黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案

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黑龙江省伊春市第二中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案

伊春市第二中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高三学年 文科数学试卷 分值:150分 时间:120分钟 一、选择题(每小题5分,每题只有一个正确选项)‎ ‎1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1≤x≤2} C.{1,2,3} D.{1,2}‎ ‎2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎3.命题“∃α∈R,sinα=‎0”‎的否定是(  )‎ A.∃α∈R,sinα≠0 B.∀α∈R,sinα≠0 ‎ C.∀α∈R,sinα<0 D.∀α∈R,sinα>0‎ ‎4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是(  )‎ A.y=sinx B.y= ‎ C.y=﹣ D.y=‎ ‎5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=(  )‎ A.﹣2 B.‎2 ‎C.﹣4 D.4‎ ‎6.在等差数列{an}中,是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=(  )‎ A. B.﹣‎3 ‎C.﹣6 D.2‎ ‎7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线为y=,则双曲线的焦点坐标为(  )‎ A.(±,0) B.(±,0) C.(0,±) D.(0,±)‎ ‎9.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为3,‎ 则可输入的实数x的值的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎10.某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积为( )‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ ‎ D. ‎1‎ ‎11.函数y=的图象大致为(  )‎ A.B.C. D.‎ 12. 已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f´(x),并且当x>0时,有 ‎2f‎(x)+xf´(x)>0,且 f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()‎ A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ‎ C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分)‎ ‎13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=   .‎ ‎14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是________.‎ ‎15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是边长为3的等边三角形,AD=2AB,则该球的表面积为   .‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为   .‎ 三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若bcos C=(‎2a-c)cos B,‎ ‎(Ⅰ)求∠B的大小;(Ⅱ)若b=,a+c=4,求a,c的值.‎ ‎18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如下图所示.‎ ‎(Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;‎ ‎(Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?‎ 合格 优秀 合计 男生 ‎16‎ 女生 ‎4‎ 合计 ‎40‎ P(x2≥k0) ‎ ‎0.050‎ ‎0010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:‎ x2=‎ ‎19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上. ‎ ‎(Ⅰ)求证:AM⊥CD;‎ ‎(Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.‎ ‎20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A, B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.‎ ‎21.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.‎ ‎22.已知在直角坐标系xOy中,圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数),直线经过定点P(2,3),倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程和圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线与圆相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值. ‎ 高三文科数学参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题)‎ ‎1.已知集合A={x|(x+1)(x﹣3)<0},B={1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|1≤x≤2} C.{1,2,3} D.{1,2}‎ ‎【解答】解:A={x|﹣1<x<3};‎ ‎∴A∩B={1,2}.‎ 故选:D.‎ ‎2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则z=(  )‎ A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i ‎【解答】解:∵复数z满足(1+i)z=2i,∴(1﹣i)(1+i)z=(1﹣i)×2i,化为2z=2(i+1),∴z=1+i.