四川省遂宁二中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

四川省遂宁二中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

遂宁二中高 2020 届 2018—2019 学年度第二期半期考试数学试题（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求. 1．已知命题 p： ， .则 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】p： ， .则 : . 2．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB 的中点 C 的横坐 标为 ，则|AB|＝(　　) A． B． C． 5 D． 【答案】D【解析】由题意得 p＝2，∴ ．选 D． 3．下列说法正确的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”是真命题 B. 命题“若 ，则 ”的逆命题是“若 ，则 ” C. 命题“已知 ，若 ，则 或 ”是真命题 D. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” 【答案】C【解析】对于 A，若 ，则 ，所以 A 不正确． 0 0x∃ > 0ln 0x < p¬ 2 1x = 1x = ± 0 0x∃ > 0ln 0x < p¬ 0x∀ ≤ ln 0x ≥ 0x∀ > ln 0x ≥ 0 0x∃ > 0ln 0x ≥ 0 0x∃ ≤ 0ln 0x < 5 3 13 3 14 3 16 3 10 1623 3A BAB x x p= + + = + = 2 1x = 1x = 2 5 6 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 5 6 0x x− + ≠ ,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠ 2x = 2 5 6 0x x− + = 2x = 2 5 6 0x x− + ≠ 对于 B，命题“若 x2-5x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x 2-5x+6≠0”，所以 B 不正 确． 对于 C，命题“已知 ，若 ，则 或 ”的逆否命题是“已知 ，若 ，则 ”为真命题，所以 C 正确． 对于 D，命题“若 x=2，则 x 2-5x+6=0”的否命题是“若 x≠2，则 x 2-5x+6≠0”，所以 D 不正 确． 本题选择 C 选项. 4．执行如图的程序框图，若输出的 ，则输出 的值可以为( ) A． B． C. D． 【答案】C 【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S=48 时，由题意，此时应该满足条件 n=10＞k，退出循环，输 出 S 的值为 48，故应有：7＜k＜10． 解：模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1，不满足条件 n＞k；n=4，S=6， 不满足条件 n＞k；n=7，S=19，不满足条件 n＞k；n=10，S=48，由题意， 此时应该满足条件 n=10＞k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7＜ k＜10。故选：C． 考点：程序框图． 5.若在 所围区域内随机取一点，则该点落在 所围区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 表示的区域是单位圆及其内部（即圆面）， 表示的区 域是边长为 的正方形，故所求概率为： 。故选 B。 考点：几何概型． ,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠ ,x y R∈ 2 1x y= =且 3x y+ = 48=S k 4 6 8 10 2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤ 1 π 2 π 1 2π 11 π− 2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤ 2 2 2 2 2=1π π× （ ） 6.设不重合的两条直线 、 和三个平面 、 、 给出下面四个命题： （1） （2） （3） （4） 其中正确的命题个数是（ ） A． B． C. D． 【答案】B 【解析】 时，有可能 ，A 错； ，而 所以 ， 又 ，所以 ，B 对；由两平面平行定义知，C 对; 时， 、 有可能相交，D 错；因此选 B. 7．如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，两式相减，化简 得： ，即直线 的斜率为 ，所以，这条弦所在的 直线方程是： ，即 ，故选 D。 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两 个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. [答案]　C [解析]该几何体是由半径为 3，高为 3 的半个圆柱去掉 半径为 1，高为 3 的半个圆柱后剩下的几何体。其表面积 为： S= m n α β γ βαβα ∥∥∥ nnmnm ,, ⇒= ααββα ∥mmm ⇒⊄⊥⊥ ,, ,m mα β α β⊂ ⇒∥ ∥ γβγαβα ∥⇒⊥⊥ , 1 2 3 4 2 2 136 9 x y+ = 2 0x y− = 2 4 0x y+ − = 2 3 12 0x y+ − = 2 8 0x y+ − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1 1 2 21 136 9 36 9 x y x y+ = + =， 1 2 1 2 1 2 1 2 9( ) 9 8 1 36( ) 36 4 2 y y x x x x y y − + ×= − = − = −− + × AB 1 2- 12 ( 4)2y x− = − − 2 8 0x y+ − = 17 12π + 12 12π + 20 12π + 16 12π + 2 21 12 3 3 2 1 3 2 3 2 (3 1 ) 20 122 2 π π π π× × × + × × × + × × + − = + 故选 C。 