江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 数学（理）

江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 数学（理）

上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 ‎（上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学）‎ 理科数学 命题学校：上饶市一中 主命题人：朱四样 副命题人：陈颖 ‎ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合 ， ，则 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设，则(　　)‎ A． B．3 C． D．2 ‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知非零向量满足且，则向量的夹角为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数为奇函数，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为(　　)‎ A．2升　　 　 B． 升　　 　 C．3升　　　 D． 升 ‎8．函数的大致图像为（ ）‎ ‎·10·‎ ‎9. 设、满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A． 3 B．-1 C．4 D． 5 ‎ ‎10．设数列满足，且对任意整数，总有成立，则数列 的前2018项的和为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知点O为双曲线C的对称中心，直线交于点O且相互垂直，与C交于点，与C交于点，若使得成立的直线有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和一名女生的概率为________． ‎ ‎14．一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为______.‎ ‎(第14题图)‎ ‎15．若不等式在区间上恒成立，则实数取值范围是___.‎ ‎16．已知中，，点M是线段AB上一动点，点N是以点M为圆心、1为半径的圆上一动点，若，则的最大值为______.‎ ‎·10·‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分）‎ 已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求。‎ ‎18．(12分）‎ 在四棱锥中，，底面为菱形，点为菱形对角线的交点，且.‎ （1） 证明：；‎ （2） 若，问：在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为？‎ ‎19．(12分）‎ 某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；‎ ‎（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？‎ ‎（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。‎ ‎·10·‎ ‎20．(12分）‎ 已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)动直线l:交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎21．(12分）‎ 已知函数，曲线与在原点处的切线相同。‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的单调区间和极值；‎ ‎(3)若时，，求的取值范围。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标。‎ ‎23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）‎ 设函数. ‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围。‎ ‎·10·‎ 上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A B B C D D A C B D D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 14. 或 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解:(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为……………1分 由三角形的面积公式可知: ………………………3分 由正弦定理可得: ………………………5分 所以 ………………………6分 ‎ (2) ,又因为D为中点，所以BC=2BD=6AB,即BD=3AB…………7分 在中由正弦定理可得,所以 由（1）可知所以,‎ ‎ ……………9分 在直角中,所以.……………10分 BC=2BD,BC=6‎ ‎·10·‎ 在中用余弦定理，可得.……………12分 ‎18.答案：‎ （1） 证明： 为等腰三角形 ‎ 又为中点 ……………2分 ‎ ‎ 底面为菱形 ‎ ‎ …………4分 ‎ …………6分 解:以为原点，为轴，与中点的连线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，………………………7分 （2） ‎ 令， 则，‎ ‎ 设平面的一个法向量为 由 得………………………9分 令 得 ‎ 解得 ………………………10分 ‎ 又 不存在.即这样的点M不存在 ………………………12分 ‎19.解（1）由题意知的频率为：，‎ 的频率为：所以分数在的频率为：………………………1分 ‎·10·‎ 从而分数在的，………………………2分 假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。………………………4分 ‎（2）在区间与，，………………………5分 在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，‎ 分在区间与各抽取5人，2人．结果是5人，2人．……………8分 ‎（3）的可能取值为2，3，4，则：‎ ‎ ………………9分 从而Y的分布列为 Y ‎2600‎ ‎2300‎ ‎2000‎ ‎………………………11分 ‎(元)．………………………12分 ‎20.解　(1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，‎ ‎∴b＝c. ……………1分 又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝，………………………3分 椭圆方程为＋y2＝1. ………………………4分 ‎(2)由题意可知该动直线过定点,当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ ‎·10·‎ 由得 故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分 下面证明Q(0,1)为所求：‎ 若直线l的斜率不存在，上述已经证明.‎ 若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分 Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，…………………8分 ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，‎ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)·－·＋＝0，………………………10分 ‎∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分 ‎21.解：（1）因为，‎ 依题意，，得 ……………………3分 ‎（2）所以 当时；当时 ‎·10·‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为 的极小值为；无极大值；……………………6分 ‎（3）由（1）知，当时，,,此时无论K取何值均满足……………………7分 当时，令 所以……………………-8分 又令,所以因为时，令得 ……………………9分 ‎①当时，，所以在递增，从而 即满足时，。……………………10分 ‎②当时，，所以在递增，又因为，x趋近时趋近，根据零点存在性定理所以存在使得，所以在上递减，在上递增，因为,所以，此时不满足时，。……………11分 综上所述，k的取值范围是 ……………………12分 ‎ ‎22.解:（1）对曲线：，，‎ ‎ ∴曲线的普通方程为．………………………………2分 ‎·10·‎ ‎ 对曲线消去参数可得且 ‎ ∴曲线的直角坐标方程为．…………………………3分 又，‎ 从而曲线的极坐标方程为……………………5分 ‎（2）设曲线上的任意一点为， …………………6分 ‎ 则点到曲线：的距离 ‎，………………………8分 当，即时，，此时点的坐标为．‎ ‎…………………………………………………………………10分 ‎23.解：（1）由得：， …………………………………1分 ‎ ‎∴或， 解得：或．………4分 ‎∴不等式的解集是． ……………………………………5分 ‎（2），当时显然不成立，所以成立即 ‎ 令 ………………6分 即 …………9分 所以实数的取值范围是 …………10分 ‎·10·‎