2018-2019学年河南省商丘名校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省商丘名校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省商丘名校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．过点（2，1），斜率k＝﹣2的直线方程为（ 　　）‎ A．x﹣1＝﹣2（y﹣2） B．2x+y﹣1＝0‎ C．y﹣2＝﹣2（x﹣1） D．2x+y﹣5＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用直线的点斜式方程得到答案.‎ ‎【详解】‎ 过点（2，1），斜率k＝﹣2的直线方程为： ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的点斜式方程，属于简单题.‎ ‎2．设全集， ， ，则C A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用集合的补集的定义求出集合的补集，再利用集合的交集的定义求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意，则， 所以.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、补集的计算规则．‎ ‎3．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。‎ ‎【考点】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象。‎ ‎4．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：2x+2y﹣3＝0的距离是（　 　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用平行直线距离公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：2x+2y﹣3＝0即 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平行直线的距离公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系 ‎6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，计算表面积令其等于，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，‎ 设圆半径为，所以该几何体的表面积，得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后再根据所求进行解题即可．‎ ‎7．已知x0是函数f（x）＝2x+x﹣1的一个零点．若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，+∞），则（　 　）‎ A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＜0‎ C．f（x1）＜0，f（x2）＞0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断函数单调递增，根据函数单调性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝2x+x﹣1单调递增，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎8．函数y＝的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ；则函数的定义域为：（0，+∞），即函数图象只出现在y轴右侧；‎ 值域为：[1，+∞）即函数图象只出现在y＝1上方；‎ 在区间（0，1）上递减的曲线，在区间（1，+∞）上递增的直线．‎ 分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的图象和性质，解答关键是通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，属于基础题．‎ ‎9．三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（ ）‎ A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 ‎【答案】C ‎【解析】先画出图形，过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接，可推出，结合，根据线面垂直定理，得证，同理可证，从而可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.‎ 又，‎ 平面 又平面 ‎，同理 是三角形的垂心.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.‎ ‎10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝3•2x﹣m（m为常数），则f（m）＝（　 　）‎ A． B． C．21 D．﹣21‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇函数得到，解得，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝3•2x﹣m（m为常数）‎ 则故 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎11．‎ ‎（2015•陕西模拟）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）‎ A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．‎ 解：线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，‎ 因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．‎ 故选：C．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎12．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。‎ 详解：如图所示，‎ 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，‎ 当平面时，三棱锥体积最大 此时，‎ ‎,‎ 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。‎ 二、填空题 ‎13．函数f（x）＝log2（x+2）﹣1的零点是_____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】直接解方程得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，属于简单题.‎ ‎14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.‎ 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．‎ ‎15．若点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x2+y2的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】x2+y2的值可以看作直线l：x+2y﹣3＝0上点到原点的距离的平方，利用点到直线的距离公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ x2+y2的值可以看作直线l：x+2y﹣3＝0上点到原点的距离的平方 它的最小值是原点到直线的距离的平方即d2‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离公式，将题目转化为几何意义是解题的关键.‎ ‎16．