9、(2009·陕西·理 9)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数 字的四位数的个数为(　　) A．300 B．216 C．180 D．162 [答案]　C [解析]　本小题主要考查排列组合的基础知识． 由题意知可分为两类， (1)选“0”，共有 C23C12C13A33＝108， (2)不选“0”，共有 C23A44＝72， ∴由分类加法计数原理得 72＋108＝180，故选 C. 10. 已知函数 ，点 是函数 图象上的任意一点，其中 ，记 的面积为 ，则 的图象可能是( ) 【答案】A 【解析】 ，所以 ，所以选 A. 11．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则实数 的 取值范围是( ) A． B． C. D． 【答案】C ( ) sin , (0,2 )f x x x π= Î ( , )P x y ( )f x (0 0), (2 ,0),O A π ΔOAP ( )g x / ( )g x xxxf 3)( 3 −= ),2( tM )(xfy = t )2,6( −− )2,4( −− )2,6(− )2,0( 【解析】设切点为 ,则方程 , 有三解, 令 ,则 ,因此 ,选 C. 12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点出的切线 的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．要求曲线上某点的切线方程，需要到两个 量，一个是切点，一个是切线的斜率，分别求得切点和斜率，然后根据点斜式可写出切线方 程． 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在题后横线上. 13．(21010·四川理，13) 的展开式中的第四项是________． [答案]　－160 x [解析]　(2－ 1 3 x)6 的展开式中第 4 项为 T4＝C3623·(－ 1 3 x )3＝－160 x . 14．已知双曲线 的一条渐近线被圆 C: 截得的线段长为 ，则 __________． 【答案】2 2 1:C y x= ( )2 : 0 xeC y aa = > a ( )01， 2 1 4 e     ， 2 ,24 e     2 ,4 e +∞   6 3 12 )- x （ 2 2 1x y− = 2 2 2( 2) ( 0)x y r r− + = > 2 2 r = 【解析】不妨设双曲线 的一条渐近线为 ，圆心 C 到直线 的距离 为 ，故 ；故答案为 2. 15．函数 ，若 ，则实数 的取值范围是：　 （﹣1，0）　． 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可 以将 f（x2）+f（﹣x）＞0 转化为 ，解可得 x 的取值范围，即可得答 案． 【解答】解：根据题意， 函数 f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数 f（x）为奇函数， 其导数 f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有 f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数 f（x）为 增函数， f（x2）+f（﹣x）＞0⇒f（x2）＞﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒ ， 解可得：﹣1＜x＜0，即 x 的取值范围是（﹣1，0）； 故答案为：（﹣1，0） 16.已知 是双曲线 的右焦点， 是 轴正半轴上一点，以 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 .若点 三点共线，且 的面积是 面积的 7 倍，则双曲线 的离心率为__________. 16． 【解析】由题意结合面积的比值可得： ，且： ，据此可得： ， 将其代入双曲线渐近线方程 可得： ， 设 ，则由 可得： ， 2 2 1 7 PM MF = ( ),0F c 1 1 8 8M Fx x c= = 2 2 1x y− = 0x y− = (2,0) 0x y− = | 2 0 | 2 2 d −= = 2 2( 2) ( 2) 2r = + = 3( ) sin 1 1)-f x x x x= + < <（ 2( ) ( ) 0f x f x+ − > x F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > P y OP M , ,P M F MFO∆ PMO∆ C by xa= 8M bcy a= 0, )P n（ / /PM PF  7 bcn a= 又 ， ，所以 ，结合 可得： . 三、解答题： 17. （本题满分 10 分） 正项等比数列 中， ， 。 (1)求 的通项公式； (2)记 为 的前 项和。若 ，求 。 解：(1)设数列 的公比为 ，∴ ，∴ 。由于 则 ，故 ， ∴数列 的通项公式为： 。（5 分） (2)由(1)知， ， ∴ ∴ 。（10 分） 18．（本题满分 12 分） 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产 能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； (2)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方 程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ 附：线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝ ， ， 其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为y^ ＝b^ x＋a^ . 18．