中学生标准学术能力诊断性测试（11月）试卷 文科数学（PDF版）

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第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 11 月测试 文科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U = R ，集合 1{|0} xAxx −=， {|lg(31)}Bxyx==− ，则 ()UAB= A． (0,1] B． 1(0 , ]3 C． 1( ,1]3 D． 1( , ] 3− 2．已知 a  R ，复数 2i 3i az −= + （i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则 a = A． 2 3 B． 2 3− C． 6 D． 6− 3．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取 25 名职工进行 问卷调查，若采用分层抽样方法，则 40 ～ 50 岁年龄段应抽取的人数是 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 4．下列函数中，在区间 (0,)+ 上单调递增的是 A． 3 xy −= B． 0.5logyx= C． 2 1y x= D． 1 2 xy x += + 5．已知抛物线 2 4yx= 的焦点为 F ，直线 l 过点 与抛物线交于 A 、 B 两点，若||3||AFBF= ，则 ||AB = A． 4 B． 9 2 C． 13 2 D． 16 3 6．已知 π 1tan( )43 − = − ，则 πsin(2 ) 2sin(π )cos(π )2  + − − + = A． 7 5 B． 1 5 C． 1 5− D． 31 25 7．设变量 x 、 y 满足约束条件 20 2 4 0 2 4 0 xy xy xy + −   − +   − −  ，且 zkxy=+的最大值为12 ，则实数 k 的值为 A． 2− B． 3− C． 2 D．3 8．在△ ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，若 1a = ， 23c = ， πsinsin() 3bAaB =−，则 sin C = A． 3 7 B． 21 7 C． 21 12 D． 57 19 9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1 ，则该三棱锥外 接球的表面积为 A． 27 π B． 28 π C． 29 π D． 30 π 10．函数 ||13c os e 6 xyx=−的大致图象是 11.已知双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab−= 的右焦点为 F ，直线 :3lyx = 与 C 交于 A , B 两点， AF , BF 的中点分别为 M , N ，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为 A． 33− B． 2 3 1 − C． 32+ D． 31+ 12.在△ 中， 8AB = , 6AC = , 60A= , 为△ 的外心，若 AMABAC=+ , , R ， 则 43+= A． 3 4 B． 5 3 C． 7 3 D． 8 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 {}na 为等比数列，若 3 3a = , 5 12a = ，则 7a = ． 14．若函数 ( ) 2cos(2 ) cos2 (0) 2f xxx =++  的图象过点 (0,1)M ，则 ()fx的值域为 ． 15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 广泛的应用，其定义为： 1 ,(,,) () 0,0,1[0,1] qqxp qpppRx x  ==   = 当 都是正整数 是既约真分数 当 或 上的无理数 ，若函数 ()fx是定义 在 R 上的奇函数，且对 任 意 x 都有 (2 ) ( ) 0f x f x− + = ，当 [0,1]x 时， ( ) ( )f x R x= ，则 18()(lg30)5ff+= ． 16．如图，正方体 1111ABCDABCD− 的棱长为 a ，E 、F 、G 分别是 1DD 、AB 、 BC 的中点，过点 E 、 F 、 G 的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几 何体的体积为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）某学校为了解学生假期参与志愿服务活动 的情况，随机调查了 30 名男生，30 名女生，得到他 们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单 位：人）： （1）能否有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过 1 小时与性别有关？ （2）以这 60 名学生参与志愿服务活动时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校 学生中随机抽查 10 名学生，试估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人 数． 附： 2()PKk  0.050 0.010 0.001 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + k 3.841 6.635 10.828 18．（12 分）已知数列 {}na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ，且 3 5a = ， 4237Sa−=；数列 {}nb 为等 比数列，且 12ba= ， 49bS= ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）若 n n n ac b= ，设数列{}nc 的前n项和为 nT ，求证： 1 13 nT． 19．（12 分）如图，已知四边形 ABCD 为梯形， //AB CD ， 90CB A =  ， 四边形 ACFE 为矩形， 且 平 面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ，又 ABBCCFa=== ， 2CD a= ． （1）求证： D E B F⊥ ； （2）求点 E 到平面 B D F 的距离． 20．（12 分）已知点 5(2 , )3M 在椭圆 22 22:1(0)xyEabab+= 上， 1A , 2A 分别为 E 的左、右顶点，直 线 1AM 与 2AM的斜率之积为 5 9− , F 为椭圆的右焦点，直线 9: 2lx= ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 m 过点 且与椭圆 交于 B , C 两点，直线 2BA 、 2CA 分别与直线 l 交于 P , Q 两点．试 问：以 PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由． 21．（12 分）已知函数 ()ln(1)1fxxxaxx=−−− ， a  R ． （1）当 1a =− 时，求曲线 ()y f x= 在点 (1, (1))Mf 处的切线方程； （2）当 1a  时，求证：函数 ()()1gxfx =+恰有两个零点． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22． [选修 4—4：坐标系与参数方程选讲]（10 分） 以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 是 6sin4cos=+ ，直线 l 的参数方程是 4cos 3sin xt yt   =+  =+ ，（ t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于 M 、 N 两点，且| | 4 3MN = ，求直线 的倾斜角  ． 23． [选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 3 1| | 3 2 |f x x x= + − + 的最大值为 m , ,,abc均为正实数，且 a b c m++= ． （1）求证： 1 1 1 9abc+ +  ； （2）求证： 3abc+ +  ． 超过 1 小时 不超过 1 小时 男 22 8 女 14 16 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 11 月测试 文科数学（一卷）答案 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C D D A C B C A D C 二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 48 14. 3[ 3, ]2− 15. 1 5− 16. 3119 144 a 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17.（12 分） 解：（1）作出列联表如下（单位：人）： 超过 1 小时 不超过 1 小时 合计 男 22 8 30 女 14 16 30 合计 36 24 60 ………………………………2 分 则 2 2 60(2216148)40 4.44362430309K −==  ， ………………………………4 分 所以 2 3.841K  ， ………………………………5 分 所以有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时与性别有关. …6 分 （2）根据以上数据，学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的概率为： 363 605p ==， ………………………………8 分 故估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人数为： 3 10 65 =（人）. ………………………………12 分 第2页 共 5 页 18.