高考数学专题复习练习第3讲 二项式定理
第3讲 二项式定理
一、选择题
1．二项式6的展开式中的常数项是( )
A．20 B．－20
C．160 D．－160
解析 二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160.
答案 D
2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( )．
A．6 B．10 C．12 D．15
解析 Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.
答案 C
3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 ( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案 C
4．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )．
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案 B
5．设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )．
A．0 B．1 C．11 D．12
解析 512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512 012＋a能被13整除．
答案 D
6．已知0
0)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.
答案 B
二、填空题
7． 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．
解析 Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.
答案 17
8．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.
解析 n展开式中的通项为
Tr＋1＝Cxn－rr
＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，
将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知
n＝5.
答案 n＝5
9．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.
解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，
∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.
答案 －
10．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
解析 由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝4A，a＞0，∴a＝2.
答案 2
三、解答题
11．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
解 (1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
12．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．
解 等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，
等比数列2,4,8，…的通项公式为bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*，
即n＝＝
＝，
当k ＝2m－1时，m∈N*，
n＝∈N*，
Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．
13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.
14．已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423＝，
T5的系数为C324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
∴T8的系数为C727＝3 432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.
∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
∵12＝12(1＋4x)12，
∴ ∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.
∴展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.
