2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研监测数学试题

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2019-2020学年安徽省安庆市高一上学期期末教学质量调研监测数学试题

安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学试题 (考试时间:120 分钟,满分:150 分) 安庆市高中学业质量检测命题研究组 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 ,集合 ,集合 , 则 A. B. C. D. 2. 计算: A. 1 B. C. D. 3. 已知幂函数 在区间 上是单调递增函数,则 的值为 A. B. C. D. 4. 在△ 中,已知 ,则此三角形一定为 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 5. 若实数 , 满足 ,则下列不等关系成立的是 A. B. C. > D. 6. 下列关系式一定正确的是 A. B. C. D. 7. 若函数 的图象经过点 ,则其图象必经过点 A. B. C. D. 8. 已知 ,则 { }2 3 5 7 11 13 17 19U ,,, , , , ,= { }2 7 11A , ,= { }5 11 13B , ,= ( ) =BACU  { }5 { }13 { }5 13, { }11 13, 3 3log 2 log 6- = 1- 3log 2- 32log 2- ( ) ( ) axaaxf ⋅−−= 222 ( )+∞,0 a 3 1- 3- 1 ABC sin 2sin cosA B C= m n 2 2m n< 2 2log logm n< m n< m 1 n 1 3 3m n< sin 2 0< cos3 0> ( )sin π 3 sin3- = - αα sin22sin ≤ sin 2y x= ( )0 0P x y, ( )0 0,x y-      + 00 ,2 yx π      − 00 ,2 yx π ( )0 0π x y,- 2tan =α =+     − απα 2tan4tan A. B. 1 C. D. 9. 函数 (其中 )的图象如图所示,则 , 的 值为 A. , B. , C. , D. , 10. 某数学课外兴趣小组对函数 的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论: ① 该函数的值域为 ; ② 该函数在区间 上单调递增;③ 该函数的图象 关于直线 对称;④ 该函数的图象与直线 不可能有交点. 则其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11.函数 在区间 上的图象为 A. B. C. D. 12. 已知函数 是定义在 上的函数, . 若对任意的 , 且 有 ,则不等式 的解集为 1- 5 3 17 15 ( ) ( )ϕω += xAxf sin πϕω <>> ,0,0A ω ϕ 3ω = π 4 ϕ = 3ω = π 4 ϕ = − 6ω = π 2 ϕ = − 6ω = π 2 ϕ = ( ) 12 xf x -= ( )+∞,0 [ )+∞,0 1x = ( )Raay ∈−= 2 2019 sin log 2 2x x xy − = − [ ) ( ]3,0 0,3−  ( )f x R ( )1 1f = 1x Rx ∈2 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 3f x f x x x - >-- ( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−<− xxf A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卷中的相应区域, 答案写在试题卷上无效。 13. 函数 的定义域为______________. 14. 计算: . 15. 已 知 函 数 , 则 ________. 16.若 为不等边△ 的最小内角,则 的值域为____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 已知集合 ,集合 . (Ⅰ)当 时,求 ; (Ⅱ)若 ,求实数 的取值范围. 18.(本题满分 12 分) 已知角 的顶点在坐标原点,始边与 轴非负半轴重合,终边经过点 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的值. 19.(本题满分 12 分) 已知函数 图象两条相邻对称轴间的距离为 . (Ⅰ)求函数 在 上的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象,求函 数 图象的对称中心坐标. 20.(本题满分 12 分) 已知函数 ,其中 ,且 .      1,3 2      ∞− 3 4,      3 4,3 2      +∞,3 4 ( ) ( ) 2lg 1 2f x x x= + + - =°°+°° 21sin51sin21cos39sin ( ) 2 tan4 1xf x x= ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2f f f f f- + - + + + = A ABC ( ) 2sin cos 1 sin cos A Af A A A= + + { }1| ≥= xxA { }RaaxaxB ∈+≤≤−= ,33| 4a = A B AB ⊆ a α x P ( )3 4,- αα cossin − ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin ( ) ( )0cos6sin >+     −= ωωπω xxxf π 2 ( )f x [ ]0 π, ( )y f x= π 6 ( )y g x= ( )y g x= ( ) 2 4f x ax bx= + + Rba ∈, 0≠a (Ⅰ)若函数 的图象过点 ,且函数 只有一个零点,求函数 的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 ,函数 在区间 上单调 递增,求实数 的取值范围. 