（12 分） 解：（1）设等差数列 {}na 的公差为 d ，等比数列 {}nb 的公比为 q ， 由 3 5a = ， 4237Sa−=，可得， 1 11 25 4343()7 2 ad adad += +−+= ， …………………………2 分 解得： 1 1 2 a d =  = ，所以 21nan=−. ……………………………4 分 所以， 1 3b = ， 4 81b = ，故 3 4 1 27bq b== ， 3q = ， 3n nb = . …………………………6 分 （2）由（1）可得， 21 3 n n n n a nc b −== ， 则 123 1111135(21)3333n nTn=++++− ，① 2341 111111135(23)(21)333333n nnTnn +=++++−+− ，② ①-②得， 12341 211111112222(21)3333333n nnTn+= + + + ++ −−  ，……………8 分 所以 21 11 11(1)21122(1) 332[](21) 133333 1 3 n n nn nTn − ++ − +=+−−=− − ， 所以 11 3n n nT +=− ， …………………………10 分 因为 n  N ，所以 1 03n n +  ， 1113n n nT +=− ， …………………………11 分 又 0nc  ，所以 1 211 33nTT=−= ，所以 1 13 nT. …………………………12 分 19.（12 分） 证明：（1）因为 ACFE 为矩形，AEAC⊥ ，且平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ， 平面 ACFE 平面 ABCDAC= ， 所以 AE ⊥ 平面 ， 同理CF ⊥ 平面 ，故 90DCFBCFBAEDAE= = = =  ， 则在 Rt △ DCF 中， 5DFa= ，在 △ BCF 中， 2BF a= ，在 △ ABE 中， 2BE a= . ………………………1 分 第 19 题 第3页 共 5 页 在梯形 ABCD 中， 90CB A =  ， AB BC a==， 2CD a= ， 所以 5B D a= ， 2AD a= ， 2AC a= ，所以在 Rt △ DAE 中， 3D E a= .…………2 分 所以在△ D B E 中， ， 2B E a= ， ，可知 222BDBEDE=+， 故 90DEB =  ，即 D E B E⊥ ； ………………………4 分 在△ DEF 中， 5D F a= ， ， 2EF AC a== ，可知 2 2 2DF DE EF=+， 故 90DEF =  ，即 D E E F⊥ ． ………………………5 分 又 BE EF E= ，所以 DE ⊥ 平面 BEF ． 又 BF  平面 ，所以 D E B F⊥ . ………………………6 分 （2）在△ BEF 中， 2BEBFEFa=== ， 则 2233(2)42BEFSaa == . 由（1）知， 平面 ，故三棱锥 D B E F− 的体积为: 231131 33322D BEFBEFVDESaaa−=== . ……………………………8 分 在△ B D F 中， 5BDDFa== ， 2BFa= ，则在等腰△ 中，底边 BF 上的高为： 22232(5)() 22aaa−=，则 21323 2222BDFSaaa == . ………………………10 分 设点 E 到平面 BDF 的距离为 h ，故三棱锥 E BDF− 的体积为: 213 32E BDFV h a− =   ， 根据 DBEFEBDFVV−−= ，可得 23131 322haa= ，则 ha= ， 所以点 到平面 的距离为 a ． ……………………………12 分 20.（12 分） 解：（1）由题意可知 1( ,0)Aa− ， 2 (,0)Aa ，则 12 2 55 25 533 2 2 9(4 ) 9A M A Mkk a a a =  = = −+ − − ， 所以 22 2 425 1,9 255 ,9(4)9 ab a  +=  =− − 解得： 3, 5, a b = = ……………………………2 分 所以椭圆 的方程为 22 195 xy+=． ……………………………3 分 E 第4页 共 5 页 （2）由（1）可知， (2 ,0 )F ， 当直线 m 斜率不存在时，易知 5(2 , )3B ， 5(2 , ) 3C − ， 95( , )22P − ， 95( , )22Q ， 以 PQ 为直径的圆的方程为： 22925()24xy−+= ，此时圆过点 (2 ,0 )F ， (7,0 )R . ………4 分 下面证明以 为直径的圆过定点 ， . 当直线 斜率存在时，设 :(2)(0)mykxk=− ， 11( , )B x y ， 22( , )C x y ， 联立 22 195 ( 2 ) xy y k x  +=  =− ，可得 2222(59)3636450kxkxk+−+−= ， 则 2 12 2 36 59 kxx k+=+ ， 2 12 2 3 6 4 5 59 kxx k −= + . ……………………………5 分 直线 1 2 1 :(3) 3 yBAyx x=−− ，令 9 2x = ，得 1 1 39( , )2 2( 3 ) yP x − ，同理可得 2 2 39( , )2 2( 3 ) yQ x − .