解： (1)由系数公式可知， ＝4.5， ＝3.5， 3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5 2 2 2c a b= + 2 2e = 0OM MP× =  1 1= , ), ( , )8 8 8 56 bc bcOM c MP ca a= - （ 2 2 2 2 1 064 448 b cc a- + = { }na 1 1a = 5 34a a= { }na nS { }na n 63mS = m { }na q 2 5 3 4aq a = = 2q = ± 0,na > 0q > 2q = { }na 12n na −= 1 2 2 11 2 n n nS −= = −− 2 1 63m mS = − = 6m = ∑ ∑ = = − − n i i n i ii xnx yxnyx 1 22 1 xbya −= x y x y 4 1 i i i x y = =å ， ＝66.5－4 × 4.5 × 3.5 86－4 × 4.52 ＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以 线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.(8 分) (2)x＝100 时， ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术 改造前降低 19.65 吨标准煤．.(12 分) 19、（本题满分 12 分） 已知函数 . (1)若 在 有极小值 ，求实数 的值； (2)若 在定义域 R 内单调递增，求实数 的取值范围. 【解析】(1) ，依题意得 ，解得 ，故所 求的实数 .（6 分） (2)由(1)得 .因为 在定义域 R 内单调递增，所以 在 R 上恒成立， 即 恒成立，因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 .（12 分） 20. 如 图 ， 是 的 中 点 ， 四 边 形 是 菱 形 ， 平 面 平 面 ， ， ， . （I）若点 是线段 的中点，证明： 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（I）详见解析；（Ⅱ） 【解析】 4 2 2 2 2 2 1 3 4 5 6 86i i x = = + + + =å bˆ aˆ yˆ yˆ ( ) xf x e ax b= - + ( )f x 2x = 21 e- ,a b ( )f x a / ( ) xf x e a= - / 2 2 2 (2) 0 (2) 2 1 f e a f e a b e ì = - =ïí = - + = -ïî 2 1 a e b ìï =í =ïî 2 , 1a e b= = / ( ) xf x e a= - ( )f x / ( ) 0xf x e a= - ³ ,xa e x R£ Î , (0, )xx R eÎ Î +¥ 0a £ a ( ,0]- ¥ D AC BDEF BDEF ⊥ ABC 60FBD∠ =  AB BC⊥ 2AB BC= = M BF BF ⊥ AMC AEF BCF 1 7 21. （本题满分 12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率 ，点 在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设过点 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于 、 两点，线段 的垂直平分线与轴交 于点 ，求点 的横坐标的取值范围； （3）在第（2）问的条件下，求 面积的最大值. 解析：（1）因为点 在椭圆 E 上，所以 。 ，解 得 椭圆 E 的方程为 。 （2）设直线 的方程为 ， 代入 ，整理得 . 直线 过椭圆的右焦点 ， 方程有两个不等实根. 记 ， 中点 ， 则 ， ， ， 垂直平分线 的方程为 . 令 ，得 . ， . 的取值范围为 . (0,1)D 1b = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 c a b ae a a a - -= = = = 2a = 2 2 12 x y+ = 22．已知函数 f（x）=px﹣ ﹣2lnx． （Ⅰ）若 p=2，求曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数 f（x）在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围； （Ⅲ）设函数 g（x）= （e 为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点 x0，使得 f （x0）＞g（x0）成立，求实数 p 的取值范围． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（I）求出函数在 x=1 处的值，求出导函数，求出导函数在 x=1 处的值即切线的斜率， 利用点斜式求出切线的方程． （II）求出函数的导函数，令导函数大于等于 0 恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴， 求出二次函数的最小值，令最小值大于等于 0，求出 p 的范围． （III）通过 g（x）的单调性，求出 g（x）的最小值，通过对 p 的讨论，求出 f（x）的最大 值，令最大值大于等于 g（x）的最小值求出 p 的范围． 【解答】解：（I）当 p=2 时，函数 f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0， f′（x）=2+ ﹣ ，曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 f'（1）=2+2﹣2=2． 从而曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y﹣0=2（x﹣1） 即 y=2x﹣2． （II）f′（x）=p+ ﹣ = ， 令 h（x）=px2﹣2x+p， 要使 f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数， 只需 h（x）≥0 在（0，+∞）内恒成立， 由题意 p＞0，h（x）=px2﹣2x+p 的图象为开口向上的抛物线， 对称轴方程为 x= ∈（0，+∞）， ∴h（x）min=p﹣ ，只需 p﹣ ≥0， 即 p≥1 时，h（x）≥0，f'（x）≥0 ∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数 p 的取值范围是[1，+∞）． （III）∵g（x）= 在[1，e]上是减函数， ∴x=e 时，g（x）min=2；x=1 时，g（x）max=2e， 即 g（x）∈[2，2e]， 当 p＜0 时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线， 对称轴 x= 在 y 轴的左侧，且 h（0）＜0， 所以 f（x）在 x∈[1，e]内是减函数． 