中考数学解题指导专题19：动态几何之定值问题探讨

中考数学解题指导专题19：动态几何之定值问题探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 19：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制 动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问 题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进 行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。 结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线 段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。 一、线段（和差）为定值问题： 典型例题： 例 1：（ 2012 黑龙江绥化 8 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，AB=3，BC=4， 点 P 为直线 EC 上的一点，且 PQ⊥BC 于点 Q，PR⊥BD 于点 R． （1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ= 5 12 （不需证明）． （2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】解：（2）图 2 中结论 PR＋PQ=12 5 仍成立。证明如下： 连接 BP，过 C 点作 CK⊥BD 于点 K。 ∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。 又∵CD=AB=3，BC=4，∴ 2 2 2 2BD CD BC 3 4 5     。 ∵S△BCD= 1 2 BC•CD= BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK= 。 2 ∵S△BCE= 1 2 BE•CK，S△BEP= PR•BE，S△BCP= PQ•BC，且 S△BCE=S△BEP＋S△BCP， ∴ BE•CK= PR•BE＋ PQ•BC。 又∵BE=BC，∴ CK= PR＋ PQ。∴CK=PR＋PQ。 又∵CK= 12 5 ，∴PR＋PQ= 。 （3）图 3 中的结论是 PR－PQ= ． 【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。 【分析】（2）连接 BP，过 C 点作 CK⊥BD 于点 K．根据矩形的性质及勾股定 理求出 BD 的长，根据三角形面积相等可求出 CK 的长，最后通过等量代换即可 证明。 （3）图 3 中的结论是 PR－PQ=125 。 连接 BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两 个底，PR，PQ 分别为高，从而 PR－PQ= 。 例 2：（ 2012 江西省 10 分）如图，已知二次函数 L1：y=x2﹣4x+3 与 x 轴交于 A．B 两点（点 A 在点 B 左 边），与 y 轴交于点 C． （1）写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数 L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质； ②是否存在实数 k，使△ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由； ③若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出 EF 的长 度；如果会，请说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线  22y x 4x 3 x 2 1      ， 3 ∴二次函数 L1 的开口向上，对称轴是直线 x=2，顶点坐标（2，﹣1）。 （2）①二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质： 对称轴为 x=2；都经过 A（1，0）， B（3，0）两点。 ②存在实数 k，使△ABP 为等边三角形． ∵  22y kx 4kx 3k k x 2 k      ，∴顶点 P（2，－k）． ∵A（1，0）， B（3，0）， ∴AB=2 要使△ABP 为等边三角形，必满足|－k|= 3 ， ∴k=± 。 ③线段 EF 的长度不会发生变化。 ∵直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点， ∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。 ∴EF=x2﹣x1=6。∴线段 EF 的长度不会发生变化。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。 【分析】（1）抛物线 y=ax2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a＞0 时，抛物线的开口向上；a＜0 时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。 （2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以 k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的 关系入手进行分析。 ②当△ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出 P 点纵坐标，它的绝对值正好 是等边三角形边长的 3 2 倍，由此确定 k 的值。 ③联立直线和抛物线 L2 的解析式，先求出点 E、F 的坐标，从而可表示出 EF 的长，若该长度 为定值，则线段 EF 的长不会发生变化。 例 3：（ 2012 山东德州 12 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上 的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 4 【答案】解：（1）如图 1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。 ∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴△BCH≌△BQH（HL）。 ∴CH=QH。 ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。 又∵EF 为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． ∴在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即 2xBE 2+ 8 。 ∴ 2xCF BE EM 2+ x8    。 又∵四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， ∴     2 221 1 x 1 1S BE CF BC= 4+ x 4= x 2x+8= x 2 +62 2 4 2 2          。 