已知定义在R上的偶函数f（x），且当x≥0时，f（x），若方程f（x）＝m恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】m＜2．‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性得到函数图像，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：根据函数的奇偶性得到函数图像.‎ f（x）＝m恰好有4个实数根，则 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（4，2）．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）如果f（x+1）＜0，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】(1) a＝2．(2) {x|﹣1＜x＜0}．‎ ‎【解析】（1）将点（4，2）代入函数计算得到答案.‎ ‎（2）解不等式log2（x+1）＜log21得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为loga4＝2，所以a2＝4，因为a＞0，所以a＝2． ‎ ‎（2）因为f（x+1）＜0，也就是log2（x+1）＜0，所以log2（x+1）＜log21，‎ 所以，即﹣1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜0}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数解析式，解不等式，忽略定义域是容易发生的错误.‎ ‎18．已知集合，. ‎ ‎（1）分别求； ‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据指数函数与对数函数的性质，求得，，即可求解；（2）分当和两种情况，分别运算，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）由已知得，‎ ‎①当时，，此时；‎ ‎②当时，由得；‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质；集合的运算．‎ ‎19．如图，平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝.将△CDE沿CE折起，使点D移动到P的位置，且AP＝，得到四棱锥P－ABCE.‎ ‎(1)求证：AP⊥平面ABCE；‎ ‎(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：AB∥l.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）在中，由已知结合余弦定理得，连接，可得，在中，由，得，同理，然后利用线面垂直的判定可得平面；‎ ‎（2）由，且平面，平面，可得平面，又平面平面，结合面面平行的性质可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)在△CDE中，‎ ‎∵CD＝ED＝，cos∠EDC＝，‎ 由余弦定理，CE2＝()2＋()2－2×××＝4，‎ ‎∴CE＝2.连接AC，‎ ‎∵AE＝2，∠AEC＝60°，∴AC＝2.‎ 又∵AP＝，‎ ‎∴在△PAE中，PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE，同理AP⊥AC，而AC，AE⊂平面ABCE，AC∩AE＝A，‎ 故AP⊥平面ABCE.‎ ‎(2)∵AB∥CE，且CE⊂平面PCE，AB⊄平面PCE，‎ ‎∴AB∥平面PCE.‎ 又平面PAB∩平面PCE＝l，∴AB∥l.‎ ‎20．已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．‎ ‎（1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；‎ ‎（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．‎ ‎【答案】(1)；(2) x＝4或3x﹣4y+4＝0．‎ ‎【解析】（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.‎ ‎（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，‎ 故圆心到直线的距离，∴；‎ ‎（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；‎ 当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由，解得．‎ 此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．‎ 综上所述：切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了弦长和切线问题，忽略斜率不存在的情况是容易发生的错误.‎ ‎21．如图，四棱锥中，侧面底面 ‎ ‎。‎ ‎.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若三棱锥 的体积为2，求的面积.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）直接利用线面垂直和面面垂直的性质求出结果． （2）利用等体积转化法求出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面平面，平面平面，‎ 平面，且，‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面，∴.‎ 又∵，‎ ‎，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）取中点，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵平面，平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∴为三棱锥的高，且.‎ 又∵，，∴.‎ ‎∴，得.‎ ‎.‎ 又∵平面且平面，∴.‎ ‎∴.‎ ‎22．已知函数，g（x）＝f（x）﹣3．‎ ‎（1）判断并证明函数g（x）的奇偶性；‎ ‎（2）判断并证明函数g（x）在（1，+∞）上的单调性；‎ ‎（3）若f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 奇函数，见解析 (2) 单调递增，证明见解析(3) [﹣1，3]．‎ ‎【解析】（1）函数g（x）为奇函数，计算得到得到证明.‎ ‎（2）函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，设1＜x1＜x2，计算g（x1）﹣g（x2）＜0得到证明.‎ ‎（3）根据函数的单调性得到不等式m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，g（x）为奇函数，‎ g（x）＝f（x）﹣33＝﹣（），‎ 其定义域为{x|x≠﹣1且x≠0且x≠1}，关于原点对称，‎ 则有g（﹣x）＝﹣（）＝﹣g（x），则函数g（x）为奇函数；‎ ‎（2）根据题意，函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，设1＜x1＜x2，‎ g（x1）﹣g（x2）＝﹣[]+[]‎ ‎＝（x1﹣x2）[]，‎ 又由1＜x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）＜0，则函数g（x）在（1，+∞）上的单调递增，‎ ‎（3）根据题意，g（x）在（1，+∞）上的单调递增，‎ f（x）＝g（x）+3在（1，+∞）上的单调递增；‎ 又由m2﹣2m+7＝（m﹣1）2+6＞1，2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞1‎ f（m2﹣2m+7）≥f（2m2﹣4m+4）m2﹣2m+7≥2m2﹣4m+4，解可得：﹣1≤m≤3；‎ 即m的取值范围为[﹣1，3]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，奇偶性，根据函数的单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