21.(本题满分 12 分) 某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某 水域投放一定面积的该生物,经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米,经过 3 个月其覆盖面积 达到 27 平方米.该生物覆盖面积 (单位:平方米)与经过时间 个月的关系有两 个函数模型 与 可供选择. (Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; (Ⅱ)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍?(参考数据: ) 22.(本题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ)当 时, 恒成立,求实数 的取值范围; (Ⅱ)是否同时存在实数 和正整数 ,使得函数 在 上恰有 2019 个零点?若存在,请求出所有符合条件的 和 的值;若不存在,请说明理由. 安庆市 2019—2020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学参考答案 ( )y f x= ( )3 1,- ( )f x ( )f x Za ∈ ( ) ( )[ ]kxxfxg −= ln [ )+∞,2 k y ( )Nxx ∈ ( )1,0 >>⋅= akaky x ( )0y p x q p= + > 48.03lg,30.02lg,73.13,41.12 ≈≈≈≈ ( ) 1cos4sin22 −⋅     += xxxf π    −∈ 8,8 ππ x ( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf m a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]0 πn, a n 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内) 1.C 解析:由条件知 ,则 ,选 C. 2.B 解析: .故选 B. 3.A 解析:由题意知 ,解得 或 ,又 在区间 上是 单调递增函数得 ,故选 A. 4.C 解析:由已知得 ,于是 ,即 ,所以 ,故此三角形是等腰三角形, 选 C. 5.D 解析:由 得 ,但不知 的符号,于是无法判断 的大小, A 错误;同理排除 B,C.因为 在 上单调递增,所以可得 ,故选 D. 6.D 解析:2 弧度的角是第二象限角,所以 ,排除 A;3 弧度的角是第二象限角, 所以 ,排除 B; ,排除 C; , D 成立.故选 D. 7.C 解 析 : 由 已 知 得 , 则 , A 错 误 ; ,B 错误; ,C 正确; ,D 错误.故选 C. 8.A 解析:由已知得 ,故选 A. 9. A 解析:由函数 图象知 , , ,所以 , { }3,5,13,17,19UC A = ( ) =BACU  { }5,13 3 3 3 3 2 1log 2 log 6 log log 16 3- = = = - 2 2 2 1a a- - = 3a = 1a = - ( )f x ( )+∞,0 3a = ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + = sin cos cos sin 0B C B C- = ( )sin 0B C- = B C= 2 2m n< m n< ,m n 2 2log ,logm n 3y x= R 3 3m n< sin 2 0> cos3 0< ( ) 3sin3sin =−π αααα sin2cossin22sin ≤= 0 0sin 2y x= ( )0 0 0sin 2 sin 2x x y- = - = - ( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx −=−=+=     + ππ ( ) 0000 2sin2sin22sin yxxx ==−=     − ππ ( ) ( ) 0000 2sin22sin2sin yxxx −=−=−=− ππ 41 22 21 12 tan1 tan2 tan1 1tan2tan4tan 2 − ×++ −=−++ −=+     − α α α ααπα 1 4 13 3= - = - ( )f x 1A = 6412 5 4 πππ =−=T ω ππ 2 3 2 ==T 3=ω 又点 在图象上,知 ,解得 ,符合 ,故选 A. 10.B 解析:函数 的值域为 ,①错误;函数 在区间 上单调递减, 在 上单调递增,②错误;函数 的图象关于直线 对称,③正确;因 ,所以函数 的图象与直线 不可能有交点,④正确.正确 结论的个数为 2,故选 B. 11.B 解析:令 ( ), ,所以函数 f(x)为奇函数, 图象关于原点对称,由此排除 A,D 两个选项. 当 时, ,而 为第二象限角,所以 ,而 , 所以 ,由此排除 C 选项.故 B 选项符合. 故选 B. 12. C 解 析 : 不 等 式 可 化 为 , 即 ,则函数 是 上的增函数,又 ,于 是不等式 可化为 ,所以 ,即 ,解得 ,故选 C. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将每题的正确答案填在题中的横线上) 13. 解析:由已知得 ,解得 且 ,故其定义域为 . ( ) 2019 sin log 2 2x x xf x − = − [ ) ( ]3,0 0,3x −∈  ( ) ( ) 2019 sin log 2 2x x xf x f x− − = − = − − 3x = 2019 sin3 63log 8 y = 3 sin3 0> 2019 63log 08 > 2019 sin3 063log 8 y = >      0,4 π πϕπ =+ 4 3 4 πϕ = πϕ < ( )f x [ )+∞,1 ( )f x [ )0,1 [ )+∞,1 ( )f x 1x = 02 ≤−= ay ( )f x ( )Raay ∈−= 2 ( ) ( )1 2 1 2 3f x f x x x - >-- ( ) ( ) ( )1 2 1 23f x f x x x- < - - ( ) ( )1 1 2 23 3f x x f x x+ < + ( ) ( ) 3F x f x x= + R ( )1 4F = ( )[ ] ( )23log316log23log 222 −−<− xxf ( )[ ] ( )123log 2 FxF <− ( )2log 3 2 1x - < 0 3 2 2x< - < 2 4 3 3x< < ( ) ( )+∞− ,22,1     ≠− >+ 02 01 x x 1x >- 2≠x ( ) ( )+∞− ,22,1  14. 解析: . 15.5 解析:由已知得 , 于 是 , 又 , 则 . 16. 解 析 : 由 已 知 得 , 设 , 则 , , 于 是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)当 时, ,…………… 2 分 又 ,则 ;……………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 , 当 时, ,解得 ,符合题意;……………6 分 当 时, ,解得 ,符合题意. ……………8 分 综上所述,实数 的取值范围为 .……………10 分 18.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知可得 ,……………1 分 根据三角函数的定义知 ,……………3 分 3 2 sin39 cos21 sin51 sin 21 sin39 cos21 cos39 sin 21+ = +        ( ) 3sin 39 21 sin 60 2= + = =   ( ) ( ) ( )2 2tan tan4 1 4 1x xf x f x x x-+ - = + + + -+ + 214 42 14 2 =+ ×++= x x x ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2f f f f- + = - + = ( )0 1f = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 2 5f f f f f- + - + + + = ( ]12,0 −     ∈ 3,0 π A sin cost A A= + ( ]2,14sin2cossin ∈     +=+= π AAAt 22sin cos 1A A t= - ( ) ( ]12,011 1 cossin1 cossin2 2 −∈−=+ −=++= tt t AA AAAf 4a = [ ]1,7B = - [ )+∞= ,1A [ )+∞−= ,1BA  [ )+∞= ,1A φ=B 3 3a a- > + 0a < φ≠B    ≥− +≤− 13 33 a aa 20 ≤≤ a a ( ]2,∞− ( ) 223 4 5OP = + - = 5 3cos,5 4sin =−= αα 所以 .……………5 分 (Ⅱ)根据诱导公式知 …9 分 .……………12 分 或者由(Ⅰ)可知 ,……………7 分 根据诱导公式知 ……10 分 .……………12 分 19.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知得 ,……………3 分 于是 ,所以 ,即 ,……………5 分 由 ,解得 , 又 ,所以函数 在 上的单调递增区间为 .………7 分 (Ⅱ)由条件得 ,……………9 分 令 ,解得 ( ) xxxf ωπω cos6sin +     −= 5 7 5 3 5 4cossin −=−−=− αα ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin αα α αα αα sincos sin2 sincos sinsin − −=− −−= 7 8 5 7 5 8 5 4 5 3 5 42 ==     −−     −×− = 3 4tan −=α ( ) ( ) ( )ααπ απαπ −++      +++ sin2cos 2cossin α α αα α αα αα tan1 tan2 sincos sin2 sincos sinsin − −=− −=− −−= 7 8 3 7 3 8 3 41 3 42 ==     −−     −×− = xxx ωωω coscos2 1sin2 3 +−=      +=+= 6sincos2 1sin2 3 πωωω xxx ππ ω π =×== 22 2T 2=ω ( )      += 62sin π xxf 226222 πππππ +≤+≤− kxk 63 ππππ +≤≤− kxk [ ]π,0∈x ( )f x [ ]π,0         πππ ,3 2,6,0 xxxgy 2cos662sin)( =    +     +== ππ 22 ππ += kx Zkkx ∈+= ,42 ππ 故 图象的对称中心坐标为 ..