2020年西南名校高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)

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2020年西南名校高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析)

2020 年西南名校高考数学模拟试卷(理科)(3 月份) 一、单项选择题(本大题共 12小题,共 60.0分) 1. 设全集 全 集,集合 全 ሼ1 ሼ ͳ,集合 全 ሼݔ ሼ 䁪,则 ㌳ 全 ㌳ A. ሼ1 ሼ ݔ B. ሼሼ ݔ C. ሼሼ 䁪 D. ሼ1 ሼ ݔ .ݔ 若复数 全 1 ͳ㌳ͳ ㌳在复平面内对应的点在第一象限,其中ݔ ͳ 集,i为虚数单位,则实 数 a取值范围是㌳ A. 香䁥 ㌳ݔ B. 䁥ݔ ㌳ C. 䁥 ㌳ݔ D. 䁥香㌳ݔ 3. 已知命题 p:不等式 ሼݔ ሼݔ 香的解集是ሼሼ 香或 ሼ ㈠ 命题,ݔ q“在 中, ㈠ 是 ㈠ 的充要条件”则㌳ A. p真 q假 B. 假 C. 真 D. p假 q真 ͳ. 在等比数列ͳ中,首项ͳ1 全 ,公比 全 1 ݔ ,那么数列ͳ的前 5项和䁪的值是㌳ A. 31 ݔ B. 33 ݔ C. 3䁪 ݔ D. 3 ݔ 䁪. 若双曲线 ሼݔ ͳݔ ݔ ݔ 全 1ͳ ㈠ 香䁥 ㈠ 香㌳的一条渐近线与过其右焦点的直线 全 ሼݔ ݔ 䁪平行,则该双 曲线的实轴长为㌳ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某四面体的三视图如图所示,则该四面体的所有棱长中最长的是 ㌳ A. 䁪 ݔ B. 5 C. ͳ1 D. ͳ ݔ 7. 将函数 的图象向左平移 ͳ个单位得到 ሼ 的图象,则 ㌳ A. ሼ 全 sinݔሼ B. C. ሼ 全 sinݔሼ D. 8. 已知圆 C:ሼݔ ݔ ͳሼ 全 香,直线 l:ሼ 3 全 香,则㌳ A. l与 C相交 B. l与 C相切 C. l与 C相离 D. 以上三个选项均有可能 9. 若1 ሼ㌳䁪ݔ ͳ ሼ㌳䁪ݔ 全 ͳ1ሼ ͳݔሼݔ ͳ3ሼ3 ͳͳሼͳ ͳ䁪ሼ䁪,则 ͳ ͳ1 ͳ3 ͳ䁪 全 ㌳ A. 0 B. 1 C. 243 D. 2 10. 四面体 ABCD的外接球为 O, 平面 ABC, 全 ,ݔ 全 3香, 全 3,则球 O的表 面积为㌳ A. ݔ3 B. 16 C. ݔ1 D. ݔݔ 3 11. 己知函数 ሼ㌳ 全 lgሼ 1㌳ ͳሼ香 ͳ 1㌳有两个零点ሼ1,ሼݔ,则有㌳ A. ሼ1ሼݔ 1 B. ሼ1ሼݔ ሼ1 ሼݔ C. ሼ1ሼݔ 全 ሼ1 ሼݔ D. ሼ1ሼݔ ㈠ ሼ1 ሼݔ 12. 函数 ሼ㌳ 全 1 ݔ1 ሼͳ 1 ݔ ͳሼݔ,若 ሼ㌳的导函数 ̵ሼ㌳在 R上是增函数,则实数 a的取值范围是㌳ A. ͳ 香 B. ͳ 香 C. ͳ 香 D. ͳ ㈠ 香 二、填空题(本大题共 4小题,共 20.0分) 13. 已知ͳ 全 1䁥ݔሼ㌳, 全 䁥ݔ 1㌳,且ͳ ,则 ሼ 全 ______ . 14. 设 x、y满足约束条件 ሼ 1 香 3ሼ 1 香 ሼ ͳ ,若 全 ሼ 的最大值为 5a,则 ͳ 全________. 