安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学（文）试题

安徽省望江中学2013届高三上学期期中考试数学（文）试题

安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试 高三数学试题（文）‎ ‎(考试时间：120分钟满分:150分）‎ 一.选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．函数的定义域为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为( )‎ A． B． C．0 D．2‎ ‎3．如果函数的最小正周期为，则的值为 ( )‎ ‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图l，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．则的值为 ( )‎ ‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎5．已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)， ‎ ‎ 若∥，则实数m的值为 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6已知函数(e是自然对数的底数)，‎ 若，则的值为 ( )‎ ‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎7．等差数列的前n项和的最大值为（ ）‎ ‎ A．35 B．36 C．6 D．7‎ ‎8．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．‎ 若， ，则的值为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象大致是 （ ）‎ ‎10．已知函数，对于任意正数，是 成立的 ( )‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）‎ ‎11. 已知函数 , ，‎ ‎ 则f(g(π))的值为=______________‎ ‎12命题“存在R，0”的否定命题是.__________________________ ‎ ‎13. 设点是不等式组表示的平面区域 内的一动点，，则（O为坐标原点）的取值范围是______‎ ‎14. 程序框图如图，运行此程序，输出结果b=______.‎ ‎15．对于函数与函数有下 列命题：‎ ‎①函数的图像关于对称；‎ ‎②函数有且只有一个零点；‎ ‎③函数和函数图像上存在平行的切线；[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网]‎ ‎④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为 其中正确的命题是 。（将所有正确命题的序号都填上）‎ 三.解答题（本大题共6题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ (1)求函数的最小正周期；‎ ‎ (2)若，，且，，求的值．‎ ‎（分数）‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100 ‎ 频率 组距 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.020‎ 图2‎ ‎0.025‎ a ‎17．（本小题满分12分）‎ 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考 试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，‎ ‎，…，后得到如图2的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该 校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； ‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，设的坐标为（an,0）,A0为原点 （1） 求，并求出和之间的关系式；[来源:Z。xx。k.Com]‎ （2） 求数列的通项公式；‎ （3） 设，求数列的前n项和Sn ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）=- x2+ax-lnx-1 （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）在（2，4）上是减函数，求实数a的取值范围.‎ ‎20（本小题满分13分）‎ 已知数列中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的通项公式；‎ ‎（3）对于有 ‎ 证明： ‎ ‎21．(本小题满分l4分)‎ ‎ 已知函数 ‎ (1)求函数的单调区间；‎ ‎ (2)是否存在实数a，使得函数的极值大于0?若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 安徽省望江中学2012~2013年度第一学期期中考试 高三数学试题（文）参考答案及评分标准 ‎16．(本小题满分12分)‎ ‎(1)解：‎ ‎ ……………2分 ‎ ……4分 ‎∴函数f(x)的最小正周期为. ……………6分 ‎(2)解：由(1)得.‎ ‎，‎ ‎. ………8分 ‎。‎ ‎，. ……………10分 ‎ ………11分 ‎ ………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以．……………………1分 解得． ………………………………………………2分 ‎（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为． …………3分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人． …………………………………………………………………5分 ‎(3)解：成绩在分数段内的人数为人，‎ 分别记为，． ……… ……………6分 成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，． …………………7分[来源:学科网ZXXK]‎ 若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，， 共15种． …………………………………………9分 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于‎10”‎为事件，则事件包含的基本事件有：‎ ‎，，，，，，共7种．………11分 所以所求概率为．………………………………………………12分 ‎18.(本题满分12分)‎ 设 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎.解：（1）……………………………………………1分 ‎ …………………………4分 函数f（x）的定义域为（0，+∞），在区间（0，），（1，+∞）上f ′（x）＜0. 函数f（x）为减函数；在区间（，1）上f ′（x）＞0. 函数f（x）为增函数. ………6分 ‎（2）函数f（x）在（2，4）上是减函数，则 ‎，在x∈（2，4）上恒成立. ………………7分 ‎ ……………………………9分 ‎ …………………11分 实数a的取值范围 ………………………12分 ‎20（本小题满分13分）‎ ‎. 解（1）， 2分 ‎（2）当为偶数时， ‎ ‎ ， 3分 ‎ 5分 当为奇数时，， ‎ ‎ ，， ‎ ‎ 7分[来源:Z,xx,k.Com]‎ 当时， ‎ 当时，， 8分 或解： 2分 当为偶数时： 5分 当为奇数时： 7分 所以 8分 或解：由 证明当时成立 5分 假设当时， 7分 对任意有 8分 ‎（3），， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 13分 ‎21．(本小题满分l4分)‎ ‎(1)解：函数f(x)的定义域为. ……1分 ‎. ……2分 ‎①当a=0时，，‎ ‎∴函数f(x)单调递增区间为 . ……3分 ‎②当时，令f'(x)=0得，‎ ‎. .‎ ‎(i)当，即时，得，故，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为. ……4分 ‎(ii)当，即时，方程的两个实根分别为 ‎. ……5分 若，则，此时，当时，.‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为， ……………6分 若a>0，则，‎ 此时，当时，，当时，，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. ………7分 综上所述，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为 ‎，单调递减区间为：‎ 当时，函数f(x)的单调递增区间为，无单调递减区间． ……………8分 ‎(2)解：由(1)得当时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)无极值； ………9分 ‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎；‎ 则f(x)有极大值，其值为，其中…10分而，即， ……11分 ‎. ‎ 设函数，则， …………12分 则在上为增函数．‎ 又h(1)=0，则h(x)>0等价于x>1．‎ 等价于. ………13分 即在a>0时，方程的大根大于1，‎ 设，由于的图象是开口向上的抛物线，且经过点（0，-1），对称轴，则只需，即 a-1-1<0解得a<2，而a>0，‎ 故实数a的取值范围为(0，2)． ………14分 说明：若采用下面的方法求出实数a的取值范围的同样给1分．‎ ‎1．由于在是减函数，‎ 而时，a=2，故的解集为（0，2），‎ 从而实数a的取值范围为(0，2)．‎ ‎2．解不等式，而a>0，通过分类讨论得出实数a的取值范围为(0，2).‎