2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学(理)试题(Word版)

长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试 数学(理科)‎ 一、选择题:本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.设、为非空集合,定义集合为如图非阴影部分的集合,若,‎ ‎,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.阅读如图所示的程序,若执行循环体的次数为5,则程序中的取值范围为( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.使不等式成立的一个必要不充分条件是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知集合,,则从到的映射满足,则这样的映射共有( )‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎6.在直角坐标系中,若角的终边经过点,在( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.定义运算,,例如,则函数的值域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若在区间上单调递减,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知,,分别为内角,,的对边,且,,成等比数列,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是( )‎ A.1 B.2 C. D.‎ ‎11.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于( )‎ A.1 B. C.3 D.0‎ ‎12.设,则使得的的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎13.已知函数,其中为函数的导数,则( )‎ A.2 B.2019 C.2018 D.0‎ ‎14.中,角、、的对边分别为,,,若,三角形面积为,,则( )‎ A.7 B.8 C.5 D.6‎ ‎15.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每题3分,共15分.‎ ‎16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的 条件(将正确的序号填入空格处).‎ ‎①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 ‎17.对于,,规定,集合,则中的元素的个数为 .‎ ‎18.已知平面向量,满足,,,则在方向上的投影是 .‎ ‎19.已知函数,若正实数,满足,则的最小值是 .‎ ‎20.已知集合,且下列三个关系:,,中有且只有一个正确,则函数的值域是 .‎ 三、解答题 :本大题共5小题,每小题8份,共40分. ‎ ‎21. 以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线的参数方程为(为参数),设点,直线与曲线 相交于,两点,求的值.‎ ‎22.如图,在中,角,,所对的边分别为,, ,若.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若点在边上,且是的平分线,,,求的长.‎ ‎23.已知函数(为自然对数的底数).‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎24. 某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 ‎ ‎(单位:分钟), ‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:‎ ‎ (1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?‎ ‎ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式;讨论的单调性,并说明其实际意义.‎ ‎25.已知函数,().‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)求证:当时,对任意,,总有成立.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCBB 6-10:CDACC 11-15:CBAAC 二、填空题 ‎16. 17.41 18. 19. 20.‎ 三、解答题 ‎21.(1)∵曲线的极坐标方程,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)直线的参数方程为(为参数),代入曲线的方程,可得,‎ 整理得,‎ ‎∵,∴点在之间,‎ ‎∴.‎ ‎22.(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)在中,由余弦定理得,‎ 解得或(舍)‎ ‎∵是的角平分线,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎23.(1)当时,,‎ 由,解得;由解得,.‎ ‎∴函数的单调递增区间是;单调递减区间是.‎ ‎(2)依题意:对于任意,不等式恒成立,‎ 即恒成立,即在上恒成立,‎ 令,‎ 所以.‎ 当时,;当时,.‎ ‎∴函数在上单调递增;在上单调递减.‎ 所以函数在处取得极大值,即为在上的最大值.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 所以对于任意,不等式恒成立的实数的取值范围是.‎ ‎24.(1)由题意知,当时,‎ ‎,‎ 即,‎ 解得或,‎ ‎∴时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.‎ ‎(2)当时,‎ ‎;‎ 当时,‎ ‎;‎ ‎∴;‎ 当时,单调递减;‎ 当时,单调递增;‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于的人自驾时人均通勤时间是递增的;‎ 当自驾人数为时,人均通勤时间最少.‎ ‎25.(1)函数的定义域为,.‎ 当时,‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 当时,‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 综上所述,‎ 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,;‎ 当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.‎ ‎(2)由(1)可知,当当时,在上单调递增,在上单调递减,‎ 又,,‎ 所以,‎ 同样地,当时,若,在上单调递增,在上单调递减,所以,‎ 因为,‎ 同理,当或时,对于任意,,总有.‎ 综上所述,对于任意,,总有成立.‎
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