15. 在 中, 全 3 全 6,tan 全 3,点 D,E分别是边 AB,AC上的点,且 ‸ 全 3, 记 ‸,四边形 BCED的面积分别为1,ݔ,则 1 ݔ 的最大值为______ 16. 设抛物线 C:ݔ 全 ሼ的焦点为 F,直线 l过 F且与抛物线交于 P,Q两点.若 全 ݔ3 3 ,且 ㈠ ,则 全______. 三、解答题(本大题共 7小题,共 82.0分) 17. 已知数列ͳ中,ͳ1 全 且ͳݔ 全 ͳ1ݔ ݔ 䁥ݔ ㌳. 1㌳证明ͳ 是等比数列; ㌳设ݔ 全 ͳ 求数列的前,1ݔ n项和. 18. 如图,已知 平面 ACD,‸ 平面 ACD, 为等边三角形, 全 ‸ 全 F为,ݔ CD的中点. 1㌳求证:::平面 BCE; ㌳求二面角ݔ ‸ 的余弦值的大小. 19. 携号转网,也称作号码携带、移机不改号,即无需改变自己的手机号码,就能转换运营商,并 享受其提供的各种服务.2019年 11月 27日,工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运 营商为提质量保客户,从运营系统中选出 300名客户,对业务水平和服务水平的评价进行统计, 其中业务水平的满意率为 13 1䁪 ,服务水平的满意率为 ݔ 3 ,对业务水平和服务水平都满意的客户有 180 人. Ⅰ㌳完成下面 ݔ 列联表,并分析是否有ݔ .䁪的把握认为业务水平与服务水平有关; 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 Ⅱ㌳为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取 2名征求改进意见, 用 X表示对业务水平不满意的人数,求 X的分布列与期望; 附:ݔ 全 ͳ݀ ݔ ͳ ݀ ͳ ݀ , 全 ͳ ݀. ݔ 香.1香 香.香䁪 香.香ݔ䁪 香.香1香 香.香香䁪 香.香香1 k 香6.ݔ 3.ͳ1 䁪.香ݔͳ 6.63䁪 . 1香.ݔ .香ݔ 已知椭圆 ‸ ሼ ݔ ͳݔ ݔ ݔ 全 1ͳ ㈠ ㈠ 香㌳的右准线方程为 ሼ 全 又离心率为,ݔ ݔ ݔ ,椭圆的左顶点为 A, 上顶点为 B,点 P为椭圆上异于 A、B任意一点. 1㌳求椭圆的方程; ㌳若直线ݔ BP与 x轴交于点 M,直线 AP与 y轴交于点 N,求证; 为定值. 21. 已知函数 ሼ㌳ 全 ͳሼ ሼݔ 1 集㌳. 1㌳若函数在点1䁥1㌳㌳处的切线与直线 ሼݔ 1 全 香平行,求实数 m的值; ㌳若对任意ݔ ሼ 1䁥ǡ㌳,都有 ሼ㌳ 香恒成立,求实数 m的取值范围. 22. 在极坐标系中,曲线1: 全 香:ݔ曲线,ݔ 全 3,点 1䁥㌳,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. 1㌳求曲线1和ݔ的直角坐标方程; ㌳过点ݔ P的直线 l交1于点 A,B,交ݔ于点 Q,若 全 ,求的最大值. 23. 设函数 ሼ㌳ 全 lgሼ 1 ሼ ݔ ͳ㌳. 1㌳当 ͳ 全 䁪时,求函数 ሼ㌳的定义域; ㌳设ݔ ሼ㌳ 全 ሼ 1 ሼ ݔ ͳ,当 ሼ 䁥1െ时,ሼ㌳ݔ ሼ ͳ成立,求ݔ a的取值范围. 【答案与解析】 1.