当 p=0 时，h（x）=﹣2x，因为 x∈[1，e]，所以 h（x）＜0， f′（x）=﹣ ＜0，此时，f（x）在 x∈[1，e]内是减函数． ∴当 p≤0 时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意； 当 0＜p＜1 时，由 x∈[1，e]⇒x﹣ ≥0，所以 f（x）=p（x﹣ ）﹣2lnx≤x﹣ ﹣2lnx． 又由（2）知当 p=1 时，f（x）在[1，e]上是增函数， ∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合题意； 当 p≥1 时，由（2）知 f（x）在[1，e]上是增函数， f（1）=0＜2，又 g（x）在[1，e]上是减函数， 故只需 f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]， 而 f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2， 即 p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得 p＞ ， 综上所述，实数 p 的取值范围是（ ，+∞）． 　 遂宁二中高 2020 届 2018—2019 学年度第二期半期考试 数学试题（理科）参考解答 1．【答案】B 【解析】p： ， .则 : . 2．【答案】D【解析】由题意得 p＝2，∴ ．选 D． 3．【答案】C【解析】对于 A，若 ，则 ，所以 A 不正确． 对于 B，命题“若 x2-5x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2-5x+6≠0”，所以 B 不正 确． 对于 C，命题“已知 ，若 ，则 或 ”的逆否命题是“已知 ，若 ，则 ”为真命题，所以 C 正确． 对于 D，命题“若 x=2，则 x 2-5x+6=0”的否命题是“若 x≠2，则 x 2-5x+6≠0”，所以 D 不正 确．选 C 4．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1，不满足条件 n＞k；n=4，S=6， 不满足条件 n＞k；n=7，S=19，不满足条件 n＞k；n=10，S=48，由题意，此时应该满足条 件 n=10＞k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7＜k＜10。故选：C． 5.【答案】B【解析】 表示的区域是单位圆及其内部（即圆面）， 表示 的区域是边长为 的正方形，故所求概率为： 。故选 B。 6.【答案】B【解析】 时，有可能 ，A 错； ，而 所以 ，又 ，所以 ，B 对；由两平面平行定义知，C 对; 时， 、 有可能相交，D 错；因此选 B. 0 0x∃ > 0ln 0x < p¬ 2 1x = 1x = ± ,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠ ,x y R∈ 2 1x y= =且 3x y+ = 10 1623 3A BAB x x p= + + = + = 2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤ 2 2 2 2 2=1π π× （ ） 7．【答案】D【解析】设 ，则 ，两式相减，化 简得： ，即直线 的斜率为 ，所以，这条弦所在的 直线方程是： ，即 ，故选 D。 8.[答案]　C[解析]该几何体是由半径为 3，高为 3 的半个圆柱去掉半径为 1，高为 3 的半个 圆 柱 后 剩 下 的 几 何 体 。 其 表 面 积 为 ： S= 。故选 C。 9、[答案]　C[解析]　由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有 C23C12C13A33＝108，(2)不选“0”， 共有 C23A44＝72， ∴由分类加法计数原理得 72＋108＝180，故选 C. 10. 【答案】A【解析】 ，所以 ，所以选 A. 11 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 设 切 点 为 , 则 方 程 , 有 三 解 , 令 , 则 , 因 此 ,选 C. 13．[答案]　－160 x [解析]　(2－ 1 3 x)6 的展开式中第 4 项为 T4＝C3623·(－ 1 3 x )3＝－160 x . 14．【答案】2【解析】不妨设双曲线 的一条渐近线为 ，圆心 C 到直线 的距离为 ，故 ；故答案为 2. 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 1 1 2 21 136 9 36 9 x y x y+ = + =， 1 2 1 2 1 2 1 2 9( ) 9 8 1 36( ) 36 4 2 y y x x x x y y − + ×= − = − = −− + × AB 1 2- 12 ( 4)2y x− = − − 2 8 0x y+ − = 2 21 12 3 3 2 1 3 2 3 2 (3 1 ) 20 122 2 π π π π× × × + × × × + × × + − = + 2 2 1x y− = 0x y− = (2,0) 0x y− = | 2 0| 2 2 d −= = 2 2( 2) ( 2) 2r = + = 15．【答案】（﹣1，0）【解析】根据题意，函数 f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin （﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数 f（x）为奇函数，其导数 f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1 ＜x＜1，则有 f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数 f（x）为增函数，f（x2）+f（﹣x）＞0⇒f（x2）＞ ﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒ ， 解可得：﹣1＜x＜0，即 x 的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0） 16. 