2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研监测数学试题

2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研监测数学试题

安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学试题 （考试时间：120 分钟，满分：150 分） 安庆市高中学业质量检测命题研究组 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 ，集合 ，集合 ， 则 A. B. C. D. 2. 计算： A. 1 B. C. D. 3. 已知幂函数 在区间 上是单调递增函数，则 的值为 A. B. C. D. 4. 在△ 中，已知 ，则此三角形一定为 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 5. 若实数 ， 满足 ，则下列不等关系成立的是 A. B. C. > D. 6. 下列关系式一定正确的是 A. B. C. D. 7. 若函数 的图象经过点 ，则其图象必经过点 A. B. C. D. 8. 已知 ，则 { }2 3 5 7 11 13 17 19U ，，， ， ， ， ，= { }2 7 11A ， ，= { }5 11 13B ， ，= ( ) =BACU  { }5 { }13 { }5 13， { }11 13， 3 3log 2 log 6- = 1- 3log 2- 32log 2- ( ) ( ) axaaxf ⋅−−= 222 ( )+∞,0 a 3 1- 3- 1 ABC sin 2sin cosA B C= m n 2 2m n< 2 2log logm n< m n< m 1 n 1 3 3m n< sin 2 0< cos3 0> ( )sin π 3 sin3- = - αα sin22sin ≤ sin 2y x= ( )0 0P x y， ( )0 0,x y-      + 00 ,2 yx π      − 00 ,2 yx π ( )0 0π x y，- 2tan =α =+     − απα 2tan4tan A. B. 1 C. D. 9. 函数 （其中 ）的图象如图所示，则 ， 的 值为 A． ， B． ， C． ， D． ， 10. 某数学课外兴趣小组对函数 的图象与性质进行了探究，得到下列四条结论： ① 该函数的值域为 ； ② 该函数在区间 上单调递增；③ 该函数的图象 关于直线 对称；④ 该函数的图象与直线 不可能有交点. 则其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．函数 在区间 上的图象为 A． B． C． D． 12. 已知函数 是定义在 上的函数， . 若对任意的 ， 且 有 ，则不等式 的解集为 1- 5 3 17 15 ( ) ( )ϕω += xAxf sin πϕω <>> ,0,0A ω ϕ 3ω = π 4 ϕ = 3ω = π 4 ϕ = − 6ω = π 2 ϕ = − 6ω = π 2 ϕ = ( ) 12 xf x -= ( )+∞,0 [ )+∞,0 1x = ( )Raay ∈−= 2 2019 sin log 2 2x x xy − = − [ ) ( ]3,0 0,3−  ( )f x R ( )1 1f = 1x Rx ∈2 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 3f x f x x x - >-- ( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−<− xxf A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卷中的相应区域， 答案写在试题卷上无效。 13. 函数 的定义域为______________. 14. 计算： . 15. 已 知 函 数 ， 则 ________. 16.若 为不等边△ 的最小内角，则 的值域为____________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 已知集合 ，集合 . （Ⅰ）当 时，求 ； （Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围. 18.（本题满分 12 分） 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，终边经过点 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 19.（本题满分 12 分） 已知函数 图象两条相邻对称轴间的距离为 . （Ⅰ）求函数 在 上的单调递增区间； （Ⅱ）将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求函 数 图象的对称中心坐标. 20.（本题满分 12 分） 已知函数 ，其中 ，且 .      1,3 2      ∞− 3 4,      3 4,3 2      +∞,3 4 ( ) ( ) 2lg 1 2f x x x= + + - =°°+°° 21sin51sin21cos39sin ( ) 2 tan4 1xf x x= ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2f f f f f- + - + + + = A ABC ( ) 2sin cos 1 sin cos A Af A A A= + + { }1| ≥= xxA { }RaaxaxB ∈+≤≤−= ,33| 4a = A B AB ⊆ a α x P ( )3 4，- αα cossin − ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin ( ) ( )0cos6sin >+     −= ωωπω xxxf π 2 ( )f x [ ]0 π， ( )y f x= π 6 ( )y g x= ( )y g x= ( ) 2 4f x ax bx= + + Rba ∈, 0≠a （Ⅰ）若函数 的图象过点 ，且函数 只有一个零点，求函数 的解析式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 ，函数 在区间 上单调 递增，求实数 的取值范围. 