答案:D 解析: 本题考查集合的交并补运算,先求出集合 B的补集,再和集合 A取交集,画出数轴即可,注意求补 集时的边界问题. 解: 全 ሼሼ 或ݔ ሼ 䁪, 所以 ㌳ 全 ሼ1 ሼ ,ݔ 故选 D. 2.答案:A 解析: 本题主要考察复数的代数表示及其几何意义,属于基础题。 全 1 ͳ㌳ͳ ㌳ݔ 全 3ͳ ݔ ͳݔ㌳,依据题意复数 z在复平面内对应的点在第一象限,所以 3ͳ ㈠ 香 ݔ ͳݔ ㈠ 香 解得 香 ͳ 则实数,ݔ a取值范围是香䁥 。㌳ݔ 故选 A. 3.答案:C 解析:解:不等式 ሼݔ ሼݔ 香的解集是ሼሼ 香或 ሼ ㈠ ,ݔ 故 p为真命题, 在 中, ㈠ 是 ㈠ 的充要条件 故 q为真命题. 故 A,D错, 又 为真,故 B错. 故选 C. 本题考察了复合或、且、非㌳命题的判定,属于基础题. 4.答案:A 解析: 本题主要考查了等比数列的求和,属于基础题. 直接用等比数列的求和公式求解. 解:根据等比数列的前 n项和公式,可知䁪 全 ͳ11䁪㌳ 1 全 ㌳ݔ11 䁪െ ݔ11 全 31 ݔ , 故选 A. 5.答案:B 解析: 本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查. 求出右焦点的坐标,渐近线的斜率,然后求解 a即可. 解:直线 全 ሼݔ ݔ 䁪经过双曲线的右焦点,可得 全 䁪, 双曲线 ሼݔ ͳݔ ݔ ݔ 全 1ͳ ㈠ 香䁥 ㈠ 香㌳的一条渐近线与过其右焦点的直线 全 ሼݔ ݔ 䁪平行, 可得 ͳ 全 ݔ又ͳ,ݔ ݔ 全 䁪,解得 ͳ 全 1,所以双曲线的实轴长为:2. 故选:B. 6.答案:C 解析: 本题主要考查了三视图的还原问题,关键是得到原几何体,与垂直关系的确定,属基础题. 本题只要画出原几何体,理清位置及数量关系,由勾股定理可得答案. 解:由三视图可知原几何体为三棱锥, 其中底面 为俯视图中的直角三角形,为直角, 其中 全 3, 全 ͳ, 全 䁪, 底面 ABC,且 全 ͳ, 由以上条件可知,为直角,最长的棱为 PC, 在直角三角形 PBC中,由勾股定理得, 全 ݔ ݔ 全 ͳݔ 䁪ݔ 全 ͳ1. 故选 C. 7.答案:C 解析: 本题主要考查三角函数的图象平移变换,属于基础题. 解:将函数 的图象向左平移 ͳ个单位得到 ሼ 的图象, 则 . 故选 C. 8.答案:A 解析: 根据已知求出圆心到直线的距离 d,再根据 d与 r的大小关系即可判断直线与圆的位置关系. 本题考查点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系等知识,属于基础题. 解:圆 C:ሼݔ ݔ ͳሼ 全 香可化为 ሼ ݔ㌳ݔ ݔ 全 ͳ. 圆心 䁥香㌳,半径ݔ 全 .ݔ 圆心到直线 l:ሼ 3 全 香的距离为 ݀ 全 3ݔ ݔ1 全 1 ݔ1 1. ݀ . 直线 l与圆 C相交. 故选:A. 9.答案:C 解析: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项,二项式系数的性质,属于基础题.由已知结合 二项式系数的性质逐一求得 a,ͳ1,ͳ3,ͳ䁪的值,则答案可求. 解:由已知根据二项展开式的通项可得: 1 ͳ䁪 全 香,得 ͳ 全 1. 