5 ∵ 1042<<，∴当 x=2 时，S 有最小值 6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得 出答案。 （2）先由 AAS 证明△ABP≌△QBP，从而由 HL 得出△BCH≌△BQH，即可得 CH=QH。因此， △PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数 的最值求出即可。 例 4：（ 2012 福建泉州 12 分）已知：A、B、C 不在同一直线上. （1）若点 A、B、C 均在半径为 R 的⊙O 上， i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和 BC 的长度； ii）如图二，当∠A 为锐角时，求证 sin∠A= BC 2R ； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边 AM、AN（B、C 均与点 A 不重合）滑动，如图三， 当∠MAN=60°，BC=2 时，分别作 BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点 P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】解：（1）i）∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。 又∵R=1，∴由勾股定理可知 BC= 1 1= 2 。 ii）证明：连接 BO 并延长，交圆于点 E，连接 EC。 可知 EC⊥BC（直径所对的圆周角为 90°）， 且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。 6 故 sin∠A=sin∠A= BC BC BE 2R 。 （2）保持不变。理由如下： 如图，连接 AP，取 AP 的中点 K，连接 BK、CK， 在 Rt△APC 中，CK= 1 2 AP=AK=PK。 同理得：BK=AK=PK。 ∴CK=BK=AK=PK。∴点 A、B、P、C 都在⊙K 上。 ∴由（1）ii）sin∠A= BC 2R 可知 sin60°= BC AP 。 ∴AP= BC 4 3 sin60 3 （为定值）。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直 角三角形中线性质。 【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出 BC 的长； ii）作直径 CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用 sin∠A=sin∠E= ，得出即可。 （2）首先证明点 A、B、P、C 都在⊙K 上，再利用 sin∠A= ，得出 AP= （定 值）即可。 例 5：（ 2012 山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于 A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点， 过坐标原点 O 的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D(0，－ 2)作平行于 x 轴的直线 1l 、 2l ． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以 ON 为直径的圆与直线 相切； (3)求线段 MN 的长(用 k 表示)，并证明 M、N 两点到直线 的距离之和等于线段 MN 的长． 7 【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为 y=ax2＋bx＋c， 则 4a 2b+c=0 4a+2b+c=0 c= 1     解得 1a= 4 b=0 c= 1        。 ∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 21y= x 14  。 （2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点 M、N 在抛物线上， ∴ 22 1 1 2 2 11y = x 1 y = x 144， ，∴x2 2=4(y2+1)。 又∵    22 2 2 2 2 2 2 2 2ON x y 4 y 1 y y 2       ，∴ 2ON y 2。 又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。 设 ON 的中点 E，分别过点 N、E 向直线 1l 作垂线，垂足 为 P、F， 则 22yOC NPEF 22 ， ∴ON=2EF， 即 ON 的中点到直线 的距离等于 ON 长度的一半， ∴以 ON 为直径的圆与 相切。 （3）过点 M 作 MH⊥NP 交 NP 于点 H，则    222 2 2 2 1 2 1MN MH NH x x y y      ， 又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2 一 xl)2。 又∵点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上， ∴ 21kx= x 14  ，即 x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x 1=－4。 ∴MN2=(1+k2)(x2 一 xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·x l] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。 延长 NP 交 2l 于点 Q，过点 M 作 MS⊥ 交 于点 S， 8 则 MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2= 22 12 11x 1+ x 1+444        22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1= x +x +2= x +x 2x x +2= 16k +8 +2=4k +4=4 1+k4 4 4  ∴MS+NQ=MN，即 M、N 两点到 2l 距离之和等于线段 MN 的长。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切 的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。 【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的 解析式。 （2）要证以 ON 为直径的圆与直线 1l 相切，只要证 ON 的中点到直线 的距离等于 ON 长的一半 即可。 （3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出 MN 和 M、N 两点到直线 2l 的距离之和，相比较即 可。 例 6：（ 2012 湖北咸宁 10 分）如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上，若 4321  ，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 2，图 3，图 4 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4，BC=8． 