21.（本题满分 12 分） 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某 水域投放一定面积的该生物，经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米，经过 3 个月其覆盖面积 达到 27 平方米.该生物覆盖面积 （单位：平方米）与经过时间 个月的关系有两 个函数模型 与 可供选择. （Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式； （Ⅱ）问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍？（参考数据： ） 22.（本题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）是否同时存在实数 和正整数 ，使得函数 在 上恰有 2019 个零点？若存在，请求出所有符合条件的 和 的值；若不存在，请说明理由. 安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学参考答案 ( )y f x= ( )3 1，- ( )f x ( )f x Za ∈ ( ) ( )[ ]kxxfxg −= ln [ )+∞,2 k y ( )Nxx ∈ ( )1,0 >>⋅= akaky x ( )0y p x q p= + > 48.03lg,30.02lg,73.13,41.12 ≈≈≈≈ ( ) 1cos4sin22 −⋅     += xxxf π    −∈ 8,8 ππ x ( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf m a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]0 πn， a n 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1.C 解析：由条件知 ，则 ，选 C. 2.B 解析： .故选 B. 3.A 解析：由题意知 ，解得 或 ，又 在区间 上是 单调递增函数得 ，故选 A. 4.C 解析：由已知得 ，于是 ，即 ，所以 ，故此三角形是等腰三角形， 选 C. 5.D 解析：由 得 ，但不知 的符号，于是无法判断 的大小， A 错误；同理排除 B，C.因为 在 上单调递增，所以可得 ，故选 D. 6.D 解析：2 弧度的角是第二象限角，所以 ，排除 A；3 弧度的角是第二象限角， 所以 ，排除 B； ，排除 C； ， D 成立.故选 D. 7.C 解 析 ： 由 已 知 得 ， 则 ， A 错 误 ； ，B 错误； ，C 正确； ，D 错误.故选 C. 8.A 解析：由已知得 ，故选 A. 9. A 解析：由函数 图象知 ， ， ，所以 ， { }3,5,13,17,19UC A = ( ) =BACU  { }5,13 3 3 3 3 2 1log 2 log 6 log log 16 3- = = = - 2 2 2 1a a- - = 3a = 1a = - ( )f x ( )+∞,0 3a = ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + = sin cos cos sin 0B C B C- = ( )sin 0B C- = B C= 2 2m n< m n< ,m n 2 2log ,logm n 3y x= R 3 3m n< sin 2 0> cos3 0< ( ) 3sin3sin =−π αααα sin2cossin22sin ≤= 0 0sin 2y x= ( )0 0 0sin 2 sin 2x x y- = - = - ( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx −=−=+=     + ππ ( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx ==−=     − ππ ( ) ( ) 0000 2sin22sin2sin yxxx −=−=−=− ππ 41 22 21 12 tan1 tan2 tan1 1tan2tan4tan 2 − ×++ −=−++ −=+     − α α α ααπα 1 4 13 3= - = - ( )f x 1A = 6412 5 4 πππ =−=T ω ππ 2 3 2 ==T 3=ω 又点 在图象上，知 ，解得 ，符合 ，故选 A. 10.B 解析：函数 的值域为 ，①错误；函数 在区间 上单调递减， 在 上单调递增，②错误；函数 的图象关于直线 对称，③正确；因 ，所以函数 的图象与直线 不可能有交点，④正确.正确 结论的个数为 2，故选 B. 11.B 解析：令 （ ）， ，所以函数 f(x)为奇函数， 图象关于原点对称，由此排除 A，D 两个选项． 当 时， ，而 为第二象限角，所以 ，而 ， 所以 ，由此排除 C 选项．故 B 选项符合． 故选 B． 12. C 解 析 ： 不 等 式 可 化 为 ， 即 ，则函数 是 上的增函数，又 ，于 是不等式 可化为 ，所以 ，即 ，解得 ，故选 C. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横线上） 13. 解析：由已知得 ，解得 且 ，故其定义域为 . ( ) 2019 sin log 2 2x x xf x − = − [ ) ( ]3,0 0,3x −∈  ( ) ( ) 2019 sin log 2 2x x xf x f x− − = − = − − 3x = 2019 sin3 63log 8 y = 3 sin3 0> 2019 63log 08 > 2019 sin3 063log 8 y = >      0,4 π πϕπ =+ 4 3 4 πϕ = πϕ < ( )f x [ )+∞,1 ( )f x [ )0,1 [ )+∞,1 ( )f x 1x = 02 ≤−= ay ( )f x ( )Raay ∈−= 2 ( ) ( )1 2 1 2 3f x f x x x - >-- ( ) ( ) ( )1 2 1 23f x f x x x- < - - ( ) ( )1 1 2 23 3f x x f x x+ < + ( ) ( ) 3F x f x x= + R ( )1 4F = ( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−<− xxf ( )[ ] ( )123log 2 FxF <− ( )2log 3 2 1x - < 0 3 2 2x< - < 2 4 3 3x< < ( ) ( )+∞− ,22,1     ≠− >+ 02 01 x x 1x >- 2≠x ( ) ( )+∞− ,22,1  14. 解析： . 15.5 解析：由已知得 ， 于 是 ， 又 ， 则 . 16. 解 析 ： 由 已 知 得 ， 设 ， 则 ， ， 于 是 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 解：（Ⅰ）当 时， ，…………… 2 分 又 ，则 ；……………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 当 时， ，解得 ，符合题意；……………6 分 当 时， ，解得 ，符合题意. ……………8 分 综上所述，实数 的取值范围为 .……………10 分 18.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知可得 ，……………1 分 根据三角函数的定义知 ，……………3 分 3 2 sin39 cos21 sin51 sin 21 sin39 cos21 cos39 sin 21+ = +        ( ) 3sin 39 21 sin 60 2= + = =   ( ) ( ) ( )2 2tan tan4 1 4 1x xf x f x x x-+ - = + + + -+ + 214 42 14 2 =+ ×++= x x x ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2f f f f- + = - + = ( )0 1f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2 5f f f f f- + - + + + = ( ]12,0 −     ∈ 3,0 π A sin cost A A= + ( ]2,14sin2cossin ∈     +=+= π AAAt 22sin cos 1A A t= - ( ) ( ]12,011 1 cossin1 cossin2 2 −∈−=+ −=++= tt t AA AAAf 4a = [ ]1,7B = - [ )+∞= ,1A [ )+∞−= ,1BA  [ )+∞= ,1A φ=B 3 3a a- > + 0a < φ≠B    ≥− +≤− 13 33 a aa 20 ≤≤ a a ( ]2,∞− ( ) 223 4 5OP = + - = 5 3cos,5 4sin =−= αα 所以 .……………5 分 （Ⅱ）根据诱导公式知 …9 分 .……………12 分 或者由（Ⅰ）可知 ，……………7 分 根据诱导公式知 ……10 分 .……………12 分 19.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由已知得 ，……………3 分 于是 ，所以 ，即 ，……………5 分 由 ，解得 ， 又 ，所以函数 在 上的单调递增区间为 .………7 分 （Ⅱ）由条件得 ，……………9 分 令 ，解得 ( ) xxxf ωπω cos6sin +     −= 5 7 5 3 5 4cossin −=−−=− αα ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin αα α αα αα sincos sin2 sincos sinsin − −=− −−= 7 8 5 7 5 8 5 4 5 3 5 42 ==     −−     −×− = 3 4tan −=α ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin α α αα α αα αα tan1 tan2 sincos sin2 sincos sinsin − −=− −=− −−= 7 8 3 7 3 8 3 41 3 42 ==     −−     −×− = xxx ωωω coscos2 1sin2 3 +−=      +=+= 6sincos2 1sin2 3 πωωω xxx ππ ω π =×== 22 2T 2=ω ( )      += 62sin π xxf 226222 πππππ +≤+≤− kxk 63 ππππ +≤≤− kxk [ ]π,0∈x ( )f x [ ]π,0         πππ ,3 2,6,0 xxxgy 2cos662sin)( =    +     +== ππ 22 ππ += kx Zkkx ∈+= ,42 ππ 故 图象的对称中心坐标为 ..