且ͳ1 全 䁪ݔ 1 䁪ݔ 1 全 香,ͳ3ݔ 全 3䁪ݔ 3 3䁪ݔ 3 全 16香,ͳ䁪 全 䁪䁪ݔ 䁪 䁪䁪ݔ 䁪 全 6ͳ. ͳ ͳ1 ͳ3 ͳ䁪 全 1 香ݔ 16香 6ͳ 全 .ͳ3ݔ 故选:C. 10.答案:B 解析:解:由题意,由正弦定理可得 外接圆的半径为 1 ݔ 3 1 ݔ 全 3, 平面 ABC, 全 ,ݔ 四面体 ABCD的外接球的半径为 1 3 全 ,ݔ 球 O的表面积为 ͳ ͳ 全 16. 故选:B. 由正弦定理可得 外接圆的半径,利用勾股定理可得四面体 ABCD的外接球的半径,即可求出 球 O的表面积. 本题考查球 O的表面积,考查学生的计算能力,确定四面体 ABCD的外接球的半径是关键. 11.答案:B 解析:解:因为函数 ሼ㌳有两个零点,故方程lgሼ 1㌳ 全 ͳሼ香 ͳ 1㌳有两个解ሼ1,ሼݔሼ1 ሼݔ㌳. 设函数 ሼ㌳ 全 lgሼ 1㌳,函数 ሼ㌳ 全 ͳሼ,则 ሼ㌳ 全 lgሼ 1㌳与 ሼ㌳ 全 ͳሼ的图象有两个交点, 由图象知,香 ሼ1 ݔ ሼݔ, 所以 lgሼ1 1㌳ 全 ͳሼ1,lgሼݔ 1㌳ 全 ͳሼݔ,因为 香 ͳ 1,所以ͳሼ1 ㈠ ͳሼݔ, 得 lgሼ1 1㌳ ㈠ lgሼݔ 1㌳,lgሼ1 1㌳ሼݔ 1㌳ 香,即ሼ1 1㌳ሼݔ 1㌳ 1,整理得,ሼ1ሼݔ ሼ1 ሼݔ. 故选:B. 因为函数 ሼ㌳有两个零点,故方程lgሼ 1㌳ 全 ͳሼ香 ͳ 1㌳有两个解ሼ1,ሼݔሼ1 ሼݔ㌳, 设函数 ሼ㌳ 全 lgሼ 1㌳,函数 ሼ㌳ 全 ͳሼ,则 ሼ㌳ 全 lgሼ 1㌳与 ሼ㌳ 全 ͳሼ的图象有两个交点, 作出两个函数的图象,进而求解; 考查绝对值函数的求解,转化法,指数函数对数函数图象的理解,属于中档题; 12.答案:B 解析:解:ሼ㌳ 全 1 ݔ1 ሼͳ 1 ݔ ͳሼݔ,̵ሼ㌳ 全 1 3 ሼ3 ͳሼ, ̵ሼ㌳在 R上是增函数, ሼ㌳ 全 ሼݔ ͳ 香在 R上恒成立, 即 ͳ ሼݔ,则 ͳ 香. 实数 a的取值范围是 ͳ 香. 故选:B. 求出原函数的导函数,二次求导后,由 ሼ㌳ 香在 R上恒成立可得实数 a的取值范围. 本题考查利用导数研究函数的单调性,熟记初等函数的求导公式是关键,是中档题. 13.答案:1 解析:解: ͳ , ͳ 全 ݔ ሼݔ 全 香,解得 ሼ 全 1. 故答案为:1. 由ͳ ,可得ͳ 全 香,解出即可. 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 14.答案:1 解析: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利用平移确定目标 函数取得最优解的条件是解决本题的关键. 解:作出不等式组对应的平面区域如下图:黄色阴影部分㌳. 由 全 ሼ 得 全 ሼ ,平移直线 全 ሼ , 由图象可知当直线 全 ሼ 经过点 B时,直线 全 ሼ 的截距最大,此时 z最大. 由 3ሼ 1 全 香 ሼ 全 ͳ ,得 ͳ䁥3ͳ 1 , 即目标函数 全 ሼ 的最大值为 ͳͳ 1,又知目标函数 全 ሼ 的最大值为 5a ,则有 ͳͳ 1 全 䁪ͳ, 可得 ͳ 全 1. 故答案为 1 . 15.答案: 1 3 解析:解:由题意可知 全 ,香ݔ1 全 1 ݔ 香ݔ1 全 3 3. 