……………12 分 20.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可得 ,整理得 ,……………2 分 消去 得 ,解得 或 ……………4 分 所以当 时, , ; 当 时, , . 综上所述,函数 的解析式为 或 .………6 分 (Ⅱ)因 ,于是 ,……………7 分 ,……………8 分 要使函数 在区间 上单调递增, 则必须满足 ,……………10 分 解得 ,所以实数 的取值范围为 .……………12 分 21.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因函数 中, 随 的增长而增长的速度越来越快,而函 数 中, 随 的增长而增长的速度越来越慢,根据已知条件应选 更合适. ……………3 分 由已知得 ,解得 ,……………5 分 所以函数解析式为 .……………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时, ,所以原先投放的此生物的面积为 8 平方米; ( )y g x= ( )Zkk ∈     + 0,42 ππ    =−=∆ =+−− 016 143)3( 2 2 ab ba    = += ab ab 16 13 2 b 29 10 1 0a a- + = 1a = 1 9a = 1a = 4b = ( ) 2 4 4f x x x= + + 1 9a = 4 3b = ( ) 21 4 49 3f x x x= + + ( )f x ( ) 2 4 4f x x x= + + ( ) 21 4 49 3f x x x= + + Za ∈ ( ) 2 4 4f x x x= + + ( ) ( )[ ] ( )[ ]44lnln 2 +−+=−= xkxkxxfxg ( )g x [ )+∞,2 ( )   >+×−+ ≤−− 04242 22 4 2 k k 8k < k ( )8,∞− ( )1,0 >>⋅= akaky x y x ( )0y p x q p= + > y x ( )1,0 >>⋅= akaky x    =⋅ =⋅ 27 18 3 2 ak ak    = = 8 2 3 k a ( )Nxy x ∈    ⋅= 2 38 0x = 8y = 设 经 过 个 月 该 水 域 中 此 生 物 的 面 积 是 当 初 投 放 的 1000 倍 , 则 有 ,……………8 分 解得 ,……………11 分 所以约经过 17 个月,该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍. ……………12 分 22.(本题满分 12 分) 解:由已知得 ……………2 分 (Ⅰ)当 时, , , 要使 对任意 恒成立,令 ,则 , 对任意 恒成立, 只需 ,……………4 分 解得 ,所以实数 的取值范围为 .……………5 分 (Ⅱ)假设同时存在实数 和正整数 满足条件,函数 在 上恰有 2019 个零点,即函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点. ………6 分 当 时, , ①当 或 时,函数 与直线 在 上无交点, ②当 或 时,函数 与直线 在 上仅有一个交点, 此时要使函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点,则 ;…8 分 [0,π] x 100082 38 ×=    ⋅ x 1730.048.0 3 2lg3lg 1000lg ≈−≈−=x ( ) 1cos4sin22 −⋅     += xxxf π 1cos4sincos4cossin22 −⋅     += xxx ππ      +=+=−+= 42sin22cos2sin1cos2cossin2 2 π xxxxxx    −∈ 8,8 ππ x    ∈+ 2,042 ππ x [ ]1,042sin ∈     + π x ( ) [ ]2,0∈xf ( ) ( ) 02 ≤−− mxmfxf    −∈ 8,8 ππ x ( )t f x= [ ]2,0∈t ( ) 02 ≤−−= mmttth [ ]2,0∈t ( ) ( )   ≤−−= ≤−= 0222 00 mmh mh 222 −≥m m [ )+∞− ,222 a n ( ) ( )g x f x a= - [ ]πn,0 ( )y f x= y a= [ ]πn,0 [ ]π,0∈x    ∈+ 4 9,442 πππ x 2a > 2a < - ( )y f x= y a= [ ]πn,0 2a = 2a = - ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 2019n = ③当 或 时,函数 与直线 在 上有两个交点,此 时函数 与直线 在 上有偶数个交点,不可能有 2019 个交点,不符合; ④当 时,函数 与直线 在 上有 3 个交点,此时要使函数 与直线 在 上恰有 2019 个交点,则 ;……………11 分 综上可得,存在实数 和正整数 满足条件,当 时 ;当 时, ;当 时, .……………12 分 [0,π] [0,π] 2 1a- < < 1 2a< < ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 1a = ( )y f x= y a= ( )y f x= y a= [ ]πn,0 1009n = a n 2a = 2019n = 2a = - 2019n = 1a = 1009n =
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