北京市2020届高三普通高中学业水平合格性考试数学试题

北京市2020届高三普通高中学业水平合格性考试数学试题

‎2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 一在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集运算直接写出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.‎ ‎2.已知向量 ， ，那么 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的坐标运算直接写出结果.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的坐标表示，难度较易.‎ ‎3.2019年中国北京世界园艺博览会于‎4月29日至‎10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机事件的概率计算完成求解.‎ ‎【详解】可能出现的选择有种，满足条件要求的种数为种，则，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）（基本事件的总数）.‎ ‎4.圆心为，半径等于5的圆的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对比圆的标准方程：进行判断即可.‎ ‎【详解】因为圆心即为，半径，所以圆的标准方程为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.‎ ‎5.已知向量，，且，那么m等于( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量垂直对应的坐标关系计算出的值.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直对应的坐标表示，难度较易.已知，，若，则有：.‎ ‎6.直线与直线的交点坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立二元一次方程组求解交点坐标.‎ ‎【详解】据题意有：，解得：，所以交点坐标为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线方程求解直线交点坐标，难度较易.直线的方程可认为是二元一次方程，两直线的交点坐标即为二元一次方程组的解对应的坐标形式.‎ ‎7.已知平面向量满足 ，且与夹角为60°，那么等于( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积公式完成计算.‎ ‎【详解】因为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算，难度较易.‎ ‎8.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据真数大于零计算出的范围即为定义域.‎ ‎【详解】因为，所以，即定义域为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数的定义域，难度较易.对数型函数计算定义域，注意对应的真数大于零.‎ ‎9.已知点，，那么直线AB的斜率为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率的计算公式直接计算出斜率.‎ ‎【详解】因为，，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据两点坐标计算出两点构成的直线的斜率，难度较易.已知，，则.‎ ‎10.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A，B两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为( )‎ A. 20 B. ‎30 ‎C. 40 D. 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出抽样比，然后根据（A专业人数）乘以（抽样比）即可得到应抽取的人数.‎ ‎【详解】据题意可知：抽样比，则A专业抽取人数为人，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样的应用，难度较易.若要计算分层抽样的每一层应抽取数量，先要计算抽样比，利用每一层数量乘以抽样比得到该层应抽取的数量.‎ ‎11.等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两角差的余弦公式直接得到结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查两角差的余弦公式的记忆，难度较易.‎ ‎12.已知函数是定义域为的奇函数，且，那么的值为( )‎ A. 0 B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数找到与的关系即可计算出的值.‎ ‎【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据奇函数的特性求值，难度较易.若是定义域内的奇函数，则有：.‎ ‎13.如图，在直三棱柱中，，如果，，，那么直三棱柱的体积为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据棱柱的体积公式求解直三棱柱的体积.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查棱柱的体积计算公式，难度较易.棱柱体积计算公式：，其中是棱柱的底面积，是棱柱的高.‎ ‎14.的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将变形为，然后根据诱导公式一计算结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一：， .‎ ‎15.函数的零点的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将因式分解后即可判断零点的个数.‎ ‎【详解】因为，所以令则有：或或，即零点有个，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，难度较易.对于可直接进行因式分解的函数，可通过因式分解判断每个因式为零的情况，然后确定零点个数.‎ ‎16.要得到函数的图象．只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果.‎ ‎【详解】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.‎ ‎17.直线经过点，且与直线平行，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行关系设出直线的一般式方程，代入坐标求解出一般式方程并转化为斜截式方程.‎ ‎【详解】设方程为：，代入有：，所以，‎ 所以方程为：，即，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据直线间的平行关系求解直线的方程，难度较易.已知直线方程为：，与其平行的直线方程可设为：.‎ ‎18.如果函数（且）的图象经过点，那么的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入函数解析式中计算出的值即可.‎ ‎【详解】因为图象经过点，所以，所以且且，解得：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据对数函数图象所过点求解函数解析式，难度较易.通过函数图象所过点求解函数解析式的问题，可考虑直接将点代入函数解析式中求解参数值.‎ ‎19.已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数单调性比较大小.‎ ‎【详解】因为在上是增函数，又，所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数（且）：若，则是上增函数；若，则是上减函数.‎ ‎20.函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式先化简，然后根据周期计算公式计算最小正周期.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式、周期公式的应用，难度较易.常见的二倍角公式有：.‎ ‎21.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果，，，那么a等于（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算值.‎ ‎【详解】由正弦定理可知：，所以，解得：，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，难度较易.正弦定理对应的等式：（是三角形外接圆的半径）.‎ ‎22.已知，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据诱导公式将待求式子化简，然后根据平方和为去计算相应结果.‎ ‎【详解】因为；‎ 又因为且，所以，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据诱导公式求解给值求值问题，难度较易.利用平方和为去计算相应三角函数值时，注意根据角度的范围去判断相应的三角形函数值的正负号.‎ ‎23.已知圆C：与直线l：，那么圆心C到直线l的距离为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.‎ ‎【详解】圆的方程可变形为：，所以圆心为，所以圆心到的距离为：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：，其中圆心为，半径为.‎ ‎24.已知幂函数，它图象过点，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过函数图象过点，计算出的值，然后再计算的值.