则 1 ݔ 全 1 3 31 全 1 3 3 1 1, 当1最大时, 1 ݔ 的最大,故只需求1最大值即可. 设 全 ሼ香 ሼ 6㌳,‸ 全 香 ,㌳ݔ 由余弦定理得 ݔ‸ 全 ሼݔ ݔ 香,即ݔሼ香1ݔ 全 ሼݔ ݔ ሼ, 从而 ሼݔ ሼ 全 3ሼ,即 ሼ 3.当且仅当 ሼ 全 全 3时等号成立. 1 全 1 ݔ ሼ 全 3 ͳ ሼ 3 ͳ 3. 则 1 ݔ 的最大值为 1 3 . 故答案为: 1 3 . 求得 全 3 3.又 1 ݔ 全 1 3 31 全 1 3 3 1 1,只需当1最大时, 1 ݔ 的最大,只需求1最大值即可. 本题考查三角形的面积计算,基本不等式的应用,考查了转化思想,属于中档题. 16.答案:3 解析: 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查运算求解能力.属于中档题. 设出直线方程,与抛物线方程联立,求出直线方程,转化求解即可. 解:抛物线 C:ݔ 全 ሼ的焦点为 ,䁥香㌳ݔ 直线 l过 F,设直线 l的方程为: 全 ሼ ,㌳ݔ 代入抛物线方程,可得:ݔሼݔ ͳݔ ㌳ሼ ͳݔ 全 香, 由 全 ݔ3 3 ,可得ሼ1 ሼݔ 全 ݔ3 3 , 即: ͳݔ ݔ ͳ 全 ݔ3 3 , 解得 全 3,不妨取 全 3, 解得ሼ1 全 6,则ሼݔ 全 ݔ 3 , 因为 ㈠ ,所以 全 ሼ1 ݔ 全 , 全 ሼݔ ݔ 全 3 , 所以: 全 3 全 3. 故答案为:3. 17.答案:解:1㌳由已知 , 可得: , , , 即 , 因为 , 又因为 , 所以 是以 1为首项,2为公比的等比数列. ㌳由1㌳得ݔ , 即 , 所以 , 设 ,且前 项和为 , 所以 , , 得: 1 ݔ 全 1 1 ݔ 1 ݔݔ 1 3ݔ 1 1ݔ ㌳ ݔ 全 1 1 ݔ 1 1 1ݔ ݔ11 ݔ 全 ݔ ݔ ݔ , 所以 , 因此 . 解析:本题考查数列的递推关系、等比数列的判定以及错位相减法求和,属于中档题. 1㌳根据数列 ͳ 的递推公式利用待定系数法转换,即可证明 ͳ 是以 1为首项,2为公比的等比 数列. ㌳由1㌳可求得ݔ ͳ 的通项,从而得到 的通项,利用错位相减法得出 的表达式,从而求得. 18.答案:证明:1㌳设 全 ‸ 全 ݔ 全 ,ͳݔ 以 A为原点,AC,AB所在的直线分别作为 x轴、z轴,以过点 A在平面 ACD内和 AC垂直的直线 作为 y轴,建立如图所示的坐标系, 香䁥0,香㌳,ݔͳ䁥0,香㌳,香䁥0,ͳ㌳,ͳ䁥 3ͳ䁥香㌳,‸ͳ䁥 3ͳ䁥ݔͳ㌳. 为 CD的中点, 3ͳ ݔ 䁥 3ͳ ݔ 䁥香㌳, 全 3 ݔ ͳ䁥 3ͳ ݔ 䁥香㌳,‸ 全 ͳ䁥 3ͳ䁥ͳ㌳, 全 ,ͳ䁥0ݔ ͳ㌳, 全 1 ݔ ‸ ㌳, 设 CE的中点为 G,则 全 , ::,又 平面 BCE, 平面 BCE, ::平面 BCE. 解:ݔ㌳设平面 BCE的一个法向量 全 ሼ䁥y,㌳, 则 ‸ 全 ͳሼ 3ͳ ͳ 全 香 全 ͳሼݔ ͳ 全 香 ,令 ሼ 全 1,得 全 1䁥 3䁥ݔ㌳. 设平面 BDE的一个法向量 全 䁥j,㌳, 全 ͳ䁥 3ͳ䁥 ͳ㌳, 则 ‸ 全 ͳ 3ͳ݆ ͳ 全 香 全 ͳ 3ͳ݆ ͳ 全 香 ,令 全 3,得 全 3䁥 1䁥香㌳. cos 䁥 ㈠全 全 6 ͳ . 