‎ 故选:B.‎ ‎3.命题“∃α∈R,sinα=‎0”‎的否定是(  )‎ A.∃α∈R,sinα≠0 B.∀α∈R,sinα≠0 ‎ C.∀α∈R,sinα<0 D.∀α∈R,sinα>0‎ ‎【解答】解:特称命题的否定是全称命题,‎ ‎∴∃α∈R,sinα=0的否定为:∀α∈R,sinα≠0,‎ 故选:B.‎ ‎4.下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增的是(  )‎ A.y=sinx B.y=|x| ‎ C.y=﹣x3 D.y=ln(+x)‎ ‎【解答】解:根据题意,依次分析选项:‎ 对于A,y=sinx,为正弦函数,在(﹣∞,+∞)上不是单调函数,不符合题意;‎ 对于B,y=|x|,为偶函数,不符合题意;‎ 对于C,y=﹣x3,是奇函数但在(﹣∞,+∞)上单调递减,不符合题意;‎ 对于D,y=lnx(+x),既是奇函数又在(﹣∞,+∞)上单调递增,符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎5.已知向量=(2,﹣1),=(0,1),(+k)•=3,则k=(  )‎ A.﹣2 B.‎2 ‎C.﹣4 D.4‎ ‎【解答】解:因为=(2,﹣1),=(0,1),‎ 所以(+k)•=+k2=﹣1+k=3,‎ 解得k=4,‎ 故选:D.‎ ‎6.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则=(  )‎ A. B.﹣‎3 ‎C.﹣6 D.2‎ ‎【解答】解:∵a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,‎ ‎∴a2+a14=﹣6,a‎2a14=2,‎ 由等差数列的性质可知,a2+a4=‎2a8=﹣6,‎ ‎∴a8=﹣3‎ 则=,‎ 故选:A.‎ ‎7.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组,共有=3种方法,甲、乙两名同学分在同一小组,共有1种方法 所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为 故选:C.‎ ‎8.已知双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=,则双曲线的焦点坐标为(  )‎ A.(±,0) B.(±,0) C.(0,±) D.(0,±)‎ ‎【解答】解:双曲线(a>0)的渐近线方程为y=±x,‎ 由题意可得=,即有a=2,‎ 则双曲线的b=,c==,‎ 即有双曲线的焦点为(0,±),‎ 故选:D.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x的值的个数为(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎【解答】解:根据题意,该框图的含义是 当x≤2时,得到函数y=x2﹣1;当x>2时,得到函数y=log2x.‎ 因此,若输出结果为3时,‎ ‎①若x≤2,得x2﹣1=3,解之得x=±2‎ ‎②当x>2时,得y=log2x=3,得x=8‎ 因此,可输入的实数x值可能是2,﹣2或8,共3个数.‎ 故选:C.‎ ‎10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,‎ 棱锥的底面面积S=×1×1=,‎ 高为1,‎ 故棱锥的体积V==,‎ 故选:A.‎ ‎11.函数y=的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:根据题意,y=,其定义域为{x|x≠0},‎ 有f(﹣x)=﹣=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数,排除B、D;‎ 当x>0时,e﹣x>0,则有ln(ex+e﹣x)>ln(ex)=x,必有>1,排除A;‎ 故选:C.‎ ‎12.已知定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,有‎2f(x)+xf'(x)>0,且f(﹣1)=0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ‎ C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)‎ ‎【解答】解:当x>0时,由‎2f(x)+xf'(x)>0可知:两边同乘以x得:‎ ‎2xf(x)+x‎2f′(x)>0,设:g(x)=x‎2f(x),‎ 则g′(x)=2xf(x)+x‎2f′(x)>0,恒成立:‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)单调递增,定义在R上的偶函数f(x),f(﹣1)=0,可得f(1)=0,‎ 函数f(x)的图象如图:‎ 当x>0;f(x)>0成立的x的取值范围是:x>1,‎ 当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1,‎ 综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),‎ 故选:B.‎ ‎13.已知函数f(x)=,则f[f(2)]=  .‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=,‎ ‎∴f(2)=2﹣2=,‎ f[f(2)]=f()==.‎ 故答案为:.‎ ‎14.设x、y满足约束条件,则z=2x﹣3y的最小值是 ‎【解答】解:由z=2x﹣3y得y=,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):‎ 平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=截距最大,此时z最小,‎ 由得,即A(3,4),‎ 代入目标函数z=2x﹣3y,‎ 得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6.‎ ‎∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6.‎ ‎15.点A,B,C,D均在同一球面上,AD⊥平面ABC,其中△ABC是等边三角形,AD=2AB=6,则该球的表面积为 48π .‎ ‎【解答】解:如图,O′为底面的中心,OO′⊥底面ABC,‎ E为AD中点,且OE⊥AD,‎ 在正三角形ABC中,由AB=3求得,‎ 又OO′=AE=3,‎ ‎∴OA=2,‎ ‎∴S球=4π×12=48π,‎ 故答案为:48π.‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和Sn满足,Sn=3an﹣2,数列{nan}的前n项和为Tn,则满足Tn>100的最小的n值为 7 .