‎ ‎【详解】因为过点，所以，所以，所以，‎ 则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的解析式求解以及根据幂函数解析式求值，难度较易.‎ ‎25.生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间的户数为（ ）‎ ‎ ‎ A. 5 B. ‎15 ‎C. 20 D. 25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的频率，用抽取的总数量乘以对应的频率即可得到对应段的户数.‎ ‎【详解】根据频率分布直方图可知：的频率为，所以用气量在的户数为：户，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图完成相应计算，难度较易,观察频率分布直方图时，注意纵轴并不表示频率，而是频率除以组距，因此每一段区间对应的小长方形的面积即为该段的频率.‎ ‎26.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果，，的面积，那么a等于（ ）‎ A. B. ‎7 ‎C. D. 17‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据面积公式计算出的值，然后利用以及余弦定理求解的值.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 又因为，所以，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式的应用以及利用余弦定理解三角形，难度较易.解三角形时常用的面积公式有三个，解答问题时要根据题意进行选择.‎ ‎27.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①如果，，那么；②如果，，那么；‎ ‎③如果，，那么；④如果，，那么．‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过判定定理、性质定理、定义、举例的方式逐项分析.‎ ‎【详解】①‎ 如图所示长方体，平面，平面，但是不平行，故错误；‎ ‎②根据垂直于同一平面的两条直线互相平行，可知正确；‎ ‎③根据两个平面平行时，其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面，可知正确；‎ ‎④‎ 如图所示长方体，平面平面且平面，但此时显然不垂直于平面，故错误；综上：②③正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查符号语言下的空间中的点、线、面的位置关系的命题的真假判断，难度一般.处理符号语言表示的命题真假的问题，常用的方法有：根据判定、性质定理直接判断；根据定义判断；根据示意图、举例判断.‎ 二解答题 ‎28.某同学解答一道三角函数题：“已知函数，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值及相应x的值．”‎ 该同学解答过程如下：‎ 解答：（Ⅰ）因为，所以．因为，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以．令，则．‎ 画出函数在上的图象，‎ 由图象可知，当，即时，函数的最大值为．‎ 下表列出了某些数学知识：‎ 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义 弧度制的概念 ‎，的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数，，的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间上的性质 两角差的余弦公式 函数的实际意义 两角差的正弦、正切公式 参数A，，对函数图象变化的影响 两角和的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．‎ ‎【答案】任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义，函数的图象，三角函数的周期性，正弦函数在区间上的性质，参数A，，对函数图象变化的影响．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解答过程逐步推导所用的数学知识.‎ ‎【详解】首先，这里出现了负角和弧度表示角，涉及的是任意角的概念和弧度制的概念；由和的范围解出，这里涉及的是任意角的正弦的定义；解题时所画的图象涉及的是函数的图象；作出图象后可根据周期性以及单调性计算出最大值，这里涉及的是三角函数的周期性，正弦函数在区间上的性质；用换元法构造正弦函数的图象其实利用的是平移的思想，这里涉及的是参数A，，对函数图象变化的影响.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数章节内容的综合应用，难度一般.由解答的过程分析其中涉及的知识点，这种题型比较灵活，需要注意到每一步是根据什么得到的，这就要保证对每一块的知识点都很熟悉.‎ ‎29.如图，在三棱锥中，平面ABC，点D，E，F分别为PC，AB，AC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面DEF；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ 阅读下面给出的解答过程及思路分析．‎ 解答：（Ⅰ）证明：在中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以①．‎ 因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以②．‎ 因为D，F分别为PC，AC的中点，所以．所以．‎ 思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；‎ 第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．‎ 以上证明过程及思路分析中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．‎ 空格 选项 ‎①‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎②‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎③‎ A．线线垂直 B．线面垂直 C．线线平行 ‎④‎ A．线线垂直 B．线面垂直 C．线线平行 ‎⑤‎ A．线面平行 B．线线平行 C．线面垂直 ‎【答案】①A；②B；③C；④A；⑤B．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①：由中位线分析；②线面垂直的性质分析；③由线线推导线面；④由线面垂直推导线线垂直；⑤由线线平行推导线线垂直.‎ ‎【详解】①因为是中位线，所以，故选A；②平面，平面，可通过线面垂直得到线线垂直，故选B；③通过中位线，先证线线平行，再证线面平行，故选C；④根据可知：先证明线线垂直，故选A；⑤由可知：再证线线平行，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查线线、线面平行以及线线、线面垂直的证明和理解，难度较易.证明线线平行多数情况可根据中位线或者证明平行四边形来解决问题，有时候也可以根据线面平行的性质定理去证明线线平行.‎ ‎30.某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．‎ ‎（Ⅰ）求r的值；‎ ‎（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求．”‎ 该同学解答过程如下：‎ 解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以点A的坐标为．‎ 因为圆O：经过点A，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为．所以直线AB的斜率为．‎ 所以直线AB的方程为，即．‎ 代入消去y整理得，‎ 解得，．当时，．所以点B的坐标为．‎ 所以．‎ 指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．‎ ‎【答案】直线AB的斜率为不对，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据：两直线垂直（直线斜率都存在），对应的直线斜率乘积为，判断出对应的直线方程的斜率错误.‎ ‎【详解】因为，所以直线AB的解率为．‎ 所以直线AB的方程为，即．‎ 代入消去x整理得，解得，．‎ 当时，．所以B的坐标为．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆综合应用以及两直线垂直时对应的斜率关系的判断，难度一般.当两条直线 的斜率都存在且为时，若，则有.‎ ‎31.土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于，小于，重金属B的密度为．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．‎ ‎【答案】大于克，小于克.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设未知数，根据条件构建新的方程从而找到与的关系，利用函数的单调性来分析混合物中重金属A的克数的范围.‎ ‎【详解】设重金属A密度为，此混合物中含重金属A为y克．‎ 由题意可知，重金属B为克，且．解得．‎ 因为，所以当时，y随x的增大而减小，因为，‎ 所以．‎ 解得．故此混合物中重金属A的克数的范围是大于克，小于克．‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，难度一般.首先对于未给出函数的实际问题，第一步需要设未知数，第二步需要根据条件所给等量关系构建新函数（注意定义域），第三步就是根据函数知识求解相应问题.‎ ‎ ‎