由图可知二面角 ‸ 为锐二面角, 故二面角 ‸ 的余弦值为 6 ͳ . 解析:本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 1㌳设 全 ‸ 全 ݔ 全 ͳ,以以ݔ A为原点,AC,AB所在的直线分别作为 x轴、z轴,以过点 A 在平面 ACD内和 AC垂直的直线作为 y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明 ::平面 BCE. ㌳求出平面ݔ BCE的一个法向量和平面 BDE的一个法向量,利用向量法能求出二面角 ‸ 的 余弦值. 19.答案:解:Ⅰ㌳由题意知,对业务水平满意的有 3香香 13 1䁪 全 ,6香人ݔ 对服务水平满意的有 3香香 ݔ 3 全 ,香香人ݔ 对业务水平和服务水平都满意的客户有 180人, 从而得到如下 ݔ :列联表ݔ 对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计 对业务水平满意人数 180 80 260 对业务水平不满意人数 20 20 40 合计 200 100 300 经计算得 , 所以有 的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. Ⅱ㌳ 的可能值为 0,1,2. 则 , , , X 0 1 2 P 316 ͳ䁪 16香 ͳ䁪 1 ͳ䁪 . 解析:本题考查独立性检验以及离散型随机变量的分布列、数学期望和概率的求法,属于中档题. Ⅰ㌳求出列联表,然后直接代入公式即可求出结果; Ⅱ㌳ 的可能值为 .分别求出概率即可求出分布列和数学期望.ݔ,0,1 20.答案:解:1㌳ 右准线方程为 ሼ 全 离心率为,ݔ ݔ ݔ , 可得得ͳݔ 全 䁥ݔ ͳ 全 ݔ ݔ , 又ͳݔ 全 ݔ ,ݔ 解得 ͳ 全 ,ݔ 全 1. 椭圆的方程为: ሼݔ ݔ ݔ 全 1. ㌳证明:由1㌳知ݔ ,䁥香㌳,香䁥1㌳ݔ 设 ሼ香䁥香㌳, 则ሼ香ݔ ݔ香ݔ 全 ,ݔ 当ሼ香 全 香时,香䁥香㌳,香䁥 1㌳, 全 ͳݔ 全 ݔ .ݔ 当ሼ香 香时, 直线 PA的方程为: 全 香 ሼ香 ݔ ሼ ݔ , 令 ሼ 全 香,得: 全 香ݔ ሼ香 ݔ , 故: 全 1 香ݔ ሼ香 ݔ ,直线 PB的方程为: 全 香1 ሼ香 ሼ 1, 令 全 香,得:,ሼ 全 ሼ香 1香 , 全 ݔ ሼ香 1香 , 即 全 ሼ香 ݔ 香ݔ ݔ ሼ香 ݔ 香1 全 ሼ香 ݔݔݔ香ݔݔ ݔሼ香香ݔ ሼ香ͳ香ݔ ሼ香香ሼ香 香ݔ ݔ 全 ݔ .为定值ݔ 综上所述, 为定值 ݔ .ݔ 解析:本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,属中档题. 1㌳结合椭圆的准线方程及离心率,求出 a和 b,即可得到椭圆的标准方程; ㌳写出直线方程,表示ݔ M与 N的坐标,求出 ,求解其为定值即可. 21.答案:解:1㌳由题知:̵ሼ㌳ 全 ͳ ሼ ሼ,函数ݔ ሼ㌳在 ሼ 全 1处的切线斜率为 2, 即̵1㌳ 全 即,ݔ ͳ ݔ 全 得,ݔ 全 1,经检验 全 1满足题意, 实数 m的值为 1. ㌳由题知:ͳሼݔ ሼݔ 1 香在 ሼ 1䁥ǡ㌳上恒成立, 即 ͳሼ1 ሼݔ 在 ሼ 1䁥ǡ㌳上恒成立. 