2018-2019学年江苏省沭阳县高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省沭阳县高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省沭阳县高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．计算的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据式子的特点，逆用正弦两角和公式，即可计算出。‎ ‎【详解】‎ ‎=故本题选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和的正弦公式。逆用公式在三角恒等变换中，是常见的方法。‎ ‎2．在中，角的对边边长分别为，若，则其面积等于（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接使用面积公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形面积的求法。‎ ‎3．已知 中，角 的对边边长分别为，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用三角形内角和定理求得三个内角分别为，由正弦定理可得结果.‎ 详解：中，因为，‎ 所以，‎ 所以可得三个内角分别为，‎ 则故选A.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎4．下列命题正确的是（ ）‎ A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．经过三点确定一个平面 ‎【答案】A ‎【解析】对于A: 两两相交且不共点的三条直线,一共有三个不共线的交点，故可以确定一个平面；‎ 对于B:如果是空间四边形，可以确定多个平面；‎ 对于C:点在线上，就确定多个平面；‎ 对于D:三点共线，能确定多个平面。‎ ‎【详解】‎ 对于A;两两相交不共点，所以有三个不共线的交点，根据公理，可以确定一个平面，故选项A正确；‎ 对于B:如果是空间四边形，可以确定多个平面，故选项B不正确；‎ 对于C:点在线上，就确定多个平面,故选项C不正确，；‎ 对于D:三点共线，能确定多个平面,故选项D不正确，所以本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了确定平面的问题。‎ ‎5．函数是（ ）．‎ A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的奇函数 . D．最小正周期为的偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】利用二倍角的余弦公式，对函数解析式进行化简，然后判断奇偶性、最小正周期。‎ ‎【详解】‎ 显然是奇函数，周期为，‎ 故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的余弦公式，判断一个函数的奇偶性，求一个函数的最小正周期。逆用公式是解题的关键。‎ ‎6．在中，，则角为（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接使用余弦定理，求出角的值。‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可知：,代入中得：‎ ‎，故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理。‎ ‎7．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解。‎ ‎【详解】‎ 分别是中点，所以有而，因此 异面直线与所成角为在正方体中，,‎ ‎ 所以，故本题选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线所成的角。‎ ‎8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过题意可知圆锥的母线长，通过半径为，圆心角为的扇形，可以求出圆锥底面的周长，进而求出半径的长，利用勾股定理，计算求得圆锥的高。‎ ‎【详解】‎ 扇形的半径为，圆心角为，所以弧长，因此圆锥的底面周长为，所以圆锥底面半径=1，由题意可知圆锥的母线长为6，由勾股定理可知：‎ 圆锥的高故本题选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求圆锥的高。解决本题的关键是圆锥与圆锥侧面展开图之间的联系。‎ ‎9．记的三内角的对边边长分别为，若则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，可得，利用二倍角公式，进行化简，通过正弦定理实现角边转化，根据已知，即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由 （1）,由正弦定理可知：‎ ‎,代入（1）中 ，可得，又 ，故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、二倍角的正弦公式。‎ ‎10．已知中，角的对边边长分别为，若，则的形状为( )．‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】，所以又联立两式得.‎ ‎.‎ 故本题正确答案为 ‎11．已知正四棱柱中，分别为上的点．若，则三棱锥的体积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于是动点，所以求三棱锥的体积，可以转化求三棱锥的体积,正四棱柱中，可以知道面，通过，可以求出到平面的距离，再计算出三角形的面积，最后求出三棱锥的体积。‎ ‎【详解】‎ 求三棱锥的体积，可以转化求三棱锥的体积。‎ 在正四棱柱中，可知面，，而，所以到平面的距离为2，正方形的面积为，，‎ 所以，故本题选 B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求三棱锥的体积。解决此类问题一般用等积法。‎ ‎12．在锐角中，分别为内角所对的边，若，则的取值范围是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据锐角和 ，可以求出角的取值范围，利用正弦定理，可以求出 的表达式，对进行化简，最后求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 在锐角 ，所以有，解得,‎ 由正弦定理可知：，‎ 又 ，‎ 故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理的应用。‎ 二、填空题 ‎13．已知，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由同角的三角函数关系，可以求出的值，利用二倍角的正切公式直接求解。‎ ‎【详解】‎ ‎ 。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的正切公式及同角的三角函数关系。