2018-2019学年青海省西宁市第四高级中学高二上学期期末考试数学试题 Word版
西宁市第四高级中学2018-19学年第一学期期末试卷
高 二 数 学
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
4.过点P(4,-1),且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是( )
A.4x+3y-19=0 B.4x+3y-13=0
C.3x+4y-16=0 D.3x+4y-8=0
5.已知圆C:x2+y2-4x-5=0,则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是( )
A.3x+2y-7=0 B.2x+y-4=0
C.x-2y-3=0 D.x-2y+3=0
6.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. 2 B.2 C. D.1
7.已知S,A,B,C是球O表面上的点,若SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,则球O的表面积为( )
A.4π B.3π C.2π D.π
8.“-3
b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
11.已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
12.已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为( )
A.(0,0) B.(1,-2) C.(2,-4) D.(,-2)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应位置上)
13.过点M(3,2)作圆O:x2+y2+4x-2y+4=0的切线方程是________________.
14.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______________.
15.已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则直线l的方程______________
16.已知命题p:不等式<0的解集为{x|0B”是“sin A>
sin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论;①p真q假;②“p∧q”为真;③“p∨q”为真;④p假q真,其中正确结论的序号是________
三、 解答题(本大题共6小题,满分70分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.已知p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
18. 已知圆C的圆心为(2,1),若圆C与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线过点(5,-2),求圆C的方程.
19.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求·.
20.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
21.(文科做)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
21. (理科做)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,
PA⊥底 面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点.
(1)证明:平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC与PB的夹角的余弦值;
(3)求二面角A-MC-B的余弦值.
22.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆E:+=1, P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点M.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求△ABM面积的最大值.
高二期末数学参考答案
一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)
CDBBD AABCB AD
二、填空题(本题共4题,每题5分,共20分)
13 y=2或5x-12y+9=0
14. 1+=1
15 x+2y-8=0. 16 ①③
三、解答题(共44分,解题必须有详细的解题过程)
17.由q:x2-2x+1-m2≤0,m>0,
得1-m≤x≤1+m,
∴綈q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由≤2,解得-2≤x≤10,
∴綈p:B={x|x>10或x<-2}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件.
∴AB,∴或
即m≥9或m>9,∴实数m的取值范围是m≥9.
18, 设圆C的半径长为r,
则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,
即x2+y2-4x-2y+5=r2,
两圆的方程相减,得
公共弦所在的直线的方程为x+2y-5+r2=0.
因为该直线过点(5,-2),所以r2=4,
则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
19.解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,
∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ,
∴λ=6,∴所求双曲线方程为x2-y2=6.
(2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6,
∴双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).
∵点M在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3.
∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)
=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.
20.解 (1)因为直线l的倾斜角为60°,
所以其斜率k=tan 60°=,
又F.
所以直线l的方程为
y=.
联立
消去y得x2-5x+=0.
若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=5,
而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+
=x1+x2+p.
∴|AB|=5+3=8.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知
|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+
=x1+x2+p=x1+x2+3,
所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,
又准线方程是x=-,
所以M到准线的距离等于3+=.
21.1)证明 连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)解 因为ABCA1B1C1是直三棱柱,
所以AA1⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2得
∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以V三棱锥CA1DE=××××=1
21.证明 (1)∵AD∥BC,BC⊂平面PBC,
AD⊄平面PBC,
∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC=MN,∴AD∥MN.又∵AD∥BC,∴MN∥BC.
又∵N为PB的中点,∴M为PC的中点,
∴MN=BC.
∵E为AD的中点,DE=AD=BC=MN,
∴DE綊MN,∴四边形DENM为平行四边形,
∴EN∥DM.又∵EN⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,E为AD中点,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,PE∩BE=E,∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC,∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又∵PA=AB,且N为PB的中点,∴AN⊥PB.
∵AD∩AN=A,∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面ADMN.
22.解 (1)由题意知,2a=4,则a=2,
又=,a2-c2=b2,
可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.
(ⅰ)设P(x0,y0),=λ,
由题意知,M(-λx0,-λy0).
因为+y=1,
又+=1,即=1,
所以λ=2,即=2.
(ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2,①
因为x1+x2=-,x1x2=.
所以|x1-x2|=.
因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),
所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|
=
==2.
设=t,则t>0.
将y=kx+m代入椭圆C的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②
由①②可知0<t≤1,
因此S=2=2,
故S≤2,
当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.
由(ⅰ)知,△ABQ面积为3S,
所以△ABQ面积的最大值为6.