.‎ 又由于每次操作中都是增加一项,删除两项,所以对数列每操作一次,项数就减少一项,所以对项的数列可进行次操作(最后只剩下一项) ……………………6分 ‎(Ⅲ)由(Ⅱ)可知中仅有一项.‎ 对于满足的实数定义运算:,下面证明这种运算满足交换律和结合律。‎ 因为,且,所以,即该运算满足交换律;‎ 因为 且 ‎ 所以,即该运算满足结合律.‎ 所以中的项与实施的具体操作过程无关 ………………..….11分 选择如下操作过程求: ‎ 由(Ⅰ)可知;‎ 易知;;;;‎ 所以;‎ 易知经过4次操作后剩下一项为.‎ 综上可知: . ....................13分
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