…6 分 那么 1 1 35(,)22(3) yFP x= − ， 2 2 35(,)22(3) yFQ x= − ， ……………………………7 分 则 22 1 2121 212 12121 212 99 (2)(2)9 [2() 4]252525 4 4(3)(3)44(3)(3)44[3() 9] y yk xxk x xx xFP FQ xxxxx xx x −−−++=+=+=+ −−−−−++ ， （*） 将 ， 代入（*）式， 得 22 2 222 22 2 22 3645 2 369 (4)2525 9 ( 25) 25 255 95 9 03645 3 36444 9444(9)5 95 9 kkk kkkFP FQ kk k kk −−+ −++=+=+=−= − −+++ ，………11 分 故 FPFQ⊥ ，所以点 在以 为直径的圆上， 同理，点 也在以 为直径的圆上. 综上可知，以 为直径的圆过定点 ， ． …………………………12 分 21.（12 分） 解：（1）当 1a =− 时， 2( ) ln 1f x x x x x= + − − ， (1) 1f =− ， …………………………1 分 ( ) ln 1 2 1 ln 2f x x x x x = + + − = + ，故 (1) 2f  = ， …………………………2 分 故所求切线的方程为： 1 2( 1)yx+ = − ，即 2 3 0xy− − = ． …………………………3 分 （2） ( ) ln ( 1) [ln ( 1)]g x x x ax x x x a x= − − = − − ， 0x  ， 第5页 共 5 页 因为 0x  ，所以只需证明在已知条件下， ()ln(1)hxxax=−− 恰有两个零点即可. 由 ()ln(1)hxxax=−− ，则 1()1() ax ahxa xx −  =−=− ， ……………………………4 分 当 1(0 , )x a 时， ( ) 0hx  ；当 1( , )x a + 时， ( ) 0hx  . 所以 ()hx 在区间 1(0 , )a 内单调递增，在区间 1( , )a + 内单调递减，………………………5 分 因为 1a  ，故 101a，所以 1( ) ( 1 ) 0hha =， …………………………6 分 记 ()e(0) xrxxx =− ，则 ( ) e 1 0 xrx = −  ，所以 ( ) e xr x x =−单调递增，故 时， ( ) (1) e 1 0r a r = −  ，即 e0a a−， e1a a，所以 11 e a a ，即 10ea a −， 又 (e)lne(e1)e0aaaahaa−−−−=−−= − ， …………………………9 分 由 1( ) 0h a  , ( e ) 0ah −  ，且 在区间 内单调递增，可得， 存在唯一 0 1(e,)ax a − ，即 0 1(0,)x a ，使得 0()0hx = ， ………………………10 分 又 ()hx 在区间 内单调递减， ( 1 ) 0h = ， 11(,) a+ ， 故 恰有两个零点， 所以， 时，函数 ( ) ( ) 1g x f x=+恰有两个零点. …………………………12 分 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.作答时请写清题号. 22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分） 解：（1）由 6sin 4cos  =+ 可得， 2 6 sin 4 cos    =+， ………………………2 分 则 2264xyyx+=+ ，即 22(2)(3)13xy−+−= . …………………………4 分 （2）将 4cos, 3sin xt yt   =+  =+ 代入 ，可得， 22(2 cos ) ( sin ) 13tt+ + = ，化简得： 2 4 cos90tt+−= ， …………………………6 分 设 M 、 N 两点所对应的参数分别为 1t ， 2t ， 则 12 12 4cos , 9, tt tt + = −  =− 第6页 共 5 页 由 22 12121 2||||()416cos36=43MNttttt t =−=+−=+ ， …………………………8 分 所以 3c o s = 2  ， 又 [0 , π )  ，故 π 6 = 或 5 π 6 = ． …………………………10 分 23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分） 证明： ()| 31|| 32 || 3132 |1fxxxxx=+−++−−= ，故 1m = ， 所以 1abc++=. ………………………2 分 （1） 111 3abcabcabcbacacb abcabcabacbc ++++++++=++=++++++ . …………4 分 因为 0a  ， 0b  ， 0c  ， 所以 2ba ab+， 2ca ac+， 2cb bc+， 所以 6bacacb abacbc+++++ ， …………………………5 分 所以 111 9abc++ （当且仅当 1 3abc=== 时，等号成立）. …………………………6 分 （2） 2()2221 222abca b cabbcacabbcac++= + + +++= +++ ，…7 分 因为 ， ， ， 所以 2 abab+， 2 bcbc+， 2 acac+， 所以 2222()2abbcacabc++++= ， …………………………8 分 所以 2()3abc++ ， 故 3abc+ +  （当且仅当 时，等号成立）.…………………………10 分