‎ ‎14．中，，则边上中线的长为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过余弦定理可以求出的长，而，用余弦定理求出的表达式，代入上式可以直接求出的长。‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可知：‎ ‎,设，由余弦定理可知：‎ 而，‎ 即解得，故边上中线的长为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题。本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长至，使得,易证出, ,由余弦定理可得：. 。‎ ‎15．已知关于的方程有实数解，则实数的取值范围是____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把方程看成关于的函数，求出该函数的值域即可。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的余弦公式。重点考查了当三角方程有解，参数的取值范围问题。‎ ‎16．已知三条线段两两垂直，长分别是，且 个点都在同一个球面上，这个球的表面积为，则的值____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三条线段两两垂直，可以想到长方体模型，通过球的表面积，可以求出球的直径，而球的直径恰好是长方体的对角线，通过计算得出的值。‎ ‎【详解】‎ 设球的半径为，球的表面积为，‎ 已知三条线段两两垂直，构造如下图所示的长方体：‎ ‎，的值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了四点共球问题,考查了补体的思想，属于基础题。‎ 三、解答题 ‎17．已知三棱锥中，，.若平面分别与棱、、、相交于点、、、，且平面， ‎ 求证：（1） ；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明 ‎【解析】（1）要证明 ，可以证明平面；‎ ‎（2）由已知线面平行，可以证出线线平行，利用线面平行的判定定理，可以证明出线面平行。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，.‎ 又平面，平面，， ‎ ‎∴平面. ‎ 又 ‎∴ .‎ ‎（2）∵平面，平面平面 ，平面 ‎∴‎ 又，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了线线垂直、线面平行。‎ ‎18．在中，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）直接使用余弦定理即可得解；‎ ‎（2）法1：由（1）可以求出，由三角形内角和定理，可以求出的关系，用正弦定理，求出,进而求出，也就求出，，最后求出的值；‎ 法2：直接利用余弦定理得，，再利用同角的三角函数关系，求出，最后利用二角差的余弦公式求出的值。‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由余弦定理得：，‎ 因为，所以． ‎ ‎(2)法1 由正弦定理得：，‎ 所以．‎ 又因为，所以 即，所以 所以，．‎ 因为．所以，所以，‎ 所以 ‎ 法2 直接利用余弦定理得，‎ 求得，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理。‎ ‎19．如图，是⊙的直径，点是⊙上的动点，垂直于⊙所在的平面．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）设，，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】（1）由是⊙的直径，可以得到线线垂直。再由已知线面垂直，得到另一组线线垂直，利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理证出面面垂直。‎ ‎（2）过点作的垂线，垂足为，利用等积法，可以求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵是⊙的直径，点是⊙上的动点，‎ ‎∴，即．‎ 又∵垂直于⊙所在的平面，平面⊙，‎ ‎∴‎ 又，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（2）由（1）知平面平面，平面平面，‎ 过点作的垂线，垂足为，显然平面，‎ 即为三棱锥的高 在中，，所以，‎ 由，得 即点到平面的距离为，‎ 三棱锥的高为 ‎【点睛】‎ 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质，同时也考查了利用等积法求点到面距离。‎ ‎20．已知，若，，求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先判断已知给定的两个角的范围，然后利用同角的三角函数的关系，求出，的值，利用二角差的正弦公式直接求解。‎ ‎【详解】‎ 由，得 由，得；‎ ‎，得 所以． ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角的三角函数关系以及二角差的正弦公式。解决此类问题的关键是通过已知的角之间的关系构造出所求的角。‎ ‎21．在中，角的对边分别为，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若求的面积．‎ ‎【答案】（1）3（2）78‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.‎ 解析：‎ ‎（1）在中，由，得为锐角，所以，‎ 所以， ‎ 所以. ‎ ‎ ‎ ‎（2）在三角形中,由，‎ 所以， 由， ‎ 由正弦定理,得，‎ 所以的面积. ‎ ‎22．某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设.‎ ‎（1）求的长（用表示）；‎ ‎（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？‎ ‎【答案】(1) (2)能符合要求 ‎【解析】（1）利用垂径定理，可以得到一个直角三角形，可以求出的长；‎ ‎（2）根据垂线段最短这个性质，可以得到点处的观众离点最远，利用余弦定理求出的长，求出它的最大值，与60进行比较，得出结论。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）过点作垂直于，垂足为 在直角三角形中，，‎ 所以，因此 ‎ ‎（2）由图可知，点处的观众离点最远 在三角形中，由余弦定理可知 ‎． ‎ 因为，所以当，即时，‎ ‎＝800＋1600，‎ 又＝800＋1600‎ 所以 ‎ 所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米．‎ 故对于任意，上述设计方案均能符合要求．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用余弦定理解决生活实际问题。‎