令 ሼ㌳ 全 ͳሼ1 ሼݔ ,ሼ 1䁥ǡ㌳, 所以̵ሼ㌳ 全 1ͳሼ㌳ݔ ሼ3 , 令̵ሼ㌳ ㈠ 香,则 1ሼ ǡ 1 ͳ; 令̵ሼ㌳ 香,则ǡ 1 ͳ ሼ ǡ. ሼ㌳在1䁥ǡ 1 ͳ㌳上单调递增,在ǡ 1 ͳ䁥ǡ㌳上单调递减. ሼ㌳ͳሼ 全 ǡ 1 ͳ㌳ 全 ݔ ǡ ǡ , ݔ ǡ ǡ . 故 m的取值范围是 ݔ ǡ ǡ 䁥 ㌳. 解析:本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数恒成立问题,是中档题. 1㌳求出函数的导数,根据切线斜率得到关于 m的方程,求解验证即可; ㌳问题转化为ݔ ͳሼ1 ሼݔ 在 ሼ 1䁥ǡ㌳上恒成立.令 ሼ㌳ 全 ͳሼ1 ሼݔ ,ሼ 1䁥ǡ㌳,利用导数结合函数的单 调性求解即可. 22.答案:解:1㌳曲线1: 全 ,ݔ 所以:曲线1的直角坐标方程为:ሼݔ ݔ ݔ 全 香; 曲线ݔ:香 全 3, 所以:曲线ݔ的直角坐标方程为:ሼ 全 3. ㌳的直角坐标为ݔ 1䁥香㌳, 设直线 l的倾斜角为,香 ݔ ㌳, 则直线 l的参数方程为: ሼ 全 1 ͳ香 全 ͳ ͳ为参数,香 ݔ ㌳ 代入1的直角坐标方程整理得, ͳݔ ݔ 香㌳ͳ 1 全 香, ͳ1 ͳݔ 全 ݔ 香㌳ 直线 l的参数方程与 ሼ 全 3联立解得, ͳ3 全 ͳ cos , 由 t的几何意义可知, 全 ݔ 香㌳ 全 全 ͳ cos , 整理得, ͳ 全 ݔ 香㌳香 全 ݔ 香ݔ 1 全 ݔsinݔ ͳ ㌳ 1, 由 香 ,ݔ ͳ ݔ ͳ 䁪 ͳ , 所以, 当 ݔ ͳ 全 即,ݔ 全 时, 有最大值 1 ͳ ݔ 1㌳. 解析:1㌳直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化. .㌳利用一元二次方程根与系数的关系,利用三角函数的变换求出结果ݔ 本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,一元二次方程根与系数的关 系的应用,三角函数的关系式的恒等变换. 23.答案:解:1㌳当 ͳ 全 䁪时,要使函数 ሼ㌳有意义,需满足ሼ ሼ ݔ 䁪 ㈠ 香, ሼ 1 ሼ ݔ 䁪 ㈠ 香 ሼ 䁥ݔ ሼݔ 6 ㈠ 香䁥或 ݔ ሼ 1䁥 ݔ 香䁥 或 ሼ 1䁥 ሼݔ ͳ ㈠ 香䁥 ሼ 3或 ሼ ㈠ .ݔ 所以函数的定义域为 䁥 3㌳ 䁥ݔ ㌳. ㌳当ݔ ሼ 䁥1െ时,ሼݔ 1 ሼ ݔ ͳ ሼ ,ͳ成立ݔ 即 ͳ 3 ሼ ͳ成立,所以ݔ ͳ 3且 ͳ 3 ሼ ͳݔ ͳ 3, 可得 ሼ 3 1 ͳ ሼ 3,而 ሼ 䁥1െ,ሼݔ 3 1 䁪 3 䁥 ݔ 3 െ,ሼ 3 1䁥ͳെ, 所以 a的取值范围是 ݔ 3 䁥1െ. 解析:本题主要考查的是绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,属于中档题. 1㌳转化为解不等式ሼ ሼ ݔ 䁪 ㈠ 香问题,再分段讨论去绝对值解不等式即可; ㌳当ݔ ሼ 䁥1െ时,先对ሼݔ 1 ሼ ݔ ͳ ሼ ͳ转化为ݔ ͳ 3 ሼ .ͳ,再求解即可ݔ
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