‎ ‎【解答】解:根据题意,数列{an}满足Sn=3an﹣2,①‎ 当n≥2时,有Sn﹣1=3an﹣1﹣2,②,‎ ‎①﹣②可得:an=3an﹣3an﹣1,变形可得2an=3an﹣1,‎ 当n=1时,有S1=a1=‎3a1﹣2,解可得a1=1,‎ 则数列{an}是以a1=1为首项,公比为的等比数列,则an=()n﹣1,‎ 数列{nan}的前n项和为Tn,则Tn=1+2×+3×()2+……+n×()n﹣1,③‎ 则有Tn=+2×()2+3×()3+……+n×()n,④‎ ‎③﹣④可得:﹣Tn=1+()+()2+……×()n﹣1﹣n×()n=﹣2(1﹣)﹣n×()n,‎ 变形可得:Tn=4+(2n﹣4)×()n,‎ 若Tn>100,即4+(2n﹣4)×()n>100,‎ 分析可得:n≥7,故满足Tn>100的最小的n值为7;‎ 故答案为:7.‎ ‎17. (1)sinBcos C=(2sinA-sinc)cos B ‎ sin(B+C)=2sinAcosB ‎ cosB=,B=。‎ ‎(2)a=3,c=1或a=1,c=3。‎ ‎18.在某次测验中,某班40名考生的成绩满分100分统计如图所示.‎ ‎(Ⅰ)估计这40名学生的测验成绩的中位数x0精确到0.1;‎ ‎(Ⅱ)记80分以上为优秀,80分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关?‎ 合格 优秀 合计 男生 ‎16‎ 女生 ‎4‎ 合计 ‎40‎ 附:‎ P(x2≥k0) ‎ ‎0.050‎ ‎0010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ x2=‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图易知:‎ ‎0.01×10+0.015×10+0.02×10=0.45;‎ 即分数在[40,70)的频率为:0.45,‎ 所以0.03×(x0﹣70)=0.5﹣0.45,‎ 解得:x0=≈71.7;‎ ‎∴40名学生的测验成绩的中位数为71.7;‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图,可得列联表如下:‎ 合格 优秀 合计 男生 ‎16 ‎ ‎6 ‎ ‎22 ‎ 女生 ‎14‎ ‎ 4‎ ‎ 18‎ 合计 ‎ 30‎ ‎ 10‎ ‎ 40‎ X2==≈0.135<3.841;‎ 所以没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关.‎ ‎19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AP=AD=2AB=2BC=2,点M在棱PC上.‎ ‎(Ⅰ)求证:AM⊥CD;‎ ‎(Ⅱ)当AM⊥平面PCD时,求三棱锥M﹣PAD的体积.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)设AD中点为E,连接AC、CE,由题意AE=BC,‎ ‎∵AD∥BC,∴四边形ABCE为平行四边形.‎ 又AB⊥BC,AB=BC=1,∴ABCE为正方形.‎ 在Rt△CDE中,CD=,又AC=,AD=2,‎ ‎∴AC2+CD2=AD2,∴CD⊥AC.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.‎ ‎∵PA,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ ‎∵AM⊂平面PAC,∴AM⊥CD.‎ 解(Ⅱ)由已知AM⊥平面PCD,∴AM⊥PC.‎ ‎∵AC=,PC=,,‎ ‎∴AM=,PM=,∴PM=,‎ C到平面PAD的距离等于B到平面PAD的距离,‎ 所以三棱锥M﹣PAD的高h==,‎ ‎∴三棱锥M﹣PAD的体积VM﹣PAD==.‎ ‎20.已知椭圆C:+=1(a<b<0)的离心率为,短轴长为4.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点N(0,2)作两条直线,分别交椭圆C于A,B两点(异于N),当直线NA,NB的斜率之和为4时,直线AB恒过定点,求出定点的坐标.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知:,2b=4,a2﹣c2=b2.‎ 解得a=2,b=c=2,所以椭圆方程为.‎ ‎(Ⅱ)当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由由kNA+kNB=4,得,‎ 整理可得2kx1x2+(m﹣2)(x1+x2)=4x1x2(*)‎ 联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+‎2m2‎﹣8=0,由题意知二次方程有两个不等实根,‎ ‎∴,.‎ 代入(*)得,整理得整理可得(m﹣2)(k﹣m﹣2)=0,.‎ ‎∵∵m≠2,∴m=k﹣2,∴y=kx+k﹣2,y+2=k(x+1),所以直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).‎ ‎ 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,y1),B(x0,y2),其中y2=﹣y1,∴y1+y2=0,‎ 由kNA+kNB=t,得,∴∴x0=﹣1.‎ ‎∴当直线AB的斜率不存在时,直线AB也过定点(﹣1,﹣2).‎ 综上所述,直线AB恒过定点(﹣1,﹣2).‎ ‎21.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a=1且x>0时,f(x)>mln(x+1),求m的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f′(x)=,即xex﹣ex+a≥0.‎ 设g(x)=xex﹣ex+a,则g′(x)=xex>0,‎ ‎∴g(x)>g(0)=a﹣1,则a﹣1≥0,得a≥1.‎ ‎(2)当a=1时,f(x)>mln(x+1)⇔ex﹣x﹣1>mxln(x+1)⇔ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1)>0,‎ 设h(x)=ex﹣x﹣1﹣mxln(x+1),则h′(x)=,‎ 再令H(x)=,则H′(x)=.‎ 若m,∵x>0,∴m()<1,则H′(x)>0,h′(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)是增函数,h(x)>h(0)=0,可得f(x)>mln(x+1)成立;‎ 若m>,H′(x)=在(0,+∞)上单调递增,H′(0)=1﹣‎2m<0,‎ H′(ln(‎2m))=‎2m﹣=>0.‎ ‎∴存在x0∈(0,ln(‎2m))使得H′(x0)=0,当x∈(0,x0)时,H′(x)<0,‎ ‎∴h(x)在(0,x0)上单调递减,可得h(x)<h(0)=0,即f(x)>mln(x ‎+1)不成立.‎ 综上可得,m的取值范围为(﹣∞,].‎ ‎22(t为参数),x2+y2=16‎ ‎(2)3‎
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