数学理卷·2018届江西省吉安市一中高二上学期第二次段考（2016-12）

数学理卷·2018届江西省吉安市一中高二上学期第二次段考（2016-12）

江西省吉安市第一中学2016-2017学年高二上学期第二次段考 ‎ 高二数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出四个选项，只有一个选项 符合题目要求.‎ ‎1.经过两点的直线的倾斜角为，则等于（ ）．‎ A．8 B．4 C． D．‎ ‎2.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（ ）．‎ A． B． C． D．2‎ ‎3.设，则“，且”是“且”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.设命题，则为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5.设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）．‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎6.已知空间中四个不共面的点，若，且，则的值为（ ）．‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7.已知命题关于的函数在上是增函数，命题函数 为减函数，若“且”为假命题，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（ ）．‎ A．46 B． C． D．‎ ‎9.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10.如图，斜线段与平面所成的角为60°，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）．‎ A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎11.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的标准线于两点．已知，，则的焦点到准线的距离为（ ）．‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎12.已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎14.若数列满足，则等于 _____________．‎ ‎15.若曲线与曲线相交于两点，且两曲线处的切线互相垂直，则的值是 _____________．‎ ‎16.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为．则下列命题正确的是 _____________（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎（1）当时，为四边形；‎ ‎（2）当时，为等腰梯形；‎ ‎（3）当时，与的交点满足；‎ ‎(4)当时，为六边形；‎ ‎(5)当时，的面积为．‎ 三、解答题 （共70分） ‎ ‎17.已知的三边所在直线方程分别为．‎ ‎（1）求的正切值的大小；‎ ‎（2）求的重心坐标．‎ ‎18.如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到的位置．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求五棱锥体积．‎ ‎19.设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为．‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，求的取值范围．‎ ‎20.已知直线和圆，动圆与相切，而且与内切．求当的圆心距直线最近时，的方程．‎ ‎21.在三棱柱中，已知，点在底面 的投影是线段的中点．‎ ‎（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；‎ ‎（2）求：平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎22.已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）问：轴上是否存在一定点，使得对于曲线上的任意两点和，当时，恒有与的面积之比等于？若存在，则求点的坐标，否则说明理由．‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A A C D A A D B C B A 二、选择题 ‎13. 14. 15. 16. ①②③⑤‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）的重心坐标是．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎18.解：（1）由已知得，，‎ 又由得，故，‎ 由此得，所以．‎ ‎（2）由得，‎ 由得，‎ 又由，所以，平面．‎ 又由得．‎ 五边形的面积．‎ 所以五棱锥体积．‎ ‎19.解：（1），‎ 当时，取值为-1，-2，-3，…，，共有个格点，‎ 当时，取值为-1，-2，-3，…，，共有个格点．‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）由（1）可得：，‎ ‎∵对任意正整数恒成立，‎ ‎∴，化为，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20.解：设圆的圆心为，半径为，则依题意有 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 即：，‎ 也即：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 设到直线的距离为，‎ 则．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即：也即．．．．．．．．．．8分 当且仅当时，最小，此时由得．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎∴所求圆的方程为．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21.解：（1）证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为平面，所以，‎ 因为，得，所以平面，所以，所以平面，‎ 又，得．．．．．．．．．．．．．．5分 ‎（2）‎ 如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则．‎ 由得点的坐标是，‎ 由（1）得平面的法向量是，‎ 设平面的法向理，‎ 由得，‎ 令，得，即，‎ 所以，‎ 即平面与平面的夹角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22.解：（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得：，化为：，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）设由，可知：三点共线，设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，‎ ‎∴，由与的面积之比等于，可得：平分，‎ 因此直线的倾斜角互补，‎ ‎∴，∴，‎ 把代入可得：，‎ ‎∴，化为：，由于对于任意都 成立，∴，‎ 故存在定点，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分