理解与作图： （1）在图 2，图 3 中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的 反射四边形 EFGH． 计算与猜想： （2）求图 2，图 3 中反射四边形 EFGH 的周长，并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值？ 启发与证明： （3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M，试利用小华同学给我 们的启发证明（2）中的猜想． 9 【答案】解：（1）作图如下： （2）在图 2 中， 22EF FG GH HE 2 4 20 2 5       ， ∴四边形 EFGH 的周长为85。 在图 3 中， 22EF GH 2 1 5    ， 22FG HE 3 6 45 3 5     ， ∴四边形 EFGH 的周长为 2 5 2 3 5 8 5    。 猜想：矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。 （3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N， ∵ 12   ， 15   ， ∴ 25   。 又∵FC=FC， ∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。 ∴EF=MF，EC=MC。 同理：NH=EH，NB=EB。∴MN=2BC=16。 ∵ M 90 5 90 1       ， N 90 3    ， 13   ，∴ MN   。 ∴GM=GN。 过点 G 作 GK⊥BC 于 K，则 1KM MN 82。 ∴ 2 2 2 2GM GK KM 4 8 4 5     。 ∴四边形 EFGH 的周长为 2GM 8 5 。∴矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值。 【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性 质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。 10 （2）图 2 中，利用勾股定理求出 EF=FG=GH=HE 的长度，然后即可得到周长，图 3 中利用勾股 定理求出 EF=GH，FG=HE 的长度，然后求出周长，从而得到四边形 EFGH 的周长是定值。 （3）延长 GH 交 CB 的延长线于点 N，再利用“ASA”证明 Rt△FCE 和 Rt△FCM 全等，根据全等 三角形对应边相等可得 EF=MF，EC=MC，同理求出 NH=EH，NB=EB，从而得到 MN=2BC，再证明 GM=GN， 过点 G 作 GK⊥BC 于 K，根据等腰三角形三线合一的性质求出 1KM MN 82，再利用勾股定理求出 GM 的长度，然后即可求出四边形 EFGH 的周长。 例 7：（ 2012 广西崇左 10 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等，问在点 E、F 移动过程中； （1）∠EAF 的大小是否发生变化？请说明理由. （2）△ECF 的周长是否发生变化？请说明理由. 11 练习题： 1. （2011 湖南岳阳 8 分）如图①，将菱形纸片 AB（E）CD（F）沿对角线 BD（EF）剪开，得到△ABD 和△ECF，固定△ABD，并把△ABD 与△ECF 叠放在一起． （1）操作：如图②，将△ECF 的顶点 F 固定在△ABD 的 BD 边上的中点处，△ECF 绕点 F 在 BD 边上方 左右旋转，设旋转时 FC 交 BA 于点 H（H 点不与 B 点重合），FE 交 DA 于点 G（G 点不与 D 点重合）． 求证：BH•GD=BF2 （2）操作：如图③，△ECF 的顶点 F 在△ABD 的 BD 边上滑动（F 点不与 B、D 点重合），且 CF 始终经 过点 A，过点 A 作 AG∥CE，交 FE 于点 G，连接 DG． 探究：FD+DG= ．请予证明． 2. （2011 四川眉山 11 分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1）， B（－4，4），将点 B 绕点 A 顺时 针方向旋转 90°得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B． （1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标； （2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明 d2=d1＋1； （3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小 值． 3. （2011 湖南郴州 10 分）如图，Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=10cm，点 Q 在线段 BC 上从 B 向 C 运动， 点 P 在线段 BA 上从 B 向 A 运动．Q、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点 Q 到达点 C 时，两点都停 12 止运动．作 PM⊥PQ 交 CA 于点 M，过点 P 分别作 BC、CA 的垂线，垂足分别为 E、F． （1）求证：△PQE∽△PMF； （2）当点 P、Q 运动时，请猜想线段 PM 与 MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设 BP= x ，△PEM 的面积为 y ，求 y 关于 的函数关系式，当 为何值时， 有最大值，并将这个 值求出来． 4. （2011 辽宁营口 14 分）已知正方形 ABCD，点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点，点 E 在 DC 边所在 直线上，且随着点 P 的运动而运动，PE＝PD 总成立． (1)如图(1)，当点 P 在对角线 AC 上时，请你通过测量、观察，猜想 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写 出结论不必证明)； (2)如图(2)，当点 P 运动到 CA 的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明； 如果不成立，请说明理由； (3)如图(3)，当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系？(直接写出结论不必证明) (1) (2) 5. （2011 贵州遵义 12 分）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点 P、Q 分别从 B、D 两点同时．．出发，点 P 以每秒 2cm 的速度沿 BC 向终点 C 移动，点 Q 以每秒 1cm 的速度沿 DA 向终点 A 移动，线段 PQ 与 BD 相交于点 E，过 E 作 EF∥BC 交 CD 于点 F，射线 QF 交 BC 的延长线于点 H， 设动点 P、Q 移动的时间为 t（单位：秒，0

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