【答案】 【解析】由题意结合面积的比值可得： ，且： ，据 此可得： ， 将其代入双曲线渐近线方程 可得： ， 设 ，则由 可得： ，又 ， ， 所以 ，结合 可得： . 17. 解：(1)设数列 的公比为 ，∴ ，∴ 。由于 则 ， 故 ， ∴数列 的通项公式为： 。（5 分） (2)由(1)知， ， ∴ ∴ 。（10 分） 18．解： (1)由系数公式可知， ＝4.5， ＝3.5， 3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5 ， ＝66.5－4 × 4.5 × 3.5 86－4 × 4.52 ＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝0.35，所以 线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.(8 分) (2)x＝100 时， ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术 改造前降低 19.65 吨标准煤．.(12 分) 19、【解析】(1) ，依题意得 ，解得 ，故所 求的实数 .（6 分） 2 2 1 7 PM MF = ( ),0F c 1 1 8 8M Fx x c= = 2 2 2c a b= + 2 2e = by xa= 8M bcy a= 0, )P n（ / /PM PF  7 bcn a= 0OM MP× =  1 1= , ), ( , )8 8 8 56 bc bcOM c MP ca a= - （ 2 2 2 2 1 064 448 b cc a- + = { }na q 2 5 3 4aq a = = 2q = ± 0,na > 0q > 2q = { }na 12n na −= 1 2 2 11 2 n n nS −= = −− 2 1 63m mS = − = 6m = x y 4 1 i i i x y = =å 4 2 2 2 2 2 1 3 4 5 6 86i i x = = + + + =å bˆ aˆ yˆ yˆ / ( ) xf x e a= - / 2 2 2 (2) 0 (2) 2 1 f e a f e a b e ì = - =ïí = - + = -ïî 2 1 a e b ìï =í =ïî 2, 1a e b= = (2)由(1)得 .因为 在定义域 R 内单调递增，所以 在 R 上恒成立， 即 恒成立，因为 ，所以 ，所以实数的取值范围为 .（12 分） 20. 21. 解析：（1）因为点 在椭圆 E 上，所以 。 ， 解得 椭圆 E 的方程为 。…………………4 分 （2）设直线 的方程为 ， / ( ) xf x e a= - ( )f x / ( ) 0xf x e a= - ³ ,xa e x R£ Î , (0, )xx R eÎ Î +¥ 0a £ ( , 0]- ¥ (0,1)D 1b= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 c a b ae a a a - -= = = = 2a = 2 2 12 x y+ = 代入 ，整理得 . 直线 过椭圆的右焦点 ， 方程有两个不等实根. 记 ， 中点 ， 则 ， ， ， 垂直平分线 的方程为 . 令 ，得 . ， . 的取值范围为 . …………………8 分 …………………12 分 22．【解答】（I）当 p=2 时，函数 f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0， f′（x）=2+ ﹣ ，曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 f'（1）=2+2﹣2=2． 从而曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y﹣0=2（x﹣1） 即 y=2x﹣2． …………………4 分 （II）f′（x）=p+ ﹣ = ， 令 h（x）=px2﹣2x+p，要使 f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数， 只需 h（x）≥0 在（0，+∞）内恒成立， 由题意 p＞0，h（x）=px2﹣2x+p 的图象为开口向上的抛物线， 对称轴方程为 x= ∈（0，+∞）， ∴h（x）min=p﹣ ，只需 p﹣ ≥0， 即 p≥1 时，h（x）≥0，f'（x）≥0 ∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数 p 的取值范围是[1，+∞）． …………………8 分 （III）∵g（x）= 在[1，e]上是减函数， ∴x=e 时，g（x）min=2；x=1 时，g（x）max=2e， 即 g（x）∈[2，2e]， 当 p＜0 时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线， 对称轴 x= 在 y 轴的左侧，且 h（0）＜0， 所以 f（x）在 x∈[1，e]内是减函数． 当 p=0 时，h（x）=﹣2x，因为 x∈[1，e]，所以 h（x）＜0， f′（x）=﹣ ＜0，此时，f（x）在 x∈[1，e]内是减函数． ∴当 p≤0 时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意； 当 0＜p＜1 时，由 x∈[1，e]⇒x﹣ ≥0，所以 f（x）=p（x﹣ ）﹣2lnx≤x﹣ ﹣2lnx． 又由（2）知当 p=1 时，f（x）在[1，e]上是增函数， ∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合题意； 当 p≥1 时，由（2）知 f（x）在[1，e]上是增函数， f（1）=0＜2，又 g（x）在[1，e]上是减函数， 故只需 f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]， 而 f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2， 即 p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得 p＞ ， 综上所述，实数 p 的取值范围是（ ，+∞）．…………………12 分