……………12 分 20.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由题意可得 ，整理得 ，……………2 分 消去 得 ，解得 或 ……………4 分 所以当 时， ， ； 当 时， ， . 综上所述，函数 的解析式为 或 .………6 分 （Ⅱ）因 ，于是 ，……………7 分 ，……………8 分 要使函数 在区间 上单调递增， 则必须满足 ，……………10 分 解得 ，所以实数 的取值范围为 .……………12 分 21.（本题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因函数 中， 随 的增长而增长的速度越来越快，而函 数 中， 随 的增长而增长的速度越来越慢，根据已知条件应选 更合适. ……………3 分 由已知得 ，解得 ，……………5 分 所以函数解析式为 .……………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， ，所以原先投放的此生物的面积为 8 平方米； ( )y g x= ( )Zkk ∈     + 0,42 ππ    =−=∆ =+−− 016 143)3( 2 2 ab ba    = += ab ab 16 13 2 b 29 10 1 0a a- + = 1a = 1 9a = 1a = 4b = ( ) 2 4 4f x x x= + + 1 9a = 4 3b = ( ) 21 4 49 3f x x x= + + ( )f x ( ) 2 4 4f x x x= + + ( ) 21 4 49 3f x x x= + + Za ∈ ( ) 2 4 4f x x x= + + ( ) ( )[ ] ( )[ ]44lnln 2 +−+=−= xkxkxxfxg ( )g x [ )+∞,2 ( )   >+×−+ ≤−− 04242 22 4 2 k k 8k < k ( )8,∞− ( )1,0 >>⋅= akaky x y x ( )0y p x q p= + > y x ( )1,0 >>⋅= akaky x    =⋅ =⋅ 27 18 3 2 ak ak    = = 8 2 3 k a ( )Nxy x ∈    ⋅= 2 38 0x = 8y = 设 经 过 个 月 该 水 域 中 此 生 物 的 面 积 是 当 初 投 放 的 1000 倍 ， 则 有 ，……………8 分 解得 ，……………11 分 所以约经过 17 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍. ……………12 分 22.（本题满分 12 分） 解：由已知得 ……………2 分 （Ⅰ）当 时， ， ， 要使 对任意 恒成立，令 ，则 ， 对任意 恒成立， 只需 ，……………4 分 解得 ，所以实数 的取值范围为 .……………5 分 （Ⅱ）假设同时存在实数 和正整数 满足条件，函数 在 上恰有 2019 个零点，即函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点. ………6 分 当 时， ， ①当 或 时，函数 与直线 在 上无交点， ②当 或 时，函数 与直线 在 上仅有一个交点， 此时要使函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点，则 ；…8 分 [0,π] x 100082 38 ×=    ⋅ x 1730.048.0 3 2lg3lg 1000lg ≈−≈−=x ( ) 1cos4sin22 −⋅     += xxxf π 1cos4sincos4cossin22 −⋅     += xxx ππ      +=+=−+= 42sin22cos2sin1cos2cossin2 2 π xxxxxx    −∈ 8,8 ππ x    ∈+ 2,042 ππ x [ ]1,042sin ∈     + π x ( ) [ ]2,0∈xf ( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf    −∈ 8,8 ππ x ( )t f x= [ ]2,0∈t ( ) 02 ≤−−= mmttth [ ]2,0∈t ( ) ( )   ≤−−= ≤−= 0222 00 mmh mh 222 −≥m m [ )+∞− ,222 a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]πn,0 ( )y f x= y a= [ ]πn,0 [ ]π,0∈x    ∈+ 4 9,442 πππ x 2a > 2a < - ( )y f x= y a= [ ]πn,0 2a = 2a = - ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 2019n = ③当 或 时，函数 与直线 在 上有两个交点，此 时函数 与直线 在 上有偶数个交点，不可能有 2019 个交点，不符合； ④当 时，函数 与直线 在 上有 3 个交点，此时要使函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点，则 ；……………11 分 综上可得，存在实数 和正整数 满足条件，当 时 ；当 时， ；当 时， ．……………12 分 [0,π] [0,π] 2 1a- < < 1 2a< < ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 1a = ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 1009n = a n 2a = 2019n = 2a = - 2019n = 1a = 1009n =